2024-2025學(xué)年湖南省天壹名校聯(lián)盟高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省天壹名校聯(lián)盟高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知空間向量a=(x,1,2)，b=(4,2,4)，若a⊥b，則A.1 B.?52 C.?32.已知集合A={x|log2(x+1)≤2}，B={?3,?1,2,5}，則A∩B=A.{?3,?1} B.{?1,2} C.{2} D.{2,5}3.已知空間向量p=2a?3b+3c，q=3aA.(5,?3,4) B.(5,?2,4) C.(2,?3,3) D.(3,1,1)4.樣本數(shù)據(jù)：48，49，50，50，50，50，51，52的方差為(

)A.1 B.1.25 C.2.5 D.45.底面圓周長為2π，母線長為4的圓錐內(nèi)切球的體積為(

)A.15π5 B.13π25 C.6.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心為(π12,0)，A.?π6 B.?π3 C.7.近日，我國某生命科學(xué)研究所的生物研究小組成員通過大量的實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出睡眠中的恒溫動(dòng)物的脈搏率f(單位時(shí)間內(nèi)心跳的次數(shù))與其自身體重W滿足f=kW13(k≠0)的函數(shù)模型.已知一只恒溫動(dòng)物兔子的體重為2kg、脈搏率為205次?min?1A.350kg B.450kg C.500kg D.250kg8.已知函數(shù)f(x)=3cosx+|cosx|，若方程|f(x)|=a(a≠0)在區(qū)間(0,2π)上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，則a(x1A.(4π,8π) B.(2π,4π) C.(0,4π) D.(0,2π)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，M為CD1的中點(diǎn)，A.AM=AB+13AD+1210.已知函數(shù)f(x)=(12024)(x+2A.f(x)為偶函數(shù) B.f(x)的值域?yàn)?0,2024]

C.f(x)在[2024,+∞)上單調(diào)遞減 D.f(66)<f(88)11.已知正數(shù)a，b滿足a?1a≥2b且A.a+b的最小值為16 B.a+b的最小值為4

C.a2+b2的最小值為3+2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知冪函數(shù)f(x)=(m2+m?5)xm?1在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則13.(1+5cosθ)2+(?1+5sinθ14.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別為棱AB，C1D1的中點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1xyz，點(diǎn)P(x,y,z)在平面AB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(x,5?x,2x?1)，B(1,x+2,2?x)，C(1,2,3)．

(1)若AC?BC=2，求x的值；

(2)求|AB|16.(本小題15分)

已知z=a+i1?i(a∈R)為純虛數(shù)．

(1)求a；

(2)求17.(本小題15分)

2024年西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽于8月4日至10日在上海隆重舉行，此次賽事不僅是對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一次全面考驗(yàn)，更是對(duì)數(shù)學(xué)教育未來發(fā)展的深刻實(shí)踐探索，共有200多名學(xué)生參賽，引起社會(huì)廣泛關(guān)注，點(diǎn)燃了全社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的熱情.甲、乙、丙3名同學(xué)各自獨(dú)立去做2024年西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽預(yù)賽中的某道題，已知甲能解出該題的概率為23，乙能解出而丙不能解出該題的概率為18，甲、丙都能解出該題的概率為12．

(1)求乙、丙各自解出該題的概率；

(2)求甲、乙、丙3人中至少有118.(本小題17分)

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為22的菱形，AA1=2，∠BAD=π3，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)．

(1)證明：B119.(本小題17分)

已知a，b，c分別為銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A=π4，a=2，|AO|=|OB|=|OC|=R(R為△ABC外接圓的半徑)．

(1)證明：答案解析1.B

【解析】解：因?yàn)閍=(x,1,2)，b=(4,2,4)，且a⊥b，所以4x+2+8=0，解得x=?52．

故選：2.C

【解析】解：因?yàn)閘og2(x+1)≤2，所以0<x+1≤22，即?1<x≤3，

所以A=(?1,3]，B={?3,?1,2,5}，

所以A∩B={2}．

故選：C．

先解對(duì)數(shù)不等式求出集合3.B

【解析】解：空間向量p=2a?3b+3c，q=3a+b+c，則p+q=5a?24.B

【解析】解：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x?=48+49+50+50+50+50+51+528=50，

方差s2=185.C

【解析】解：由題意可知，圓錐的母線l=4，底面半徑r=1，

根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：

根據(jù)圓錐和球的對(duì)稱性可知，球的截面為圓O，即為等腰△ABC的內(nèi)切圓，

即OE⊥AC，AD⊥BC，OD=OE，CD=CE，

在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，由AC=l=4，CD=r=1，則AD=15，

在Rt△AOE中，AE2+OE2=AO2，即(AC?CE)2+OE6.A

【解析】解：由f(x)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心為(π12,0)，(7π12,0)，

可得T2=12?2πω=7π12?π12=π2，

解得ω=2，

又π12×2+φ=kπ，7.D

【解析】解：根據(jù)題意f=kW13(k≠0)，

當(dāng)W=2時(shí)，f=205，則k=205×213，

當(dāng)f=41時(shí)，則W13=205×21341=5×218.A

【解析】解：因?yàn)閒(x)=3cosx+|cosx|，

當(dāng)cosx≥0時(shí)，f(x)=4cosx∈[0,4]，當(dāng)cosx<0時(shí)，f(x)=2cosx∈[?2,0)，

作出函數(shù)y=|f(x)|在區(qū)間(0,2π)上的圖象如圖所示，

結(jié)合圖象可得，當(dāng)2<a<4時(shí)，方程|f(x)|=a在(0,2π)上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，

且x1+x2=2π，所以a(x1+x2)的取值范圍是(4π,8π)．9.BD

【解析】解：四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，M為CD1的中點(diǎn)，Q為CA1上靠近點(diǎn)A1的五等分點(diǎn)，

則AM=AB+BC+CM=AB+AD+12(CD+CC110.BC

【解析】解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(?x)=(12024)(2?x)2?1=(12024)(x?2)2?1≠f(x)，

則f(x)不為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

令u=(x+2)2?1≥?1，

則y=(12024)u在u∈[?1,+∞)上單調(diào)遞減，

則其值域?yàn)?0,2024]，故B正確；

因?yàn)閡=(x+2)2?1在[?2,+∞)上單調(diào)遞增，且y=(12024)11.CD

【解析】解：由題意可得a≥1a+2b，b≥3a+2b，

∵a+b≥(1a+2b)+(3a+2b)=4(1a+1b)，

∴(a+b)2≥4(1a+1b)(a+b)=4(2+ba+ab)≥4(2+2ba?ab)=16，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，經(jīng)檢驗(yàn)后無法取得等號(hào)，故A、B錯(cuò)誤；

12.?3

【解析】解：由題意可得f(x)=(m2+m?5)xm?1為冪函數(shù)，則m2+m?5=1，解得m=?3或m=2．

當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=x為增函數(shù)，不符合題意；

當(dāng)m=?3時(shí)，f(x)=x?4在(0,+∞)單調(diào)遞減，符合題意．

故答案為：?313.[27?10【解析】解：由題意可得：

(1+5cosθ)2+(?1+5sinθ)2=27+10(cosθ?sinθ)=27+102cos(θ+π4)，

又?1≤cos(θ+π414.2【解析】解：點(diǎn)P與點(diǎn)A1(0,0,0)和點(diǎn)B1(2,0,0)的距離之和為x2+y2+z2+(x?2)2+y2+z2，

因?yàn)锳1關(guān)于平面ABC1D1的對(duì)稱點(diǎn)為D，故PA1+PB1≥DB1=23，

當(dāng)且僅當(dāng)P為DB1中點(diǎn)，即P為正方體中心時(shí)等號(hào)成立；

點(diǎn)P與點(diǎn)M(1,0,2)和點(diǎn)N(1,2,0)的距離之和可表示為(x?1)15.解：(1)由題意可得AC=(1?x,x?3,4?2x),BC=(0,?x,x+1)，

因?yàn)锳C?BC=(1?x,x?3,4?2x)?(0,?x,x+1)=x(3?x)+(x+1)(4?2x)=2，

解得x=2或?13；

(2)由空間兩點(diǎn)間的距離公式，

得|AB|=(1?x【解析】(1)根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算求參；

(2)先由空間兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，再結(jié)合二次函數(shù)值域求解．

本題考查了向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算和空間兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．16.解：(1)由題意可得z=a+i1?i=(a+i)(1+i)(1?i)(1+i)=(a?1)+(1+a)i2=a?12+1+a2i，

因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以a?12=01+a2≠0，

解得a=1．

(2)由(1)得到z=i，又i1=i，i2=?1，i3=?i【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及乘法運(yùn)算化簡，最后根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方計(jì)算，再結(jié)合復(fù)數(shù)的周期性，再求和即可．

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．17.解：(1)設(shè)“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件C，

則A，B，C相互獨(dú)立，

由題意得P(A)=23，P(AC)=P(A)P(C)=23?P(C)=12，

所以P(C)=34，P(BC?)=P(B)P(C?)=P(B)(1?P(C))=P(B)?(1?34)=18，

所以P(B)=12，所以乙、丙各自解出該題的概率為12，34．

(2)設(shè)“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件D，

則D?=A?B?C?，因?yàn)镻(A)=23【解析】(1)設(shè)出事件，運(yùn)用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式及對(duì)立事件概率公式求解即可；

(2)運(yùn)用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，結(jié)合對(duì)立事件概率公式計(jì)算即可．

本題考查相互獨(dú)立事件概率的乘法公式、對(duì)立事件概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18.解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠BAD=π3，E為AB的中點(diǎn)，

所以DE⊥AB，

在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，平面ABBA1⊥平面ABCD，

因?yàn)槠矫鍭BB1A1∩A1平面ABCD=AB，DE?平面ABCD，

所以DE⊥平面ABB1A1，

因?yàn)锽1E?平面ABB1A1，所以DE⊥B1E，

因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1是矩形，AB=22，AA1=2，E，F(xiàn)分別為AB，AA的中點(diǎn)，

所以tan∠AEF=tan∠EB1B=22，

所以∠AEF=∠EB1B，因?yàn)椤螮B1B+∠B1EB=π2，

所以∠AEF+∠B1EB=π2，

所以∠FEB1=π2，

所以EF⊥B1E，

因?yàn)镈E∩EF=E，且DE，EF?平面DEF，

所以B1E⊥平面DEF；

(2)因?yàn)镋F//平面CDD1C1，所以平面CEF與平面CDD1C1的交線與EF平行，

所以交線為CD1，

連接CD1，D1F，CE，

則四棱柱ABCD?A1B1C1D1被平面CEF截得的截面為四邊形EFD1C，

CD1=CD2+DD12=8+4【解析】(1)利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得證；

(2)先確定四棱柱ABCD?A1B1C1D1被平面CEF截得的截面為四邊形EFD1C，再解三角形即可；19.解：(1)證明：因?yàn)锳=π4，所以