湖南省婁底市雙峰一中2024-2025學年高一數學下學期第二次月考試題含解析

PAGE22-湖南省婁底市雙峰一中2024-2025學年高一數學下學期其次次月考試題（含解析）一、單選題1.已知向量，，若，則實數a的值為A. B.2或 C.或1 D.【答案】C【解析】【分析】依據題意，由向量平行的坐標表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【詳解】依據題意，向量，，若，則有，解可得或1；故選C．【點睛】本題考查向量平行的坐標表示方法，熟記平行的坐標表示公式得到關于a的方程是關鍵，是基礎題2.設，，，若，則與的夾角余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據，，表示的坐標，再由建立方程求得k，得到的坐標，然后利用夾角公式求解.【詳解】因為，，所以，因為，所以，解得，所以，因為，所以，所以與的夾角余弦值為.故選：B【點睛】本題主要考查平面對量的數量積運算及應用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.3.將函數的圖像沿軸向右平移個單位長度，所得函數的圖像關于軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用協(xié)助角公式將函數化為，然后利用三角函數的平移變換原則即可求解.【詳解】，將函數的圖像沿軸向右平移個單位長度，可得，此函數圖像關于軸對稱，則，解得，因為，則當時，取得最小值.故選：D【點睛】本題考查了三角函數的平移變換原則、協(xié)助角公式、誘導公式，屬于基礎題.4.從區(qū)間隨機抽取個數,，…，，，，…，，構成n個數對，，…，，其中兩數的平方和小于1的數對共有個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為A. B. C. D.【答案】C【解析】此題為幾何概型．數對落在邊長為1的正方形內，其中兩數的平方和小于1的數落在四分之一圓內，概型為，所以．故選C．5.某學校隨機抽查了本校20個學生，調查他們平均每天進行體育熬煉的時間（單位：min），依據所得數據的莖葉圖，以5為組距將數據分為8組，分別是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出頻率分布直方圖如圖所示，則原始的莖葉圖可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】從題設中供應的頻率分布直方圖可算得在區(qū)間內各有個，答案A被解除；在區(qū)間內有個；在區(qū)間內有個；在區(qū)間內有個；在區(qū)間內各有個，答案C被解除；在區(qū)間內有個，答案D被解除；依據這些數據信息可推知，應選答案B．點睛：解答本題的方法是依據題設中所供應的頻率分布直方圖供應的信息，先算出在不同區(qū)間內的個體的頻數，再分別結合所給的莖葉圖，對每個答案逐一進行分析推斷，從而解除不合題設的答案，選出正確答案，使得問題獲解．6.從裝有兩個白球和兩個黃球（球除顏色外其他均相同）的口袋中任取2個球，以下給出了四組事務①至少有1個白球與至少有1個黃球；②至少有1個黃球與都黃球；③恰有1個白球與恰有1個黃球；④至少有1個黃球與都是白球．其中互斥而不對立的事務共有（）A.0組 B.1組 C.2組 D.3組【答案】A【解析】【分析】依據互斥事務和對立事務的概念逐一推斷即可.【詳解】對于①，至少有1個白球與至少有1個黃球可以同時發(fā)生，兩個事務不互斥對于②，至少有1個黃球與都是黃球可以同時發(fā)生，兩個事務不互斥對于③，恰有1個白球與恰有1個黃球都表示的是取出的兩個球中，一個白球，一個黃球，故不是互斥事務對于④，兩事務不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，因此兩事務是互斥事務，也是對立事務故選：A【點睛】本題考查的是對互斥事務和對立事務的理解，較簡潔.7.若，，均為實數，則下面三個結論均是正確的：①；②；③若，，則；對向量，，，用類比的思想可得到以下四個結論：①；②；③若，，則；其中結論正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.0個【答案】A【解析】【分析】依據平面對量的數量積的定義和運算性質，推斷選項中的命題是否正確，即可求解.【詳解】對于①中，依據平面對量的數量積的定義，可得所以是正確的；對于②中，，依據平面對量的數量積不滿意結合律，所以是錯誤的；對于③中，，，則；，依據平面對量的數量積的運算不滿意消去律，所以不正確.綜上可得，只有①是正確的.故選：A.【點睛】本題主要考查了平面對量的數量積的定義及運算性質的應用，其中解答中熟記平面對量的運算性質是解答的關鍵，著重考查分析、判定實力.8.《周髀算經》中提出了“方屬地，圓屬天”，也就是人們常說的“天圓地方”．我國古代銅錢的鑄造也蘊含了這種“外圓內方”“天地合一”的哲學思想．現將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為a（0＜a＜r），若在圓內隨機取點，得到點取自陰影部分的概率是p，則圓周率π的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算圓形錢幣的面積和正方形的面積，利用幾何概型的概率公式求出p，則π可求．【詳解】圓形錢幣的半徑為rcm，面積為S圓＝π?r2；正方形邊長為acm，面積為S正方形＝a2．在圓形內隨機取一點，此點取自黑色部分的概率是p1，所以π．故選：A．【點睛】本題主要考查幾何概型的概率求法及應用，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.9.甲、乙、丙、丁四名同學在某次軍訓射擊測試中，各射擊10次．四人測試成果對應的條形圖如下：以下關于四名同學射擊成果的數字特征推斷不正確的是（）A.平均數相同 B.中位數相同 C.眾數不完全相同 D.丁的方差最大【答案】D【解析】【分析】視察四名同學的統(tǒng)計圖的特征，四位同學的直方圖都關于5環(huán)對稱，因此它們的平均數都是5，中位數相同，眾數明顯不完全相同，依據方差的定義分別計算四名同學的方差即可得出結論.【詳解】解：由圖的對稱性可知，平均數都為；由圖易知，四組數據的眾數不完全相同，中位數相同；記甲、乙、丙、丁圖所對應的方差分別為，則，，，，所以丙的方差最大．故選：D．【點睛】本小題考查統(tǒng)計圖表、數字特征的概念等基礎學問；考查運算求解實力；考查數形結合思想、統(tǒng)計與概率思想；考查直觀想象、數據處理、數學運算等核心素養(yǎng)，體現基礎性、應用性．10.已知函數，給出下列四個結論，其中正確的結論是（）A.函數的最小正周期是B.函數在區(qū)間上是減函數C.函數的圖象關于對稱D.函數的圖象可由函數的圖象向左平移個單位得到【答案】B【解析】【分析】先將化簡為，再逐個選項推斷即可．【詳解】A選項，因為，則的最小正周期，結論錯誤；B選項，當時，，則在區(qū)間上是減函數，結論正確；C選項，因為，則的圖象不關于直線對稱，結論錯誤；D選項，設，則，結論錯誤．故選：B【點睛】本題考查三角函數的恒等變換及三角函數的性質，屬于中檔題.11.已知A是函數的最大值，若存在實數使得對隨意實數x，總有成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過兩角和與差的正弦公式化簡函數為，再由存在實數使得對隨意實數x，總有成立，得到再求解.【詳解】依據題意，A=3又因為存在實數使得對隨意實數x，總有成立所以所以故選：C【點睛】本題主要考查了兩角和與差三角函數及三角函數圖象與性質的應用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.12.如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原點），．點P（x，y）是上隨意一點，則xy+x+y的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα利用三角函數有關公式化簡，即可求解最大值．【詳解】由題意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα，設t=sinα+cosα，則t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=t=sinα+cosα=sin（α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴.∴當t=時，xy+x+y取得最大值為：．故選D．【點睛】本題考查了三角函數的性質和轉換思想的應用，由t=sinα+cosα，則t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，將xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=+t=（t-1）2，轉化為二次函數問題，屬于中檔題；二、填空題13.已知，則________.【答案】【解析】【分析】設,再換元得,再利用和差角公式求解即可.【詳解】設,則,所以,又故答案為【點睛】本題主要考查換元法,將已知角設成,再反解求出所求三角函數的角,再利用和差角公式化簡計算.14.從某單位45名職工中隨機抽取6名職工參與一項社區(qū)服務活動，用隨機數法確定這6名職工.選取方法是先將45名職工編號，分別為01，02，03，…，45，然后從下面的隨機數表第一行的第5列的數字7起先由左到右依次選取兩個數字，從而確定6個個體的編號，則選出的第6個職工的編號為______________.【答案】35【解析】【分析】由隨機數表法的讀數方法，求解即可.【詳解】采納隨機數表法在讀數中出現的相同數據只取一次，不在編號01，02，03，…，45范圍的數據要剔除，則選出的6個職工的編號分別為：，即選出的第6個職工的編號為故答案為：【點睛】本題主要考查了隨機數表法的應用，屬于基礎題.15.如圖是以一個正方形的四個頂點和中心為圓心，以邊長的一半為半徑在正方形內作圓弧得到的.現等可能地在該正方形內任取一點，則該點落在圖中陰影部分的概率為______.【答案】【解析】【分析】依據題意，設正方形的邊長為，計算陰影部分的面積，與正方形面積作比，即為幾何概型的概率.【詳解】設正方形的邊長為，則空白部分的面積為，因此所求概率為.故答案為：【點睛】本題考查面積型幾何概型，屬于基礎題.16.關于函數有下列四個結論：①是偶函數②在區(qū)間單調遞減③在區(qū)間上的值域為④當時，恒成立其中正確結論的編號是____________（填入全部正確結論的序號）．【答案】①③④【解析】【分析】，所以是偶函數；，所以在區(qū)間不是單調函數；依據是偶函數求出的值域即的值域；分類探討時，再探討時，求的范圍.【詳解】①，，所以偶函數；②，即，所以在區(qū)間不是單調遞減；③是偶函數，在區(qū)間上的值域即的值域，此時，，所以在區(qū)間上的值域為；④當時，，，，當時，，，，綜上：當時，恒成立.故答案為：①③④【點睛】此題考查探討三角函數的奇偶性、單調性，以及依據已知條件求值域，涉及分類探討的思想.三、解答題17.已知角的終邊經過點（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根三角函數的定義，即可求解，得到答案；（2）利用三角函數的誘導公式，化簡得到原式，代入求解.【詳解】（1）由題意角的終邊經過點，可得，依據三角函數的定義，可得.（2）由三角函數的誘導公式，可得.【點睛】本題主要考查了三角函數的定義，以及三角函數的誘導公式的化簡求值，其中解答中熟記三角函數的定義和三角函數的誘導公式，精確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎題.18.設兩個向量，，滿意，.(1)若，求、的夾角；(2)若、夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)且.【解析】【分析】(1)依據可求出，再利用向量夾角公式，即可求出、的夾角；(2)向量與的夾角為鈍角，等價轉化為且向量與不反向共線，求解即可.【詳解】(1)因為，所以，即，又，，所以，所以，又，所以向量、的夾角是.(2)因為向量與的夾角為鈍角，所以，且向量與不反向共線，即，又、夾角為，所以，所以，解得，又向量與不反向共線，所以，解得，所以的取值范圍是且.【點睛】本題主要考查向量的數量積，向量的夾角公式及共線定理，屬于基礎題.19.某大型商場的空調在1月到5月的銷售量與月份相關，得到的統(tǒng)計數據如下表：月份12345銷量（百臺）0.60.81.21.61.8（1）經分析發(fā)覺1月到5月的銷售量可用線性回來模型擬合該商場空調的月銷量（百件）與月份之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回來方程，并預料6月份該商場空調的銷售量；（2）若該商場的營銷部對空調進行新一輪促銷，對7月到12月有購買空調意愿的顧客進行問卷調查.假設該地擬購買空調的消費群體非常浩大，經過營銷部調研機構對其中的500名顧客進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數表：有購買意愿對應的月份789101112頻數60801201308030現采納分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名，再從這6人中隨機抽取3人進行跟蹤調查，求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.參考公式與數據：線性回來方程，其中，.【答案】（1）；2.16（百臺）；（2）【解析】【分析】（1）由題意計算平均數與回來系數，寫出線性回來方程，再利用回來方程計算對應的函數值；（2）利用分層抽樣法求得抽取的對應人數，用列舉法求得基本領件數，再計算所求的概率值．【詳解】（1）因為，所以，則，于是關于的回來直線方程為.當時，（百臺）.（2）現采納分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名，則購買意愿為7月份的抽4人記為，，，，購買意愿為12月份的抽2人記為，，從這6人中隨機抽取3人的全部狀況為、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20種，恰好有2人是購買意愿的月份是12月的有、、、，共4種，故所求概率為.【點睛】本題考查了線性回來方程與列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題．20.某學校為擔當班主任的老師辦理手機語音月卡套餐，為了解通話時長，采納隨機抽樣的方法，得到該校100位班主任每人的月平均通話時長（單位：分鐘）的數據，其頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率.（1）求圖中的值；（2）估計該校擔當班主任的老師月平均通話時長的中位數；（3）在，這兩組中采納分層抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人恰在同一組的概率.【答案】(1)(2)390分鐘.(3)【解析】【分析】（1）依據頻率分布直方圖中全部矩形的面積和為1，列出方程，即可求解；（2）設該校擔當班主任的老師月平均通話時長的中位數為，依據頻率分布直方圖的中位數的計算方法，即可求解.（3）依據分層抽樣，可得在內抽取人，分別記為，在內抽取2人，記為，利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】（1）依題意，依據頻率分布直方圖的性質，可得：，解得.（2）設該校擔當班主任的老師月平均通話時長的中位數為.因為前2組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，所以，由，得.所以該校擔當班主任的老師月平均通話時長的中位數為390分鐘.（3）由題意，可得在內抽取人，分別記為，在內抽取2人，記為，則6人中抽取2人的取法有：，，，，，，，，，，，，，，，共15種等可能的取法.其中抽取的2人恰在同一組的有，，，，，，，共7種取法，所以從這6人中隨機抽取的2人恰在同一組的概率.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，以及古典概型及其概率的計算，其中解答中熟記頻率分布直方圖的相關性質，合理利用古典概型及其概率的計算公式，精確計算是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于基礎題.21.已知函數，（其中，，）的圖象與軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最高點為．（1）求的解析式；（2）先把函數的圖象向左平移個單位長度，然后再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函