湖南省長沙市2024年高三數(shù)學(xué)模擬預(yù)測卷含答案

湖南省長沙市2024年高三數(shù)學(xué)模擬預(yù)測卷一、單選題1．“數(shù)列和都是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（

）A． B．C． D．3．若集合，集合，則的子集個數(shù)為（

）A．16 B．15 C．32 D．314．已知，則等于（）A．10 B． C．3 D．5．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（

）A．4 B．2 C． D．6．在下列關(guān)于概率的命題中，正確的有（

）A．若三個事件、滿足，則、為對立事件B．若三個事件、、兩兩獨(dú)立，則C．若事件、滿足，，，則、相互獨(dú)立D．若事件與是互斥事件，則與也是互斥事件7．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為且，在區(qū)間上恰有4個不同的實(shí)數(shù)，使得對任意都滿足，且對任意角在區(qū)間上均不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知橢圓上有一異于頂點(diǎn)的點(diǎn)P，A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，且兩直線PA，PB的斜率的乘積為，則橢圓C的離心率e為（

）．A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則為等差數(shù)列B．若，則為遞增數(shù)列C．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值D．“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件10．對于兩條不同直線和兩個不同平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則11．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)（在第二象限，在第一象限），下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為4D．若的面積為2，則雙曲線的焦距的最小值為8三、填空題12．“圓排列”亦稱“循環(huán)排列”“環(huán)排列”，最早出現(xiàn)在中國《易經(jīng)》的四象八卦組合.當(dāng)A，B，C三位同學(xué)圍成一個圓時，其中一個排列“ABC”與該排列旋轉(zhuǎn)一個或幾個位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一個排列，現(xiàn)有六位同學(xué)圍成一個圓做游戲，其排列總數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．已知函數(shù)，則．14．在中，點(diǎn)D滿足，過點(diǎn)D的直線交線段AB于點(diǎn)M、交線段AC的延長線于點(diǎn)N，記，，則的最小值為.四、解答題15．甲、乙兩臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲、乙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品且甲機(jī)床加工的零件不是一等品的概率是.(1)分別求甲、乙兩臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲加工的零件中取兩個，從乙加工的零件中取一個檢驗(yàn)，求至少有一個一等品的概率.16．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．在如圖所示的五面體中，共面，是正三角形，四邊形為菱形，平面，點(diǎn)為中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)已知，求平面與平面所成二面角的正弦值．18．已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間，并證明在上沒有零點(diǎn)．19．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別過兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過點(diǎn)，求圓的方程．參考答案：1．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可證明充分性成立，舉例說明可證明必要性不成立，即可求解.【詳解】若數(shù)列都是等比數(shù)列，設(shè)其公比分別為為常數(shù))，則，所以當(dāng)時，，為常數(shù)，由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故充分性成立；若數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)，當(dāng)，時，滿足，但都不是等比數(shù)列，故必要性不成立.所以“數(shù)列、都是等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A2．C【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡即可求解.【詳解】依題意得，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為．故選：C3．A【分析】解對數(shù)不等式和一元二次不等式可得集合，利用交集運(yùn)算計(jì)算，進(jìn)而可得子集個數(shù).【詳解】對于集合可得，解得，所以，對于集合可得，解得，所以，所以，故的子集個數(shù)為.故選:A.4．B【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算即可求解.【詳解】由向量，可得，所以.故選：B.5．C【分析】根據(jù)條件得出函數(shù)的周期為，再利用，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又為偶函數(shù)，得到，由，得到，所以，即有，所以，故函數(shù)的周期為，又，所以，故選：C.6．C【分析】取特例可判斷AB選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷C選項(xiàng)；取事件與對立，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若事件、不互斥，但是恰好，滿足，但是、不是對立事件．故A錯誤；對于B選項(xiàng)，設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，，可求得，，，所以，，，即、、兩兩獨(dú)立，但，所以，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)槭录M足，，，所以，所以、相互獨(dú)立，故C正確；對于D選項(xiàng)，若事件與是互斥事件，不妨設(shè)與對立，則，此時，與是同一事件，故D錯誤．故選：C.7．B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)滿足的條件可得的解析式，根據(jù)對稱性及正弦函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，故，故，而，故，故，?由可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，即，其中.當(dāng)時，，因函數(shù)在上的前5個零點(diǎn)依次為，可得，解得，又在上不是單調(diào)函數(shù)，，解得，綜上.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正弦型函數(shù)的零點(diǎn)問題，應(yīng)該利用整體法先求出整體的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得整體的性質(zhì).8．B【分析】由題意可知，，設(shè)，，利用線PA，PB的斜率的乘積為計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，，設(shè)，，則，于是所以，所以，故選：B9．ACD【分析】先求出，當(dāng)時，，再逐項(xiàng)判斷選項(xiàng).【詳解】由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，若，則，符合，故為等差數(shù)列，A正確；若，則，，所以不是遞增數(shù)列，B錯誤；若，則，當(dāng)時，，為公差為2的等差數(shù)列，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，C正確；當(dāng)時，，故數(shù)列為遞增數(shù)列等價于，即，可得，故D正確.故選：ACD10．BCD【分析】根據(jù)空間中平面與直線的位置關(guān)系即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對于A，由于沒有說明是否相交，故不一定平行,A錯誤，對于B，若，則（面面垂直的性質(zhì)定理），故B正確，對于C，若，則，C正確，對于D，若，則，D正確，故選：BCD11．AC【分析】根據(jù)即可判斷A,根據(jù)兩直線的斜率即可判斷B，根據(jù)面積關(guān)系，結(jié)合不等式即可求解CD.【詳解】由于雙曲線的漸近線方程為，所以，,故，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以，A正確.，直線的斜率為，直線的斜率為由于與不一定相等，所以直線與直線不一定平行，B錯誤.的面積為，雙曲線的焦距為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以雙曲線的焦距的最小值為正確，錯誤.故選：AC

12．120【分析】由條件中所舉的3個人的“環(huán)排列”，確定“環(huán)排列”的公式，即可求解.【詳解】三位同學(xué)圍成一個圓，“”“”或“”是同一排列，其中每一個圓排列可以拆成任意一位同學(xué)為首的直線排列3個.三位同學(xué)圍成一個圓的排列總數(shù)為，由此可得六位同學(xué)圍成一個圓的排列總數(shù)為.故答案為：13．【分析】由，從而可求解.【詳解】由題意知當(dāng)，，則，所以.故答案為：.14．【分析】先求出，再根據(jù)平面向量共線定理可得，再根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)D的直線交線段AB于點(diǎn)M、交線段AC的延長線于點(diǎn)N，記，，所以，且，，由，得，又三點(diǎn)共線，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出，再根據(jù)平面向量共線定理可得，是解決本題的關(guān)鍵.15．(1)(2)【分析】（1）記事件A：甲機(jī)床加工的零件是一等品，事件B：乙機(jī)床加工的零件是一等品，且A與B相互獨(dú)立，根據(jù)，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式及對立事件概率公式列方程組求解即可；（2）記事件C：從甲加工的零件中取兩個都不是一等品，事件D：抽取的三個零件至少有一個一等品，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式及對立事件概率公式求解即可.【詳解】（1）記事件A：甲機(jī)床加工的零件是一等品，事件B：乙機(jī)床加工的零件是一等品，且A與B相互獨(dú)立，由題意得，，所以，解得.（2）記事件C：從甲加工的零件中取兩個都不是一等品，事件D：抽取的三個零件至少有一個一等品，則，所以.16．(1)(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為．可得，解出即可得出．（2）由（1）得：．再利用錯位相減法即可得出．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為．則，解得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即．（2）由（1）得：．所以，，，．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交與點(diǎn)O，證明四邊形為平行四邊形，推出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）取中點(diǎn)為N，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：連接交與點(diǎn)O，連接，由于平面平面，平面平面，故，O為的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，故，，則四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，故平面；（2）由（1）知，取中點(diǎn)為N，連接，由題意知是邊長為2的正三角形，在中，，則，故，是邊長為2的正三角形，則，又平面，則平面，平面，故，，則為正三角形，故，而平面，故平面，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，則，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則；，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)平面與平面所成二面角為，故，故平面與平面所成二面角的正弦值為.18．(1)，(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，，證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，解得即可；（2）由（1）可得，求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明在上沒有零點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由題意知，解得.（2）由（1）可得定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，所以?dāng)時，當(dāng)或時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，，在上沒有