8.5.3平面與平面平行

第八章立體幾何初步8.5空間直線、平面的平行8.5.3平面與平面平行課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(多選題)設(shè)a,b是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則α∥β的一個(gè)充分條件是()A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在一個(gè)平面γ,滿(mǎn)足α∥γ,β∥γD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α答案CD解析對(duì)于選項(xiàng)A,若存在一條直線a,a∥α,a∥β,則α∥β或α與β相交.若α∥β,則存在一條直線a,使得a∥α,a∥β.所以選項(xiàng)A的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)必要條件而不是充分條件;對(duì)于選項(xiàng)B,存在一條直線a,a?α,a∥β,則α∥β或α與β相交.若α∥β,則存在一條直線a,a?α,a∥β.所以選項(xiàng)B的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)必要條件而不是充分條件;對(duì)于選項(xiàng)C,平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面顯然是平行的,故選項(xiàng)C的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)充分條件;對(duì)于選項(xiàng)D,可以通過(guò)平移把兩條異面直線平移到其中一個(gè)平面γ中,成為相交直線,由面面平行的判定定理可知γ∥α,γ∥β,則α∥β,所以選項(xiàng)D的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)充分條件.2.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,若經(jīng)過(guò)D1B的平面分別交AA1和CC1于點(diǎn)E,F,則四邊形D1EBF的形狀是()A.矩形 B.菱形 C.平行四邊形 D.正方形答案C解析如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,過(guò)D1B的平面BED1F與平面ABB1A1交于直線BE,與平面CDD1C1交于直線D1F.由面面平行的性質(zhì)定理,得BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四邊形D1EBF為平行四邊形.3.如圖,在三棱臺(tái)A1B1C1ABC中,點(diǎn)D在A1B1上,且AA1∥BD,點(diǎn)M是△A1B1C1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且有平面BDM∥平面A1C,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A.平面 B.直線C.線段,但只含1個(gè)端點(diǎn) D.圓答案C解析∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,過(guò)D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(圖略),則點(diǎn)M的軌跡是線段DE1(不包括點(diǎn)D).4.如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,若E,F,G,H分別是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點(diǎn),則必有()A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1答案D解析易知GH∥D1C,因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;易知EF∥A1B,與選項(xiàng)A類(lèi)似可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤;因?yàn)镋F∥A1B,而直線A1B與平面ABCD相交,故直線EF與平面ABCD也相交,所以平面EFGH與平面ABCD相交,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因?yàn)镋F∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.5.已知直線l,m,平面α,β,下列命題正確的是()A.l∥β,l?α?α∥βB.l∥β,m∥β,l?α,m?α?α∥βC.l∥m,l?α,m?β?α∥βD.l∥β,m∥β,l?α,m?α,l∩m=M?α∥β答案D解析如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,直線AB∥CD,則直線AB∥平面DC1,直線AB?平面AC,但是平面AC與平面DC1不平行,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;取BB1的中點(diǎn)E,CC1的中點(diǎn)F,則可證EF∥平面AC,B1C1∥平面AC,又EF?平面BC1,B1C1?平面BC1,但是平面AC與平面BC1不平行,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;直線AD∥B1C1,AD?平面AC,B1C1?平面BC1,但平面AC與平面BC1不平行,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;很明顯選項(xiàng)D是兩個(gè)平面平行的判定定理,所以選項(xiàng)D正確.6.如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面五個(gè)結(jié)論:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直線EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②③④解析把圖形還原為一個(gè)四棱錐,然后根據(jù)線面、面面平行的判定定理判斷可知①②③④正確.7.如圖,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,則S△A'B答案4解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',則∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',從而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',S△8.(2021吉林長(zhǎng)春第二十九中學(xué)高一期中)如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn).(1)求證:GH∥平面ABC;(2)求證:平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,因?yàn)镚,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),所以GH∥B1C1.又因?yàn)锽C∥B1C1,所以GH∥BC.因?yàn)镚H?平面ABC,BC?平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)因?yàn)镋,F分別是AB,AC的中點(diǎn),所以EF∥BC.又因?yàn)樵谌庵鵄BCA1B1C1中,G為A1B1的中點(diǎn),所以A1G∥EB,A1G=EB,即四邊形A1EBG為平行四邊形.所以A1E∥BG.因?yàn)镋F∥BC,EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1E∥BG,A1E?平面BCHG,BG?平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因?yàn)镋F,A1E?平面EFA1,且EF∩A1E=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.9.已知在四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,點(diǎn)M,N,Q分別在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC.證明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.而B(niǎo)P?平面PBC,NQ?平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC,而B(niǎo)C?平面PBC,MQ?平面PBC,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根據(jù)平面與平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.10.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn).問(wèn):當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面PAO?解當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.證明如下.∵Q為CC1的中點(diǎn),P為DD1的中點(diǎn),∴QB∥PA.∵P,O分別為DD1,DB的中點(diǎn),∴D1B∥PO.∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.關(guān)鍵能力提升練11.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,A1B1的中點(diǎn)是P,過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面,則該截面的面積為()A.22 B.23C.26 D.4答案C解析由題意作的截面如圖所示,易知該截面唯一,且E,F分別為AB,D1C1的中點(diǎn).又因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以A1E=CE=CF=FA1=5,所以四邊形A1ECF為菱形.又因?yàn)锳1C=23,EF=22,故截面面積為26.12.(多選題)如圖是正方體的平面展開(kāi)圖,在這個(gè)正方體中,下列命題中,正確的有()A.BM∥平面DEB.CN∥平面AFC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF答案ABCD解析展開(kāi)圖可以折成如圖①所示的正方體.①②在正方體中,連接AN,如圖②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四邊形ABMN是平行四邊形.∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可證CN∥平面AF,∴AB正確;③如圖③所示,連接NF,BE,BD,DM,CF,可以證明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,則平面BDM∥平面AFN,同理可證平面BDE∥平面NCF,所以CD正確.13.如圖,在多面體ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,則()A.BF∥平面ACGDB.CF∥平面ABEDC.BC∥FGD.平面ABED∥平面CGF答案A解析如圖所示,取DG的中點(diǎn)M,連接AM,FM,則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形,∴DE∥FM,且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四邊形ABFM是平行四邊形,∴BF∥AM.又BF?平面ACGD,AM?平面ACGD,∴BF∥平面ACGD.故選A.14.已知a和b是異面直線,且a?平面α,b?平面β,a∥β,b∥α,則平面α與β的位置關(guān)系是.

答案平行解析在b上任取一點(diǎn)O,則直線a與點(diǎn)O確定一個(gè)平面γ.設(shè)γ∩β=l,則l?β.∵a∥β,∴a∥l,∴l(xiāng)∥α.又b∥α,∴根據(jù)面面平行的判定定理可得α∥β.15.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1棱長(zhǎng)為3,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP=1,過(guò)P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=.

答案22解析因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面PQNM=PQ,平面A1B1C1D1∩平面PQNM=MN,所以MN∥PQ,又因?yàn)镸N∥AC,所以PQ∥AC.又因?yàn)锳P=1,所以PDAD所以PQ=23AC=23×32=216.如圖,E,F,G,H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中點(diǎn),求證:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O,連接GO,OB,易證OG∥B1C1,且OG=12B1C1因?yàn)锽E∥B1C1,且BE=12B1C1,所以O(shè)G∥BE,且OG=BE,即四邊形BEGO為平行四邊形.所以O(shè)B∥GE因?yàn)镺B?平面BDD1B1,GE?平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.(2)由正方體的性質(zhì),易知B1D1∥BD,且易證BF∥D1H.因?yàn)锽1D1?平面BDF,BD?平面BDF,所以B1D1∥平面BDF.因?yàn)镠D1?平面BDF,BF?平面BDF,所以HD1∥平面BDF.又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.如圖,在四棱錐PABCD中,AD∥BC,AD=2BC,F為AD的中點(diǎn),E是線段PD上的一點(diǎn).(1)若E為PD的中點(diǎn),求證:平面CEF∥平面PAB;(2)當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí),PB∥平面ACE?(1)證明因?yàn)镋,F分別為PD,AD的中點(diǎn),所以EF∥PA.因?yàn)镋F?平面PAB,PA?平面PAB,所以EF∥平面PAB.又因?yàn)锳D=2BC,F為AD