湖南省長沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省長沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A=1,3，B=xx2?3x+m=0，若A∩B=A.1,?2 B.1,2 C.1,0 D.1,52.若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=?1?i，則z=(

)A.2+2i B.?2?2i C.?2i D.2i3.等差數(shù)列an(n∈N?)中，a2=10A.40 B.30 C.20 D.104.已知sinα+β=?35,A.?310 B.15 C.?5.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個(gè)氟原子處于頂點(diǎn)位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將其六個(gè)頂點(diǎn)看作正方體各個(gè)面的中心點(diǎn)．若正八面體的表面積為123，則正八面體外接球的體積為(

)

A.42π B.43π6.已知函數(shù)fx=cosx+ex，且a=fA.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a7.當(dāng)x∈0,2π時(shí)，曲線y=cosx與y=2cosA.3 B.4 C.5 D.68.已知fx的定義域?yàn)镽,fx+y+fx?y=3fxfA.

?13 B.?23 C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某校高三年級(jí)選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為30,100，若等級(jí)分X～N80,25，則(

)參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ<X≤μ+σ=0.6827；Pμ?2σ<X≤μ+2σA.這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為5

B.這次考試等級(jí)分超過80分的約有45人

C.這次考試等級(jí)分在70,80內(nèi)的人數(shù)約為48人

D.P10.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對(duì)稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié)．中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn)．它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條．其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．曲線C:(x2+yA.曲線C的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱

B.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過3

C.曲線C經(jīng)過7個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

D.若直線y=kx與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?∞,?1]∪[1,+∞)11.已知函數(shù)fx=x2A.函數(shù)fx的極小值點(diǎn)為x=1

B.fe>f3e

C.若函數(shù)gx=fx三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a,b滿足a=2,b=3,0，則向量a在向量b方向上的投影向量的坐標(biāo)為1213.已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為2，過點(diǎn)F1的直線l交E的左支于A,B兩點(diǎn)．OB14.十四屆全國人大一次會(huì)議于2023年3月5日在北京召開．會(huì)議期間，會(huì)議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個(gè)會(huì)議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場引導(dǎo)工作，每個(gè)會(huì)議廳至少1人，每人只負(fù)責(zé)一個(gè)會(huì)議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個(gè)會(huì)議廳的不同安排方法共有

種．(用數(shù)字作答)四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知3(1)求角C；(2)若?ABC外接圓的半徑為2，求?ABC面積的最大值．16.(本小題12分)如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD，EF//AD，AD=4，AB=2，BC=EF=2，AF=11，F(xiàn)B⊥平面ABCD，M為AD上一點(diǎn)，且FM⊥AD，連接BD、(1)證明：BC⊥平面BFM；(2)求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值．17.(本小題12分)如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1:x22+y2=1，橢圓C(1)當(dāng)直線l傾斜角為135°時(shí)，求直線(2)求證：?AOB的面積為定值．18.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求fx(3)gx=fx?m在區(qū)間?1,119.(本小題12分)對(duì)于?n∈N?，若數(shù)列xn滿足x(1)已知數(shù)列1，2m，m2+1是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)(2)是否存在首項(xiàng)為?2的等差數(shù)列an為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和Sn使得Sn<1(3)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列an是“K數(shù)列”，數(shù)列12an不是“K數(shù)列”，若bn=a參考答案1.B

2.C

3.B

4.A

5.B

6.D

7.D

8.B

9.ACD

10.BD

11.AC

12.10

13.1+14.114

15.解：(1)由已知及正弦定理可得3整理得a2∴cos∵C∈0,π(2)∵?ABC外接圓的半徑為2，∴csinC又a2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=∴S即?ABC面積的最大值為2+

16.解：(1)因?yàn)镕B⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以FB⊥AD.又FM⊥AD，且FB∩FM=F，所以AD⊥平面BFM.因?yàn)锽C//AD，所以BC⊥平面BFM．(2)作EN⊥AD，垂足為N.則FM//EN.又EF//AD，所以四邊形FMNE是平行四邊形，又EN⊥AD，所以四邊形FMNE

是

矩形，又四邊形ADEF為等腰梯形，且AD=4，EF=2，所以AM=1．由(1)知AD⊥平面BFM，所以BM⊥AD.又AB=所以BM=1.在Rt△AFM中，F(xiàn)M=在Rt?FMB中，∴FB=由上可知，能以BM，BC，BF所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則A(?1,?1,0)，B(0,0,0)，F(xiàn)(0,0,3)，D(?1,3,0)，E(0,2,3)，所以，AB=(1,1,0)，BF=(0,0,3)，BD=(?1,3,0)，BE=(0,2,3)，設(shè)平面由m?AB=0m?設(shè)平面BDE的法向量為n=由n?BD=0n?因此，cos<m，依題意可知，平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值為3

17.解：(1)因?yàn)橹本€l傾斜角為135°，直線l為y=?x+b，因?yàn)闄E圓直線l與橢圓C1只有一個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程y=?x+bx2∴Δ=4b2?12b2?2(2)因?yàn)橹本€l與橢圓C1只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線l為y=kx+b由y=kx+b2k又因?yàn)橹本€與橢圓C2交于A,B兩點(diǎn)y=kx+bx所以x1+x2=?4kb2k所以S=1

18.解：(1)由題可得：f′x令f′x=0，解得：x=0或令f’(x)<令f′(x)>0，解得：x<0或x>ln所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(0,ln2)；單調(diào)增區(qū)間為：(?∞,0)(2)因?yàn)閒(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(0,ln2)；單調(diào)增區(qū)間為：(?∞,0)，由于f(0)=?1<0，則f(x)在(?∞,0)上無零點(diǎn)；由于f(ln2)=2(ln2?1)?ln由于f(2)=e2?4>0，則f(x)綜上，函數(shù)f(x)在R上存在唯一零點(diǎn)．(3)若gx=fx?m在區(qū)間?1,12上有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)由(1)知，f(x)在?1,0上單調(diào)遞增，(0,1f(?1)=?2e?1，f(0)=?1<0所以函數(shù)y=f(x)與y=m在區(qū)間?1,12上有兩個(gè)交點(diǎn)，則即gx=fx?m在區(qū)間?1,

19.解：(1)由題意得2m?1>1，且m2+1?2m>1，解得m>2，所以實(shí)數(shù)m(2)不存在．理由：假設(shè)存在等差數(shù)列an符合要求，設(shè)公差為d，則d>1由a1=?2得由題意，得?2n+n(n?1)2d<12當(dāng)n=1時(shí)，d∈R；當(dāng)n>1時(shí)，d<n+2因?yàn)閚+2n?1=n?1+3n?1=1+所以這樣的等差數(shù)列an(3)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則a因?yàn)閍n的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且a所以在an?a同理，12an由an為“K