高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第09章平面解析幾何第2節(jié)兩直線的位置關(guān)系

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)兩直線的位置關(guān)系2017·全國卷Ⅰ·T10·5分在拋物線背景下結(jié)合直線垂直，求最小值數(shù)形結(jié)合2017·全國卷Ⅱ·T20·12分橢圓中結(jié)合直線垂直求解數(shù)學(xué)運(yùn)算直線的交點(diǎn)2016·全國卷Ⅲ·T16·5分直線與圓數(shù)學(xué)運(yùn)算點(diǎn)到直線的距離2016·全國卷Ⅱ·T4·5分圓心到直線的距離數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析本節(jié)知識(shí)很少單獨(dú)考查，常常與圓、圓錐曲線相結(jié)合，解題時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合的思想.1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.(2)兩條直線垂直：①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.2．兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三種距離點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))提醒：1．辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．若兩條直線都有斜率，可根據(jù)相應(yīng)公式或性質(zhì)判斷，若直線無斜率，要單獨(dú)考慮．(2)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，若給出的直線不是一般式，則應(yīng)化為一般式．(3)在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))時(shí)，一定要注意將兩方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式．2．與已知直線垂直及平行的直線系的設(shè)法與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直線方程可設(shè)為：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．3．過兩直線交點(diǎn)的直線系方程的設(shè)法過l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.()(3)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，當(dāng)k1≠k2時(shí)，l1與l2相交．()(4)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(5)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2．直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則直線l的方程是()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析：選A設(shè)與2x－3y＋4＝0垂直的直線為3x＋2y＋C＝0，因?yàn)橹本€過點(diǎn)(－1,2)，所以3×(－1)＋2×2＋C＝0，∴C＝－1.∴直線l的方程是3x＋2y－1＝0.3．(教材習(xí)題改編)已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2解析：選B由題意知A＝1，B＝1，C1＝1，C2＝－1，∴d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2).4．(教材習(xí)題改編)已知直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，則實(shí)數(shù)a的值是()A．－3 B．2C．－3或2 D．3或－2解析：選A∵l1∥l2，∴eq\f(a,2)＝eq\f(3,a＋1)≠eq\f(1,1)，∴a＝－3.兩直線的平行與垂直問題[明技法]1．用一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)(A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)(A1B2－A2B1≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)(A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1＝0)2．用斜截式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋bl1與l2垂直的充分條件k1k2＝－1l1與l2平行的充分條件k1＝k2b1≠b2l1與l2相交的充分條件k1≠k2l1與l2重合的充分條件k1＝k2b1＝b2注意：(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．[提能力]【典例】(1)已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，則a＝()A．－1 B．2C．0或－2 D．－1或2(2)已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0,若l1⊥l2，則a＝________.(3)經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________.解析：(1)選D若a＝0，兩直線方程為－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此時(shí)兩直線相交，不平行，所以a≠0.當(dāng)a≠0時(shí)，若兩直線平行，則有eq\f(a－1,1)＝eq\f(2,a)≠eq\f(1,3)，解得a＝－1或a＝2，選D．(2)方法一∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即eq\f(a,2)＝－1，解得a＝－2.方法二∵l1⊥l2，∴a＋2＝0，a＝－2.答案：－2(3)方法一由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0,2)．∵l⊥l3，∴直線l的斜率k1＝－eq\f(4,3)，∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.方法二∵直線l過直線l1和l2的交點(diǎn)，∴可設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l與l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直線l的方程為12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.答案：4x＋3y－6＝0[刷好題]1．設(shè)不同直線l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C當(dāng)m＝2時(shí)，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立．當(dāng)l1∥l2時(shí)，顯然m≠0，從而有eq\f(2,m)＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線重合，不合要求，故必要性成立，故選C．2．已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求a的值．解：(1)由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6∴l(xiāng)1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－1×2＝0，,aa2－1－1×6≠0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6))?a＝－1，故當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2.(2)由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0?a＝eq\f(2,3).距離公式的運(yùn)用[明技法]距離的求法(1)點(diǎn)到直線的距離可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．(2)兩平行直線間的距離①利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；②利用兩平行線間的距離公式．[提能力]【典例】已知點(diǎn)P(2，－1)．(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．解：(1)過點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－1)，顯然，過P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作圖可得過點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直線2x－y－5＝0是過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離為eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，過點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)的距離超過eq\r(5)的直線，因此不存在過點(diǎn)P且到原點(diǎn)的距離為6的直線．[刷好題]1．點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)解析：選C設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,5－3x)，則P點(diǎn)到直線x－y－1＝0的距離d＝eq\f(|x－5－3x－1|,\r(2))＝eq\f(|4x－6|,\r(2))＝eq\r(2)，所以|2x－3|＝1，所以x＝1或x＝2.所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)或(2，－1)．2．(2018·巴蜀中學(xué)月考)已知曲線y＝eq\f(2x,x－1)在點(diǎn)P(2,4)處的切線與直線l平行且距離為2eq\r(5)，則直線l的方程為()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：選B由題意得，y′＝eq\f(2x－1－2x,x－12)＝eq\f(－2,x－12)，令x＝2，則y′＝－2，即切線的斜率為k＝－2，即直線l的斜率為k＝－2，設(shè)直線l方程為2x＋y＋b＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝eq\f(|2×2＋4＋b|,\r(22＋12))＝2eq\r(5)，解得b＝2或b＝－18，所以直線l的方程為2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0，故選B．對(duì)稱問題[析考情]一般地，對(duì)稱問題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，直線關(guān)于直線的對(duì)稱等情況，以上各種對(duì)稱問題最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決．[提能力]命題點(diǎn)1：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題【典例1】(2017·蚌埠期末)點(diǎn)P(3,2)關(guān)于點(diǎn)Q(1,4)的對(duì)稱點(diǎn)M為()A．(1,6) B．(6,1)C．(1，－6) D．(－1,6)解析：選D設(shè)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋x,2)＝1，,\f(2＋y,2)＝4，))∴x＝－1，y＝6，∴M(－1,6)．命題點(diǎn)2：點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問題【典例2】已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)，則點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為__________.解析：設(shè)A′(x，y)，再由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))故A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13)))命題點(diǎn)3：直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題【典例3】直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對(duì)稱的直線方程是()A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0解析：選A設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)－2，,y0＝x＋2，))由點(diǎn)P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.命題點(diǎn)4：對(duì)稱問題的應(yīng)用【典例4】光線從A(－4，－2)點(diǎn)射出，到直線y＝x上的B點(diǎn)后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)D(－1,6)，求BC所在的直線方程．解：作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′，D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′，則易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C．故BC所在的直線方程為eq\f(y－6,－4－6)＝eq\f(x－1,－2－1)，即10x－3y＋8＝0.[明技法]處理對(duì)稱問題的方法(1)中心對(duì)稱①點(diǎn)P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決．(2)軸對(duì)稱①點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對(duì)稱點(diǎn)A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c