2023學年二輪復習解答題專題三十五：拋物線上有關等腰直角三角形問題的探究(原卷版+解析)

2023學年二輪復習解答題專題三十五：拋物線上有關等腰直角三角形問題的探究典例分析例1（2022棗莊中考）（12分）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的關系式；（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當△OPE面積最大時，求出P點坐標；（3）將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．專題過關1.（2022吉林中考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（，是常數(shù)）經(jīng)過點，點．點在此拋物線上，其橫坐標為．（1）求此拋物線的解析式；（2）當點在軸上方時，結合圖象，直接寫出的取值范圍；（3）若此拋物線在點左側部分（包括點）的最低點的縱坐標為．①求值；②以為邊作等腰直角三角形，當點在此拋物線的對稱軸上時，直接寫出點的坐標．2.（2022陜師大附中三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線M的表達式為y＝﹣x2+2x，與x軸交于O、A兩點，頂點為點B．（1）求證：△OAB為等腰直角三角形：（2）已知點P在y軸上，且OP＝1，點C在第一象限，△ABC為等腰直角三角形，將拋物線M進行平移，使其對稱軸經(jīng)過點C，請問平移后的拋物線能否經(jīng)過點P？如果能，求出平移方式；如果不能，說明理由．3.（2022西安高新一中三模）已知拋物線L：y＝x2﹣4x＋2，其頂點為C．（1）求點C的坐標；（2）若M為拋物線L上一點，拋物線L關于點M所在直線x＝m對稱的拋物線為L'，點C的對應點為C'，在拋物線L上是否存在點M，使得△CMC′為等腰直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．4.（2022山西一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于A，B，C三點，其中A點坐標為，B點坐標為，連接，．動點P從A點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點Q從B點出發(fā)，在段上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設運動時間為t秒．（1）________，________；（2）在P，Q運動的過程中，當t為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點M，使是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．5.（2022運城二模）如圖，已知拋物線與x軸交于點，兩點，與y軸交于點C，點P是直線BC下方拋物線上一動點，過點P作直線軸，交直線BC于點D，交x軸于點F，以PD為斜邊，在PD的右側作等腰直角．（1）求拋物線的表達式，并直接寫出直線BC的表達式；（2）設點P的橫坐標為m（），在點P運動的過程中，當?shù)妊苯堑拿娣e為9時，請求出m的值；（3）連接AC，該拋物線上是否存在一點M，使，若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標，若不存在，請說明理由．6.（2022太原二模）綜合與探究：如圖，已知直線和拋物線相交于點和點，與x軸相交于點C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式和點C的坐標；（2）已知點D的坐標為，判斷的形狀，并說明理由；（3）試探究在拋物線上是否存在點P，使得為等腰直角三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2021懷化中考）（14分）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發(fā)，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程．（4）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．8.（2021廣安中考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于、、三點，其中點坐標為，點坐標為，連接、．動點從點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設運動時間為秒．（1）求、的值；（2）在、運動的過程中，當為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．9.（2021張家界中考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點且與軸交于原點及點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）求頂點的坐標及直線的表達式；（3）判斷的形狀，試說明理由；（4）若點為上的動點，且的半徑為，一動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段勻速運動到點，再以每秒1個單位長度的速度沿線段勻速運動到點后停止運動，求點的運動時間的最小值．10.（2021上海中考）已知拋物線經(jīng)過點P(3,0)、Q(1,4).(1)求拋物線的解析式；(2)若點A在直線PQ上，過點A作AB⊥x軸于點B，以AB為斜邊在其左側作等腰直角三角形ABC，①當Q與A重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標.11．（2021衡陽中考）（12分）在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點”．（1）求函數(shù)y＝圖象上的“雁點”坐標；（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點（點M在點N的左側）．當a＞1時．①求c的取值范圍；②求∠EMN的度數(shù)；（3）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點，連接BP，以點P為直角頂點，構造等腰Rt△BPC，是否存在點P，使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2021隨州中考）（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點P的坐標；（3）如圖2，M是直線BC上一個動點，過點M作MN⊥x軸交拋物線于點N，Q是直線AC上一個動點，當△QMN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應點Q的坐標．13．（2021黃石中考）（12分）拋物線y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）與y軸相交于點C（0，﹣3），且拋物線的對稱軸為x＝3，D為對稱軸與x軸的交點．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于E、F兩點，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面積；（3）若P（3，t）是對稱軸上一定點，Q是拋物線上的動點，求PQ的最小值（用含t的代數(shù)式表示）．2023學年二輪復習解答題專題三十五：拋物線上有關等腰直角三角形問題的探究典例分析例1（2022棗莊中考）（12分）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的關系式；（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當△OPE面積最大時，求出P點坐標；（3）將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）過P作PG∥y軸，交OE于點G，設P（m，m2﹣4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標，表示PG的長，根據(jù)面積和可得△OPE的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；（3）求出原拋物線的對稱軸和頂點坐標以及對稱軸與OE的交點坐標、與AE的交點坐標，用含h的代數(shù)式表示平移后的拋物線的頂點坐標，列出不等式組求出h的取值范圍；（4）存在四種情況：作輔助線，構建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)|OM|＝|PN|，列方程可得點P的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）如圖，過P作PG∥y軸，交OE于點G，設P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直線OE的解析式為：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG＝PG?AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴當m＝時，△OPE面積最大，此時，P點坐標為（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得拋物線l的對稱軸為直線x＝2，頂點為（2，﹣1），拋物線L向上平移h個單位長度后頂點為F（2，﹣1+h）．設直線x＝2交OE于點DM，交AE于點N，則E（2，3），∵直線OE的解析式為：y＝x，∴M（2，2），∵點F在△OAE內（包括△OAE的邊界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）設P（m，m2﹣4m+3），分四種情況：①當P在對稱軸的左邊，且在x軸下方時，如圖，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐標為（，）；②當P在對稱軸的左邊，且在x軸上方時，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐標為（，）；③當P在對稱軸的右邊，且在x軸下方時，如圖，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m＝或m2＝（舍）；P的坐標為（，）；④當P在對稱軸的右邊，且在x軸上方時，如圖，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐標為：（，）；綜上所述，點P的坐標是：（，）或（，）或（，）或（，）．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)的圖象與性質及圖形的平移，全等三角形的判定與性質以及解一元二次方程的方法，運用分類討論思想和方程的思想解決問題的關鍵．專題過關1.（2022吉林中考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（，是常數(shù)）經(jīng)過點，點．點在此拋物線上，其橫坐標為．（1）求此拋物線的解析式；（2）當點在軸上方時，結合圖象，直接寫出的取值范圍；（3）若此拋物線在點左側部分（包括點）的最低點的縱坐標為．①求值；②以為邊作等腰直角三角形，當點在此拋物線的對稱軸上時，直接寫出點的坐標．【答案】（1）（2）或（3）①或3；②或或【解析】【分析】（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出此拋物線與軸的另一個交點坐標為，再畫出函數(shù)圖象，由此即可得；（3）①先求出拋物線的對稱軸和頂點坐標、以及點的坐標，再分和兩種情況，分別畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)的增減性求解即可得；②設點的坐標為，分和兩種情況，分別根據(jù)等腰直角三角形的定義建立方程組，解方程組即可得．【小問1詳解】解：將點代入得：，解得，則此拋物線的解析式為．【小問2詳解】解：對于二次函數(shù)，當時，，解得或，則此拋物線與軸的另一個交點坐標為，畫出函數(shù)圖象如下：則當點在軸上方時，的取值范圍為或．【小問3詳解】解：①二次函數(shù)對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，，即，（Ⅰ）如圖，當時，當時，隨的增大而減小，則此時點即為最低點，所以，解得或（不符題設，舍去）；（Ⅱ）如圖，當時，當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大，則此時拋物線的頂點即為最低點，所以，解得，符合題設，綜上，的值為或3；②設點的坐標為，由題意，分以下兩種情況：（Ⅰ）如圖，當時，設對稱軸直線與軸的交點為點，則在等腰中，只能是，垂直平分，且，（等腰三角形的三線合一），，解得，則此時點的坐標為或；（Ⅱ）當時，由（3）①可知，此時，則點，，，，當時，是等腰直角三角形，則，即，方程組無解，所以此時不存在符合條件的點；當時，是等腰直角三角形，則，即，解得，所以此時點的坐標為；當時，是等腰直角三角形，則，即，方程組無解，所以此時不存在符合條件的點；綜上，點的坐標為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應用、等腰直角三角形、一元二次方程的應用等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題關鍵．2.（2022陜師大附中三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線M的表達式為y＝﹣x2+2x，與x軸交于O、A兩點，頂點為點B．（1）求證：△OAB為等腰直角三角形：（2）已知點P在y軸上，且OP＝1，點C在第一象限，△ABC為等腰直角三角形，將拋物線M進行平移，使其對稱軸經(jīng)過點C，請問平移后的拋物線能否經(jīng)過點P？如果能，求出平移方式；如果不能，說明理由．【答案】（1）見詳解（2）將拋物線M向右平移個單位，再向上平移個點，得過點C1和點P的拋物線；拋物線M向右平移個單位，再向上平移得出過點C2和點P的拋物線；拋物線M向右平移個單位。再向上平移個單位，得點過點C3與P的拋物線【解析】【分析】（1）將拋物線M配方為頂點式得出拋物線的對稱軸為x=2，拋物線的頂點B（2，2），然后求出點A（4，0），根據(jù)對稱軸求出點E（2，O），BE⊥OA，證明△OEB為等腰直角三角形，再證△AEB為等腰直角三角形即可；（2）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，分以下三種情況，以AB為直角邊，點B為直角頂點，將AB繞點B逆時針旋轉90°，得出點C1（4，4）將拋物線M向右平移2個單位，再向上平移2個點，得出以C1為頂點的拋物線為，以AB為直角邊，以點A直角頂點，將AB繞點A順時針旋轉90°，得AC2，求出點C2（6，2），拋物線M向右平移4個單位得出過頂點C2的拋物線；以AB為斜邊，點C3為直角頂點，點C3在AC1的中點，C3（4，2）即可．【小問1詳解】解：拋物線M的表達式為，∴拋物線的對稱軸為x=2，拋物線的頂點B（2，2），拋物線與x軸的交點，解得：，∴點A（4，0），∵拋物線對稱軸為x=2，∴點E（2，O），BE⊥OA，∵OE=BE=2，∠OEB=90°，∴△OEB為等腰直角三角形，∴∠BOE=∠OBE=45°，∵AE=OA-OE=4-2=2，∴BE=AE，∠AEB=90°，∴△AEB為等腰直角三角形，∴∠EBA=∠EAB=45°，∴∠BOE=∠OBE=∠EBA=∠EAB=45°，∴OB=AB，∠OBA=∠OBE+∠ABE=45°+45°=90°，∴△OAB為等腰直角三角形【小問2詳解】解：∵△ABC為等腰直角三角形，分以下三種情況，以AB為直角邊，點B為直角頂點，將AB繞點B逆時針旋轉90°，∴∠BAC1=45°，∴∠CAO=∠OAB+∠C1AB=45°+45°=90°，∴CA⊥x軸，∵∠OBA+∠ABC1=90°+90°=180°，∴點O、B、C1三點共線，∵∠C1OA=45°，∴△OAC1為等腰直角三角形，∴C1A=OA=4，∴點C1（4，4）∵OP=1，∴點P（0,1）設過點P與C1形狀與M斜體的拋物線解析式為，代入坐標得解得∴，將拋物線M向右平移個單位，再向上平移個點，得過點C1和點P的拋物線以AB為直角邊，以點A直角頂點，將AB繞點A順時針旋轉90°，得AC2，∵∠C2BA=45°=∠BAO，∴BC2∥OA，∠OBA=∠C2AB，∴AC2∥OB，∴四邊形OBC2A，∴BC2=OA=4，∴點C2橫坐標為OE+BC2=2+4=6，∴點C2（6，2），∴點P（0,1）設過點P與C2形狀與M斜體的拋物線解析式為，代入坐標得解得∴∴，∴拋物線M向右平移個單位，再向上平移得出過點C2和點P的拋物線；以AB為斜邊，點C3為直角頂點，點C3在AC1的中點，C3（4，2）∵點P（0，1）設過點P與C3形狀與M斜體的拋物線解析式為，代入坐標得解得∴∴，∴拋物線M向右平移個單位。再向上平移個單位，得點過點C3與P的拋物線【點睛】本題考查圖形與坐標，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質，等腰直角三角形，圖形旋轉，拋物線平移，掌握圖形與坐標，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質，等腰直角三角形，圖形旋轉，拋物線平移是解題關鍵．3.（2022西安高新一中三模）已知拋物線L：y＝x2﹣4x＋2，其頂點為C．（1）求點C的坐標；（2）若M為拋物線L上一點，拋物線L關于點M所在直線x＝m對稱的拋物線為L'，點C的對應點為C'，在拋物線L上是否存在點M，使得△CMC′為等腰直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】(1)化成頂點式即可求得；(2)設，根據(jù)點C的坐標為，拋物線L關于點M所在直線x=m對稱的拋物線為L'，可得點C的對應點C'的坐標為，可證得等腰三角形，再根據(jù)為等腰直角三角形，可得，解此方程即可求得．【小問1詳解】解：，點C的坐標為；【小問2詳解】解：存在；點M在拋物線L:上，設，點C的坐標為，拋物線L關于點M所在直線x=m對稱的拋物線為L'，點C的對應點C'的坐標為，點C、C'關于直線x=m對稱，點M在直線x=m上，等腰三角形，要使為等腰直角三角形，則，即，當時，解得m=3或m=2(舍去)，此時點M的坐標為；當時，解得m=1或m=2(舍去)，此時點M的坐標為，綜上所述，存在滿足條件的點M，且當點M的坐標為或時，等腰直角三角形．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，等腰直角三角形的判定與性質，坐標與圖形，軸對稱圖形的性質，采用數(shù)形結合的思想是解決此類題的關鍵．4.（2022山西一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于A，B，C三點，其中A點坐標為，B點坐標為，連接，．動點P從A點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點Q從B點出發(fā)，在段上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設運動時間為t秒．（1）________，________；（2）在P，Q運動的過程中，當t為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點M，使是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）當t=2時，四邊形BCPQ的面積最小，即為4；（3）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點P作PE⊥x軸，垂足為E，利用表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質求出最值即可；（3）畫出圖形，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點M的坐標，再代入二次函數(shù)表達式，求出t值，即可算出M的坐標．【詳解】解：∵拋物線的圖象與坐標軸相交于A，B，C三點，其中A點坐標為，B點坐標為，∴，解得：；（2）由（1）得：拋物線的解析式為，當時，，∴點C（0,3），∴OC=3，∵A點坐標為，∴OA=3，∴OA=OC，∴△AOC為等腰直角三角形，∴∠OAC=∠OCA=45°，由題意得：，BQ=t，則OQ=1-t，∴點Q（-1+t，0），如圖，過點P作PE⊥x軸于點E，∴∠APE=45°，∴∠APE=∠OAC，∴PE=AE，∵PE2+AE2=AP2，∴，∴OE=OA-AE=3-t，∴點E（3-t，0），∴，∵當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，，∴0≤t≤3，∴當t=2時，四邊形BCPQ的面積最小，即為4；（3）存在，理由如下：假設點M是線段AC上方的拋物線上的點，如圖，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，連接MQ，MP，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，∵∠F=∠QEP，∠PMF=∠QPE，PM=PQ，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點M的坐標為（3-2t，4-t），∵點M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：或（舍去），∴，即點M的坐標為，∴在線段上方的拋物線上存在點，使是以點P為直角頂點的等腰直角三角形．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．5.（2022運城二模）如圖，已知拋物線與x軸交于點，兩點，與y軸交于點C，點P是直線BC下方拋物線上一動點，過點P作直線軸，交直線BC于點D，交x軸于點F，以PD為斜邊，在PD的右側作等腰直角．（1）求拋物線的表達式，并直接寫出直線BC的表達式；（2）設點P的橫坐標為m（），在點P運動的過程中，當?shù)妊苯堑拿娣e為9時，請求出m的值；（3）連接AC，該拋物線上是否存在一點M，使，若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1），（2）當或6時，的面積為9（3）存在．點M的坐標為或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再求出點坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線的表達式即可；（2）設出、，然后根據(jù)兩點間距離公式表示出長，解法一：再根據(jù)等腰三角形的性質列出的面積表達式，結合面積為建立方程求解，即可解決問題；解法二：利用，根據(jù)相似三角形的性質列比例式建立方程求解，即可解決問題；解法三：根據(jù)等腰直角三角形的性質推出，依此建立方程求解，即可解決問題；（3）分點在的上方和點在的下方兩種情況討論，根據(jù)題意畫出圖形，構造三角形全等，求出直線上的一點坐標，則可利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，最后和拋物線的解析式聯(lián)立求解，即可求出點的坐標．小問1詳解】解：將，分別代入中，得解得，∴該拋物線的表達式為，當，，∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的表達式為：；【小問2詳解】解法一：依題得，，∴，過點F作于N，∵是等腰直角三角形，PD為斜邊，∴∴，∴，∴，∴解得，，又∵∴當或6時，的面積為9；解法二：依題得，，∴，在中，當時，，∴．∴，又∵．∴，∴為等腰直角三角形，由勾股定理得，∴，．∴即．∴，∴，解得，，又∵，∴當或6時，的面積為9；解法三：解：依題得，，∴，過點F作于N，∵是等腰直角三角形，PD為斜邊，∴，∴，∴，∴，∴，∴（取正），∴，解得，，又∵，∴當或6時，的面積為9；【小問3詳解】解：存在，理由如下：由（2）得為等腰直角三角形，∴①如圖，當點在的上方時，設與與軸交于一點，

∵，∴，∵，∵，∴，∴，∴，設直線的函數(shù)式為，則，解得，∴，則，解得或（舍去），∴此時點的坐標為；②如圖，當點在的下方時，過作軸的垂線，過作軸的垂線，兩條垂線交于一點，作，交拋物線與點，

由（2）得為等腰直角三角形，∴，∴，即，∵∴，又∵，∵，∴四邊形正方形，∵，∴，∴，∴，∴，設直線函數(shù)式為，∴，解得，∴，則，解得或（舍去）；綜上所述，點M的坐標為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，二次函數(shù)的動態(tài)幾何問題，二次函數(shù)與面積的綜合，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質以及正方形的性質，解題的關鍵是能夠綜合運用所學的數(shù)學知識解決問題．6.（2022太原二模）綜合與探究：如圖，已知直線和拋物線相交于點和點，與x軸相交于點C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式和點C的坐標；（2）已知點D的坐標為，判斷的形狀，并說明理由；（3）試探究在拋物線上是否存在點P，使得為等腰直角三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1），點C的坐標為（2）是等腰直角三角形，理由見解析（3）存在，或【解析】【分析】（1）將點和點代入中，求出的值，進而可得拋物線的函數(shù)表達式，把代入中，解得，進而可得點C的坐標；（2）如圖，過點A和點C分別作x軸的垂線AE，CF，與過點D的x軸的平行線相交于點E，F(xiàn)，則，，，，，，，可知，，證明，則，，，進而可證是等腰直角三角形；（3）設點P的坐標為，則，，，由題意知，分三種情況求解：①當時，，求解滿足要求的，進而可得點坐標；②當時，，求解滿足要求的，進而可得點坐標；③當時，且，有，由（2）可知，P為（2）中的點D或點D關于AC的對稱點，這兩點都不在拋物線上；整理可得滿足要求的點坐標．【小問1詳解】解：∵點和點在拋物線上，∴解得∴拋物線的函數(shù)表達式為；把代入中得，，解得∴點C的坐標為．【小問2詳解】解：是等腰直角三角形．理由如下：如圖，過點A和點C分別作x軸的垂線AE，CF，與過點D的x軸的平行線相交于點E，F(xiàn)，

∴，，∴∵，，∴，，，∴，在和中∵∴∴，∴∴∴是等腰直角三角形．【小問3詳解】解：存在．設點P的坐標為∵，∴，，由題意知，分三種情況求解：①當時，，即解得（不合題意，舍去），∴當時，，∴，即此時為等腰直角三角形∴；②當時，，即解得（不合題意，舍去），當時，，∴，即此時為等腰直角三角形∴；③當時，且，有由（2）可知，P為（2）中的點D或點D關于AC的對稱點，∴這兩點都不在拋物線上綜上所述，存在點或，使得為等腰直角三角形．【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，二次函數(shù)與幾何綜合．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．7．（2021懷化中考）（14分）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發(fā)，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程．（4）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由題意得，點A、B、C的坐標分別為（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），設拋物線的表達式為y＝ax2+bx+c，則，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+8；（2）存在，理由：當∠CP′M為直角時，則以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似時，則P′C∥x軸，則點P′的坐標為（1，8）；當∠PCM為直角時，在Rt△OBC中，設∠CBO＝α，則tan∠CBO＝＝2＝tanα，則sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，則BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由點B、C的坐標得，BC＝＝4，則CM＝BC＝MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，則PM＝＝＝，則PN＝MN+PM＝6+＝，故點P的坐標為（1，），故點P的坐標為（1，8）或（1，）；（3）∵D為CO的中點，則點D（0，4），作點C關于函數(shù)對稱軸的對稱點C′（2，8），作點D關于x軸的對稱點D′（0，﹣4），連接C′D′交x軸于點E，交函數(shù)的對稱軸于點F，則點E、F為所求點，理由：G走過的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′為最短，由點C′、D′的坐標得，直線C′D′的表達式為y＝6x﹣4，對于y＝6x﹣4，當y＝6x﹣4＝0時，解得x＝，當x＝1時，y＝2，故點E、F的坐標分別為（，0）、（1，2）；G走過的最短路程為C′D′＝＝2；（4）存在，理由：設點Q的坐標為（x，﹣x2+2x+8），故點Q作y軸的平行線交x軸于點N，交過點C與x軸的平行線于點M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC（AAS），∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合題意的值已舍去），故點Q的坐標為（，）．8.（2021廣安中考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于、、三點，其中點坐標為，點坐標為，連接、．動點從點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設運動時間為秒．（1）求、的值；（2）在、運動的過程中，當為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（，）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點P作PE⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質求出最值即可；（3）畫出圖形，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點M的坐標，再代入二次函數(shù)表達式，求出t值，即可算出M的坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0），B（-1，0），則，解得：；（2）由（1）得：拋物線表達式為y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由點P運動可知：AP=，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE=PE==t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，AC=，AB=4，∴0≤t≤3，∴當t==2時，四邊形BCPQ的面積最小，即為=4；（3）∵點M是線段AC上方的拋物線上的點，如圖，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點M的坐標為（3-2t，4-t），∵點M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），∴M點的坐標為（，）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．9.（2021張家界中考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點且與軸交于原點及點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）求頂點的坐標及直線的表達式；（3）判斷的形狀，試說明理由；（4）若點為上的動點，且的半徑為，一動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段勻速運動到點，再以每秒1個單位長度的速度沿線段勻速運動到點后停止運動，求點的運動時間的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由見解析；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，運用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點坐標公式計算即可，再根據(jù)點A、B坐標求出AB解析式即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)對稱性可知為等腰三角形，再根據(jù)O、A、B三點坐標，求出三條線段的長，利用勾股定理驗證即可；（4）根據(jù)題意可知動點的運動時間為，在上取點，使，可證明，根據(jù)相似三角形比例關系得，即，當、、三點共線時，取得最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質以及勾股定理進一步計算即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，且與軸交于原點及點∴，二次函數(shù)表達式可設為：將，代入得：解這個方程組得∵二次函數(shù)的函數(shù)表達式為（2）∵點為二次函數(shù)圖像的頂點，∴，∴頂點坐標為：，設直線的函數(shù)表達式為，則有：解之得：∴直線的函數(shù)表達式為（3）是等腰直角三角形，過點作于點，易知其坐標為∵的三個頂點分別是，，，∴，且滿足∴是等腰直角三角形（4）如圖，以為圓心，為半徑作圓，則點在圓周上，依題意知：動點的運動時間為在上取點，使，連接，則和中，滿足：，，∴，∴，從而得：∴顯然當、、三點共線時，取得最小值，過點作于點，由于，且為等腰直角三角形，則有，，∴動點的運動時間的最小值為：．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線頂點坐標，等腰直角三角形的性質與判定，相似三角形的判定與性質等知識點，將運動時間的最小值轉換為線段長度的最小值是解題的關鍵．10.（2021上海中考）已知拋物線經(jīng)過點P(3,0)、Q(1,4).(1)求拋物線的解析式；(2)若點A在直線PQ上，過點A作AB⊥x軸于點B，以AB為斜邊在其左側作等腰直角三角形ABC，①當Q與A重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標.【考點】二次函數(shù)綜合題【解答】解：（1）將P(3,0)、Q(1,4)兩點分別帶入，得，解出：，故拋物線的解析式是（2）①如圖2，拋物線的對稱軸是y軸，當Q與A重合時，AB=4，作CH⊥AB于H，∵△ABC是等腰直角三角形∴CH=AH=BH=2∴C到拋物線對稱軸的距離為1②如圖3，由P(3,0)、Q(1,4)得到直線PQ的解析式為y=-2x+6設A（m,-2m+6）,則AB=|-2m+6|,∴CH=AH=BH=|-m+3|當m＜3時，=2m-3,=-m+3,將點C（2m-3,-m+3）代入中，解出：m=或m=3（與點B重合，舍）此時：=-2，=，故：C（-2，）當m＞3時，同理得到C（3,0），此時A（3,0）與P重合，不合題意，舍去綜上可知：C點的坐標是（-2，）【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質和等腰直角三角形的性質；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．11．（2021衡陽中考）（12分）在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點”．（1）求函數(shù)y＝圖象上的“雁點”坐標；（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點（點M在點N的左側）．當a＞1時．①求c的取值范圍；②求∠EMN的度數(shù)；（3）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點，連接BP，以點P為直角頂點，構造等腰Rt△BPC，是否存在點P，使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得：x＝，解得x＝±2，即可求解；（2）①由△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，即可求解；②求出點M的坐標為（﹣，0）、點E的坐標為（﹣，﹣），即可求解；（3）證明△CMP≌△PNB（AAS），則PM＝BN，CM＝PN，即可求解．【解答】解：（1）由題意得：x＝，解得x＝±2，當x＝±2時，y＝＝±2，故“雁點”坐標為（2,2）或（﹣2，﹣2）；（2）①∵“雁點”的橫坐標與縱坐標相等，故“雁點”的函數(shù)表達式為y＝x，∵物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，則ax2+5x+c＝x，則△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，∵a＞1，故c＜4；②∵ac＝4，則ax2+5x+c＝0為ax2+5x+＝0，解得x＝﹣或﹣，即點M的坐標為（﹣，0），由ax2+5x+c＝x，ac＝4，解得x＝﹣，即點E的坐標為（﹣，﹣），故點E作EH⊥x軸于點H，則HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，故∠EMN的度數(shù)為45°；（3）存在，理由：由題意知，點C在直線y＝x上，故設點C的坐標為（t，t），過點P作x軸的平行線交過點C與y軸的平行線于點M，交過點B與y軸的平行線于點N，設點P的坐標為（m，﹣m2+2m+3），則BN＝﹣m2+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m2+2m+3﹣t,∵∠NPB+∠MPC＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°,∴∠NPB＝∠CPM,∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB,∴△CMP≌△PNB（AAS），∴PM＝BN，CM＝PN，即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，解得m＝1+（舍去）或1﹣或，故點P的坐標為（，）或（，）．12．（2021隨州中考）（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點P的坐標；（3）如圖2，M是直線BC上一個動點，過點M作MN⊥x軸交拋物線于點N，Q是直線AC上一個動點，當△QMN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應點Q的坐標．【分析】（1）根據(jù)頂點的坐標，設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點A（﹣1，0）代入，求出a即可得出答案；（2）利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為y＝2x﹣6，過點C作CP1∥BD，交拋物線于點P1，再運用待定系數(shù)法求出直線CP1的解析式為y＝2x﹣3，聯(lián)立方程組即可求出P1（4，5），過點B作y軸平行線，過點C作x軸平行線交于點G，證明△OCE≌△GCF（ASA），運用待定系數(shù)法求出直線CF解析式為y＝x﹣3，即可求出P2（，﹣）；（3）利用待定系數(shù)法求出直線AC解析式為y＝﹣3x﹣3，直線BC解析式為y＝x﹣3，再分以下三種情況：①當△QMN是以NQ為斜邊的等腰直角三角形時，②當△QMN是以MQ為斜邊的等腰直角三角形時，③當△QMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形時，分別畫出圖形結合圖形進行計算即可．【解答】解：（1）∵頂點D的坐標為（1，﹣4），∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵拋物線對稱軸為直線x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），設直線BD解析式為y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直線B