2022-2023學(xué)年蘇教版江蘇高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義第03講 對數(shù)函數(shù)(詳解版)

第6章幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

第03講對數(shù)函數(shù)

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)

1.理解對數(shù)函數(shù)的概念；

1.了解對數(shù)函數(shù)的概念

2.掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

2.探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

3.會利用對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性比較大??；

3.對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=(/互為反函數(shù)(a>

4.會解對數(shù)不等式，會求對數(shù)函數(shù)的定義

0,且aWl).

域.

4..能夠?qū)χ笖?shù)大小進(jìn)行比較

知識精講

一、對數(shù)函數(shù)的概念

1.一般地，函數(shù)y=log,H”>0,且aWl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是-

2.對數(shù)函數(shù)的解析式有何特征？

二、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1.對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

a的范圍OVaVla>\

X=1

%=1y=l0glix(a>l)

圖象Tc廠

1°Z(1,O)i

7=10^(0<0<1)

定義域—

性值域R

質(zhì)定點(diǎn)____,即x=l時(shí)，y=0

單調(diào)性在(0,+8)上是____在(0,+8)上是____

2.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y="(a>0,且和對數(shù)函數(shù)y=logd(a>0,且aWl)互為反函數(shù).兩者的和—正好互換.

3.底數(shù)a的取值與對數(shù)函數(shù)y=log4(a>0且1)的圖象有什么關(guān)系？

4.對數(shù)函數(shù)〉=10&即/>0且aWl)與y=k)g〕x(a>0且aWl)有什么關(guān)系？

a

I名師點(diǎn)津I

1.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(1)討論對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，若底數(shù)”的大小不確定，必須分和0<。<1兩種情況進(jìn)行討論.

(2)對數(shù)函數(shù)圖象的“記憶”

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)—1),(1,0),3,1),且圖象都在第一、四象限內(nèi)，

據(jù)此可以快速地畫出對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a#l)的草圖.

(3)在對數(shù)函數(shù)y=log?x(a>0,且aWl)中，①若0Va<1且0<x<1,或”>1且x>l,則有y>0；②若0

且x>l,或且0<x<l,則有y<0.以上性質(zhì)可以簡稱為：同區(qū)間為正，異區(qū)間為負(fù).有了這

個規(guī)律，我們判斷對數(shù)函數(shù)值的正負(fù)就很簡單了.

2.反函數(shù)的性質(zhì)

(1)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱.

(2)反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域.

運(yùn)?。運(yùn).?富。.?運(yùn)…：<.??莪?"魂S*.Bg<；"??*.<

參考答案

一、1.(0,+°0)

2.在對數(shù)函數(shù)的定義表達(dá)式y(tǒng)=log°x(o>0,且“1)中，log°x前邊的系數(shù)必須是1,自變量x在真數(shù)的位置上,

否則就不是對數(shù)函數(shù).

二、1.(0,+8)(1,0)減函數(shù)增函數(shù)

2.定義域值域

3.底數(shù)a與！的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的"升降J當(dāng)a>l時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象"上升"；當(dāng)0<a<l

時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象"下降

4.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，y=log°x(a>0且axl)的圖象與y=logjx(a>0且"1)的圖象關(guān)于x軸(即直線y=0)對稱.

Q能力拓展

考法01對數(shù)函數(shù)的概念

判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法

對數(shù)符號前面的系數(shù)為1

(

對

數(shù)

同時(shí)函

對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正的常數(shù)

成立數(shù)

一

對數(shù)的真數(shù)僅有自變量4

指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？

(l)y=31og2X:(2)y=logg

(3)y=k>&5;(4)y=log2%+1.

【跟蹤訓(xùn)練】1.函數(shù)八^)=(層—〃+1)108“+13是對數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=,

2.若對數(shù)函數(shù)兀v)=log〃x的圖象過點(diǎn)(2,1),則式8)=.

考法02對數(shù)函數(shù)的定義域

求對數(shù)型函數(shù)定義域的原則

(1)分母不能為0.

(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開方數(shù)非負(fù).

(3)對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不為1.

(鏈接教材P13O例1)求下列函數(shù)的定義域:

(l)y=log5(l—%);

ln(4-x)

(2)y=

無一3

⑶尸^A

|X|一X

【跟蹤訓(xùn)練】

函數(shù)火x)=■-J——+lg(10—X)的定義域?yàn)開_______

Vx-1

考法03對數(shù)函數(shù)的圖象

有關(guān)對數(shù)型函數(shù)圖象問題的應(yīng)用技巧

(1)求函數(shù)y=，"+log”/(x)(a>0,且aWI)的圖象過定點(diǎn)時(shí)，只需令./(x)=1求出x,即得定點(diǎn)為(x,m).

(2)給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖象，應(yīng)首先考慮函數(shù)對應(yīng)的基本初等函數(shù)是哪一種；其次找出函數(shù)圖象的

特殊點(diǎn)，判斷函數(shù)的基本性質(zhì)、定義域、單調(diào)性以及奇偶性等；最后綜合上述幾個方面將圖象選出，解決

此類題目常采用排除法.

(3)根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的方法：作直線y=l與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個底數(shù)，根

據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小.

(1)當(dāng)。＞1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與＞=iogd的圖象為()

y\l

~~x~~x

AB

y

t\/tL

上r

cD

(2)已知/U)=k＞助國，滿足大-5)=1,試畫出函數(shù)7U)的圖象.

【跟蹤訓(xùn)練】1.函數(shù)y=logM,y=log成，y=logcX,y=log,優(yōu)的圖象如圖所示，則。，b,c,d的大小順序

是()

A.c<d<\<a<b

C.c<d<\<b<aD.d<c<\<a<b

%

2.函數(shù)凡0=—10gM(0<a<l)的圖象大致為()

\x\

3.若函數(shù)y=loga(x+b)+c(a＞0,且aWl)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2),則實(shí)數(shù)4c的值分別為

4.作出函數(shù)y=|log2a+1)|的圖象.

考法04比較對數(shù)值的大小

比較對數(shù)值大小時(shí)常用的4種方法

(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較.

(2)若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論.

(3)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較，也可以利用順時(shí)針方向底數(shù)增

大畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較.

(4)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較.

(鏈接教材PI33例3)比較下列各組中兩個值的大?。?/p>

(l)ln0.3,In2；

(2)log?3.l,log?5.2(tz>0,且a￥l)；

(3)loga0.2,log40.2；

(4)log3兀，log。.

【跟蹤訓(xùn)練】1.下列式子中成立的是()

A.logo.44<logo,46B.1.0134>1.0135

C.3.5°-3<3.403D.log76Vlog67

C=,

2.己知a=2-//?=log21,'°§23則()

A.a>b>cB.a>c>h

C.c>b>aD.c>a>b

考法05求解對數(shù)不等式

常見對數(shù)不等式的2種解法

(1)形如logaX>log看的不等式，借助y=logG的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分”>1與0<〃<1

兩種情況討論.

(2)形如log環(huán)>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助y=log〃的單調(diào)性求解.

解不等式：

(l)log2(2x+3)210g2(5x—6)；

(2)log?(x—4)—loga(2x—1)>0(6/>0且aWl).

【跟蹤訓(xùn)練】

1.不等式logi(5+x)<logl(1—x)的解集為.

2.若lo&(3〃一1)恒為正，則。的取值范圍為.

高分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知函數(shù)“X)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>()時(shí)，/(x)=r^a=0.3-°25,A=k>go.250.3,c=logo,32.5,

則()

A./(fe)</(a)</(c)B./(c)</(/?)</(?)

C./(c)</(?)<./(/?)D.

01

2.若。=lgO.3,h=log32,c=3,則()

A.b<a<cB.c<b<a

c.b<c<aD.a<b<c

3.已知。=log43,b=log53,c=log45,貝|J()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

4.函數(shù)y=[logo5(2x-l)]。的定義域?yàn)?)

A.B.

C.（l，+8）D.

5.設(shè)函數(shù)則（）

A.是偶函數(shù)，且在（1,討）上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在（-11）上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在（-8,-1）上單調(diào)遞增D,是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減

6.為了廣大人民群眾的食品健康，國家倡導(dǎo)農(nóng)戶種植綠色蔬菜.綠色蔬菜生產(chǎn)單位按照特定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)

行生產(chǎn)，并要經(jīng)過專門機(jī)構(gòu)認(rèn)定，獲得許可使用綠色蔬菜商標(biāo)標(biāo)志資格.農(nóng)藥的安全殘留量是其很重要的

一項(xiàng)指標(biāo)，安全殘留量是指某蔬菜使用農(nóng)藥后的殘留量達(dá)到可以免洗入口且對人體無害的殘留量標(biāo)準(zhǔn).為

了防止一種變異的蠣蟲，某農(nóng)科院研發(fā)了一種新的農(nóng)藥"蠣清三號"，經(jīng)過大量試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該農(nóng)藥的安全殘

留量為0.001mg/kg,且該農(nóng)藥噴灑后會逐漸自動降解，其殘留按照y=ae'的函數(shù)關(guān)系降解，其中x的單

位為小時(shí)，y的單位為mg/kg.該農(nóng)藥的噴灑濃度為2mg/kg,則該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量

標(biāo)準(zhǔn)，至少需要（）小時(shí).（參考數(shù)據(jù)lnl0=2.3）

B.6C.7D.8

7.設(shè)/（x）=10g,（」一+1）是奇函數(shù)，若函數(shù)g（x）圖象與函數(shù)/（X）圖象關(guān)于直線y=x對稱，則g（x）的

-x+a

值域?yàn)椋ǎ?/p>

C.(V,-2)U(2,E)D.(-2,2)

8.我國航天技術(shù)的迅猛發(fā)展與先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)密不可分.據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理

想狀態(tài)下，可以用公式v=vln—計(jì)算火箭的最大速度口(m/s),其中%(m/s)是噴流相對速度，優(yōu)(kg)

om

M

是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量，M(kg)是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，一稱為〃總質(zhì)比〃,已知甲型火箭的總質(zhì)

m

19

比為400,經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，甲型火箭的總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼膰娏飨鄬λ俣忍岣吡斯?，最?/p>

o3

速度增加了900(m/s),則甲型火箭在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的噴流相對速度為()(參考數(shù)據(jù)：

In2ko.7,In5?1.6)

A.1200m/sB.1500m/sC.I800m/sD.2100m/s

題組B能力提升練

1.函數(shù)/(x)=lnS+l)—ln(e*—l),下列說法正確的是()

A./W的定義域?yàn)?0,+8)

B./(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

C.不等式/(加一1)>/(2加)的解集為(-1,+8)

D.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線)=》對稱

2.為了得到函數(shù)y=ln(ex)的圖象，可將函數(shù)y=lnx的圖象()

A.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的e倍

B.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，

e

C.向上平移一個單位長度

D.向下平移一個單位長度

3.設(shè)函數(shù)/(x)=ig(G7T+x),則()

A./^>/(log85)B.-/|^-|^</(log85)

C./(log85)>/Q>-(撲/⑶

Inx,x>0((1、、

4.已知函數(shù)."，則//一=______.

2,尤<。\JJ

5.已知函數(shù)〃x)=log1是R的遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

2\7

6.已知函數(shù)〃x)=log“(x+l),函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是

函數(shù)/(%)的圖象.

(1)寫出g(x)的解析式：

(2)若a>l,xe［O,l)時(shí)，總有/(x)+g(x)Zw成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

7.已知函數(shù)〃x)=log“x(a>0且awl)的圖象過點(diǎn)(9,2).

(1)求a的值.

⑵若g(x)=/(2-x)+/(2+x).

(i)求g(x)的定義域并判斷其奇偶性；

(ii)求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

8.已知/(x)=logi(f-6x+10)

2

(1)解不等式：/?<-1；

(2)若y=/(x)在區(qū)間［a,a+l］上的最小值為—2,求實(shí)數(shù)a的值.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.設(shè)了(X)定義域?yàn)镽,已知/(X)在［1,+8)上單調(diào)遞減，/(X+1)是奇函數(shù)，則使得不等式

/(Iog2(x—3))+〃log2X)>()成立的X取值范圍為.

2.某同學(xué)向王老師請教一題：若不等式xYe'-alnxZx+l對任意xe(l,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.王老師告訴該同學(xué)：“/Nx+1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號，且g(x)=x-41nx在(L+oo)有

零點(diǎn)根據(jù)王老師的提示，可求得該問題中。的取值范圍是.

3.已知函數(shù)/(x)=|log3x|的定義域?yàn)榭?句，值域?yàn)椋?,H,用含f的表達(dá)式表示A—。的最大值記為W),

最小值記為N(t),設(shè)g(f)=M?)—NQ).

(1)若f=l,則爪1)=；

(2)當(dāng)時(shí)，也⑺丁+15的取值范圍為__________.

g?)+l

4.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足”l—x)+/(l+x)=O,且當(dāng)0WXW1時(shí)，/(x)=log3(a-x).

(1)a=；

(2)若對于任意xw[T,0],都有/一a-g)2i-]og35,則實(shí)數(shù)f的取值范圍為.

V

5.已知函數(shù)/(X)=入+10g2(4+l)(^eR)是偶函數(shù).

(1)求k的值；

(2)若/(x)-6＞()對于任意x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

6.若函數(shù)/(x)與g(x)對任意芭w。，總存在唯一的々e。，使/(X1)g(X2)=機(jī)成立，則稱f(x)是g(x)

在區(qū)間。上的“〃?階伴隨函數(shù)"；當(dāng)/(x)=g(x)時(shí)，則稱/(X)為區(qū)間。上的“機(jī)階自伴函數(shù)”.

(1)判斷/(x)=log2(f+l)是否為區(qū)間上的"2階自伴函數(shù)"？并說明理由；

(2)若函數(shù)/(x)=4i為區(qū)間[原目(匕＞。＞0)上的“1階自伴函數(shù)”，求幺*的最小值；

ab

(3)若/(x)=J是8(幻=/-2℃+/一1在區(qū)間[(),2]上的"2階伴隨函數(shù)"，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

第6章幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

第03講對數(shù)函數(shù)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)

1.理解對數(shù)函數(shù)的概念；

1.了解對數(shù)函數(shù)的概念

2.掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

2.探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

3.會利用對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?/p>

3.對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=(/互為反函數(shù)(a>

4.會解對數(shù)不等式，會求對數(shù)函數(shù)的定義

0,且aWl).

域.

4..能夠?qū)χ笖?shù)大小進(jìn)行比較

知識精講

一、對數(shù)函數(shù)的概念

1.一般地，函數(shù)y=log,H”>0,且aWl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是-

2.對數(shù)函數(shù)的解析式有何特征？

二、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1.對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

a的范圍OVaVla>\

X=1

%=1y=l0glix(a>l)

圖象Tc廠

1°Z(1,O)i

7=10^(0<0<1)

定義域—

性值域R

質(zhì)定點(diǎn)____,即x=l時(shí)，y=0

單調(diào)性在(0,+8)上是____在(0,+8)上是____

2.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y="(a>0,且和對數(shù)函數(shù)y=logd(a>0,且aWl)互為反函數(shù).兩者的和—正好互換.

3.底數(shù)a的取值與對數(shù)函數(shù)y=log4(a>0且1)的圖象有什么關(guān)系？

4.對數(shù)函數(shù)〉=10&即/>0且aWl)與y=k)g〕x(a>0且aWl)有什么關(guān)系？

a

I名師點(diǎn)津I

1.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(1)討論對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，若底數(shù)”的大小不確定，必須分和0<。<1兩種情況進(jìn)行討論.

(2)對數(shù)函數(shù)圖象的“記憶”

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)—1),(1,0),3,1),且圖象都在第一、四象限內(nèi)，

據(jù)此可以快速地畫出對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a#l)的草圖.

(3)在對數(shù)函數(shù)y=log?x(a>0,且aWl)中，①若0Va<1且0<x<1,或”>1且x>l,則有y>0；②若0

且x>l,或且0<x<l,則有y<0.以上性質(zhì)可以簡稱為：同區(qū)間為正，異區(qū)間為負(fù).有了這

個規(guī)律，我們判斷對數(shù)函數(shù)值的正負(fù)就很簡單了.

2.反函數(shù)的性質(zhì)

(1)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱.

(2)反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域.

運(yùn)?。運(yùn).?富。.?運(yùn)…：<.??莪?"魂S*.Bg<；"??*.<

參考答案

一、1.(0,+°0)

2.在對數(shù)函數(shù)的定義表達(dá)式y(tǒng)=log°x(o>0,且“1)中，log°x前邊的系數(shù)必須是1,自變量x在真數(shù)的位置上,

否則就不是對數(shù)函數(shù).

二、1.(0,+8)(1,0)減函數(shù)增函數(shù)

2.定義域值域

3.底數(shù)a與！的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的"升降J當(dāng)a>l時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象"上升"；當(dāng)0<a<l

時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象"下降

4.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，y=log°x(a>0且axl)的圖象與y=logjx(a>0且"1)的圖象關(guān)于x軸(即直線y=0)對稱.

Q能力拓展

考法01對數(shù)函數(shù)的概念

判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法

對數(shù)符號前面的系數(shù)為1

(

對

數(shù)

同時(shí)函

對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正的常數(shù)

數(shù)

一

對數(shù)的真數(shù)僅有自變量4

指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？

(l)y=31og2X:(2)y=logg

(3)y=k>&5;(4)y=log2%+1.

【解析】(l)log2X的系數(shù)是3,不是1,不是對數(shù)函數(shù).

(2)符合對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對數(shù)函數(shù).

(3)自變量在底數(shù)位置上，不是對數(shù)函數(shù).

(4)對數(shù)式log"后又加上1,不是對數(shù)函數(shù).

【跟蹤訓(xùn)練】1.函數(shù)式的=(〃2—。+1)10gsM是對數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=1

【答案】1

【解析】a?—a+1=I,解得。=0或1.

又“+1>0,且“+1W1,：.a=\.

2.若對數(shù)函數(shù)兀v)=1og〃x的圖象過點(diǎn)(2,1),則人8)=.

【答案】3

【解析】依題意知l=log〃2,所以。=2,

所以./U)=logM,

故H8)=k)g28=3.

考法02對數(shù)函數(shù)的定義域

求對數(shù)型函數(shù)定義域的原則

(1)分母不能為0.

(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開方數(shù)非負(fù).

(3)對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不為1.

(鏈接教材P130例1)求下列函數(shù)的定義域:

(l)y=log5(l—%);

ln(4-x)

(2)y=

x-3

lg(2+x-x2)

(3)產(chǎn)-------

\x\-x

【解析】(1)要使函數(shù)式有意義，需1一人>0,解得XC1,所以函數(shù)y=log5(l—x)的定義域?yàn)?-8,1).

(2)要使函數(shù)式有意義，需<4解得x<4,且xW3,所以函數(shù))，=坦3~1的定義域?yàn)?-8,3)U(3,4).

x-3^0,x-3

(3)要使函數(shù)有意義，需滿足，2+x—x〉°，即《》一“一2<°，解得_]?0,因此函數(shù)y=lg(2+r二八)

|x|-x0.[|xx,Ix|-X

的定義域?yàn)?一1,0).

【跟蹤訓(xùn)練】

函數(shù)1x)=.二—+lg(10—x)的定義域?yàn)開_______.

y/x-1

【答案】(1,10)

x-1>0,,、

【解析】由題意可得《解得lVx<10,故定義域?yàn)閤|1<x<10}.

10-x>0,

考法03對數(shù)函數(shù)的圖象

有關(guān)對數(shù)型函數(shù)圖象問題的應(yīng)用技巧

(1)求函數(shù)y=〃z+k)g忒x)(a>0,且a#1)的圖象過定點(diǎn)時(shí)，只需令_/(x)=l求出x,即得定點(diǎn)為(x,,〃).

(2)給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖象，應(yīng)首先考慮函數(shù)對應(yīng)的基本初等函數(shù)是哪一種；其次找出函數(shù)圖象的

特殊點(diǎn)，判斷函數(shù)的基本性質(zhì)、定義域、單調(diào)性以及奇偶性等；最后綜合上述幾個方面將圖象選出，解決

此類題目常采用排除法.

(3)根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的方法：作直線>=1與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個底數(shù)，根

據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小.

?⑴當(dāng)a>l時(shí)，在同-坐標(biāo)系中，函數(shù)y="r與y=logax的圖象為()

(2)已知_/U)=lo&|x|,滿足火-5)=1,試畫出函數(shù)火x)的圖象.

【解析】(l)y=ar=(L>,-：a>\,.-.0<-<1,則)，=1，在(-8,十8)上是減函數(shù)，過定點(diǎn)(0,1);對

數(shù)函數(shù)y=logM在(0,+8)上是增函數(shù)，過定點(diǎn)(1,0).故選C.

flog5Mx〉0),

(2)因?yàn)檠?5)=1,所以k>g?5=1,即a=5,故y(x)=log5|x|=4'八、

log,(-x)(x<0),

所以函數(shù)y=log5|x|的圖象如圖所示.

【跟蹤訓(xùn)練】1.函數(shù)y=loga%，y=log叫,y=logd，y=log叫的圖象如圖所示,則。，b,c,d的大小順序

是()

A.c<d<\<a<b

C.c<d<\<b<aD.d<c<\<a<b

【答案】A

【解析】在圖中作出直線y=l,則l=1ogd]J=k)gH：2j=lOg(]3]=lOg4T4,解得九l=a,X?=b,X3=C,冗4=4

由圖可知X2>X]>IX4X3,即c<d<\<a<b,故選A.

2.函數(shù)4x)=—log融(0<4<1)的圖象大致為()

|x|

【答案】B

X

【解析】在log?x中x>0,；.y=---log^=logox(0<a<1),故選B.

\x\

3.若函數(shù)y=log“(x+6)+c(a>0,且aWl)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2),則實(shí)數(shù)從c的值分別為.

【答案】-2,2

【解析】?.?函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2),

二將(3,2)代入y=log“(x+份+c,得2=log“(3+〃)+<?.

又當(dāng)a>0,且aWl時(shí)，log“l(fā)=0恒成立，

：.c=2,3+1=1,.,.h=-2,c=2.

4.作出函數(shù)y=|log2(x+l)|的圖象.

【解析】第一步：作y=logjx的圖象，如圖⑴所示.

第二步：將y=log2X的圖象沿x軸向左平移1個單位長度，得y=log2(x+1)的圖象，如圖⑵所示.

第三步：將)，=log2(x+l)在x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換，得y=|log2(x+l)|的圖象，如圖(3)所示.

考法04比較對數(shù)值的大小

比較對數(shù)值大小時(shí)常用的4種方法

(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較.

(2)若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論.

(3)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較，也可以利用順時(shí)針方向底數(shù)增

大畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較.

(4)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較.

(鏈接教材P.33例3)比較下列各組中兩個值的大?。?/p>

⑴In0.3,In2；

(2)loga3.1,log?5.2(a>0,且訪勺)；

(3)log30.2,log40.2；

(4)log3ic>10gli3.

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx在(0,+8)上是增函數(shù)，且0,3<2,所以ln0.3<ln2.

(2)當(dāng)“>1時(shí)，函數(shù)y=1ogoX在(0,+8)上是增函數(shù)，

又3.1V5.2,所以log?3.1<Iog"5.2；

當(dāng)0<〃<1時(shí)，函數(shù)y=log〃在(0,+8)上是減函數(shù)，

又3.1V5.2,所以log“3.1>log“5.2.

綜上所述，當(dāng)”>1時(shí)，log?3.1<log?5.2；

當(dāng)0<a<l時(shí)，10go3.1>10go52

(3)因?yàn)?>1。勖23>1。散24,所以嬴〈康，

即log30.2<log40.2.

(4)因?yàn)楹瘮?shù)y=logjx是增函數(shù)，且兀>3,

所以log3it>logj3=1.

同理，10gli3,所以log3兀Alog^.

【跟蹤訓(xùn)練】L下列式子中成立的是()

A.Iog(),44<logo.46B.1.013.4>].013.5

0303

C.3.5<3.4D.log76<log67

【答案】D

【解析】因?yàn)閥=logo,4X為減函數(shù),故logo.44>logo.46,故A錯；因?yàn)閥=LOH為增函數(shù)，所以1.0134<1.0135,

故B錯；由指數(shù)函數(shù)圖象特點(diǎn)知，3.5°3>3.4°J,故C錯.

2.己知4=2—；,b=log2g,C=log||,貝|J()

A.a>h>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】V0<tz=2—1<2°=1,/?=log21<log21=0,c=log^|>log1^=1,.故選D.

考法05求解對數(shù)不等式

常見對數(shù)不等式的2種解法

(1)形如log融>log法的不等式，借助y=log爾的單調(diào)性求解，如果。的取值不確定，需分〃>1與0<。<1

兩種情況討論.

(2)形如log“x>b的不等式，應(yīng)將匕化為以“為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助y=log“x的單調(diào)性求解.

(l)log2(2r+3)》log2(5x—6)；

(2)loga(x—4)—log?(2x—1)>0(6/>0且"W1).

'2x+3>0,

【解析】(1)原不等式等價(jià)于<5x—6>0,

?2r+3》5x—6,

解得,VxW3.

6

-

所以不等式的解集為54W3

(2)原不等式化為log?(x-4)>log?(2A-1).

當(dāng)^>1時(shí)，

工一4>0,

不等式等價(jià)于<2x-l>0,無解.

3一4>2x—1,

x-4>0,

當(dāng)OV4Vl時(shí)，不等式等價(jià)于｛21一1>0,解得R>4.

X—4<2x—1,

綜上可知，當(dāng)。>1時(shí)，解集為0；當(dāng)OVaVl時(shí)，解集為{和>4}.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.不等式log>(5+x)<log；(1—X)的解集為

【答案】(-2,1)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=log%在(0,+8)上是減畫數(shù),

‘5+》>0,

所以解得一2Vxe1.

5+x>1—x,

2.若lo&(3。-1)恒為正，則。的取值范圍為

【答案】G，|)u(l,+8)

【解析】由題意知1og〃(3。-l)>0=log“l(fā).

當(dāng)a>1時(shí)，y=logM是增函數(shù)，

3a-l>l,2

解得1:

3〃一1>0,3，

當(dāng)OV〃V1時(shí)，y=logd是減函數(shù),

3a—1<1,1212

解得？V"V,V,

3?-1>0,

綜上所述，〃的取值范圍是(；，|)U(1,+8).

鬲分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知函數(shù)/(X)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=T；若a=0.3?25,b=loga250-3,c=log032.5,

則()

A./(&)</(a)</(c)B./(c)</(/?)</(a)

C./(c)</(?)</(/?)D./(?)</(/>)</(c)

【答案】D

【解析】當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)=-x,由奇函數(shù)的性質(zhì)知，

f(x)--%,XGR,函數(shù)單調(diào)遞減；

又a=0.3425>i，Z?=log0250.3e(0,1),c=log032.5<0

則a>b>c

由函數(shù)單減知，/(?)</(/?)</(c),故選：D

2.若a=lg0.3,b=log32,c=3°/，則()

A.b<a<cB.c<b<a

C.h<c<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】因?yàn)閥=lgx在(0,+e)上單調(diào)遞增，所以lg0.3<lgl,即lg0.3<0；

因?yàn)閥=log,x在(0,+oo)上單調(diào)遞增，所以log?1<log32<log33,即0<log,2<1:

因?yàn)閥=3*在R上單調(diào)遞增,所以3°<3°在即1<3°」；

因此a<b<c,故選：D

3.已知a=log43,b=log53,c=log$5,貝！)()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【解析】首先0<a<l,0<b<\,

,口,/7IPAuu——

1g41g5lg4lg5Ig4?lg5

c=log45>l,所以匕<a<c.故選:A.

4.函數(shù)y=[logo5(2x—1)]。的定義域?yàn)?)

A.(對B.(")

c.(l,+8)D.(g,l)u(L+°°)

【答案】D

2x—1>01

【解析】要使函數(shù)有意義，只需logos(2x-l)w0,即\,11，解得一<x<l或x>l.故選：D.

21wl2

5.設(shè)函數(shù)/(力=歷忖一1|一加忖+1|,則/(x)()

A.是偶函數(shù)，且在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-1』)上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(-8,-1)上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-8,-1)上單調(diào)遞減

【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧x|x7±l},又/(一力=1!1卜+1|-111歸一1|=一/(力，所以/(X)為奇函

數(shù).當(dāng)尤1)時(shí)，〃%)=由合=加(1—匕)，隨著x增大，1一2增大，所以/(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，/(x)=In=Inf-1L隨著x增大，———1減小，/(x)單調(diào)遞減.

x+11x+l/x+1

故選:B.

6.為了廣大人民群眾的食品健康，國家倡導(dǎo)農(nóng)戶種植綠色蔬菜.綠色蔬菜生產(chǎn)單位按照特定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)

行生產(chǎn)，并要經(jīng)過專門機(jī)構(gòu)認(rèn)定，獲得許可使用綠色蔬菜商標(biāo)標(biāo)志資格.農(nóng)藥的安全殘留量是其很重要的

一項(xiàng)指標(biāo)，安全殘留量是指某蔬菜使用農(nóng)藥后的殘留量達(dá)到可以免洗入口且對人體無害的殘留量標(biāo)準(zhǔn).為

了防止一種變異的蛤蟲，某農(nóng)科院研發(fā)了一種新的農(nóng)藥"蛻清三號"，經(jīng)過大量試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該農(nóng)藥的安全殘

留量為0.001mg/kg,且該農(nóng)藥噴灑后會逐漸自動降解，其殘留按照y=aei的函數(shù)關(guān)系降解，其中x的單

位為小時(shí)，y的單位為mg/kg.該農(nóng)藥的噴灑濃度為2mg/kg,則該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量

標(biāo)準(zhǔn)，至少需要()小時(shí).(參考數(shù)據(jù)lnl0=2.3)

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】由題意知，當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

所以2=a?e9解得a=2,

所以y—2ex,

要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量標(biāo)準(zhǔn)，則2e”0.001,

0.001

解得x±-In--------=3lnl0+ln2=3x2.3+ln2=6.9+ln2,

2

因?yàn)镮n[<ln2<lne,即0.5<ln2<l,

所以6.9+ln2W(7.4,7.9),

所以要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量標(biāo)準(zhǔn)，至少需要8小時(shí).

故選：D.

7.設(shè)/(X)=10g,(——+1)是奇函數(shù)，若函數(shù)g(x)圖象與函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線y=X對稱，則g(x)的

x+a

值域?yàn)?)

A.(—,一；)0(；,+°°)B,(—；［)

C.(—00,-2)U(2,+oo)D.(—2,2)

【答案】A

【解析】因?yàn)?(x)=10g,(」一+l),

x+a

所以一--1-1="'+”>0可得x<—a—l^c.x>-a,

x+ax+a

所以f(x)的定義域?yàn)閧x|x<一以—1或x>-a},

因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以一a—l=a,解得。=-,，

2

所以/⑶的定義域?yàn)?一00,-；)嗎收)，

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)圖象與函數(shù).f(x)圖象關(guān)于直線丁=》對稱，

所以g(x)與互為反函數(shù)，

故g(x)的值域即為了(X)的定義域(-8,-g)U(g，+8).

故選：A.

8.我國航天技術(shù)的迅猛發(fā)展與先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)密不可分.據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理

M

想狀態(tài)下，可以用公式v=vln—計(jì)算火箭的最大速度u(m/s),其中％(m/s)是噴流相對速度，加(kg)

om

是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量，M(kg)是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，竺稱為"總質(zhì)比”.已知甲型火箭的總質(zhì)

m

17

比為400,經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，甲型火箭的總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼腏,噴流相對速度提高了工，最大

速度增加了900(m/s),則甲型火箭在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的噴流相對速度為()(參考數(shù)據(jù)：

ln2?0.7,ln5?1.6)

A.1200m/sB.1500m/sC.1800m/sD.2100m/s

【答案】C

v=%/〃400

【解析】設(shè)改進(jìn)前的速度為叭則《

v+9OO=(l+-)v/n(-x4OO)

3o8

9002700

?*VQ=~=wl80°,故選：C.

05.,.....4/〃5-7/〃2

一/"50-7/7400

3

題組B能力提升練

1.函