動(dòng)力氣象學(xué)總復(fù)習(xí)

動(dòng)力氣象學(xué)總復(fù)習(xí)

第一章緒論

掌握動(dòng)力氣象學(xué)的性質(zhì)，研究對(duì)象，研究?jī)?nèi)容以及基本假定

動(dòng)力氣象學(xué)（性質(zhì)）是由流體力學(xué)中分離出來(lái)（分支），是大氣科

學(xué)中一個(gè)獨(dú)立的分支學(xué)科。

動(dòng)力氣象學(xué)定義：是應(yīng)用物理學(xué)定律研究大氣運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力過(guò)程、熱

力過(guò)程，以及它們之間的相互關(guān)系，從理論上探討大氣環(huán)流、天氣系統(tǒng)

演變和其它大氣運(yùn)動(dòng)過(guò)程學(xué)科。

動(dòng)力氣象學(xué)研究對(duì)象：發(fā)生在旋轉(zhuǎn)地球上并且密度隨高度遞減的空

氣流體運(yùn)動(dòng)的特殊規(guī)律。

動(dòng)力氣象學(xué)研究?jī)?nèi)容：根據(jù)地球大氣的特點(diǎn)研究地球大氣中各種運(yùn)

動(dòng)的基本原理以及主要熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)過(guò)程。主要研究?jī)?nèi)容有大氣運(yùn)動(dòng)

的基本方程、風(fēng)場(chǎng)、氣壓坐標(biāo)、環(huán)流與渦度、風(fēng)與氣壓場(chǎng)的關(guān)系、大氣

中的波動(dòng)、大氣邊界層、大氣不穩(wěn)定等等。

一、基本假設(shè)：

大氣視為“連續(xù)流體”，表征大氣運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和熱力狀態(tài)的各種物理量

（U,V,P,T,etal.）看成是隨時(shí)間和空間變化的連續(xù)函數(shù)；

大氣宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí)，可視為“理想氣體”，氣壓、密度和溫度之間滿足

理想其他的狀態(tài)方程，大氣是可“壓縮流體”，動(dòng)力過(guò)程和熱力過(guò)程相互

影響和相互制約；

二、地球大氣的動(dòng)力學(xué)和熱力學(xué)特性

大氣是“旋轉(zhuǎn)流體”：90%的大氣質(zhì)量集中在10km以下的對(duì)流層；

水平U,V遠(yuǎn)大于w（滿足靜力平衡）；Q=7.29xl0-5rad/s,中緯度大尺度

滿足地轉(zhuǎn)平衡（科氏力與水平氣壓梯度力相當(dāng)）。

大氣是“層結(jié)流體”：大氣密度隨高度變化，阿基米德凈力使不穩(wěn)定

層結(jié)大氣中積云對(duì)流發(fā)展；阿基米德凈力使穩(wěn)定層結(jié)大氣中產(chǎn)生重力內(nèi)

波。

大氣中含有水份：水份的相變過(guò)程使大氣得到（失去）熱量。

大氣下墊面的不均勻性：海陸分布和大地形的影響。

大氣運(yùn)動(dòng)的多尺度性：（見尺度分析）

第二章大氣運(yùn)動(dòng)方程組

控制大氣運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律有質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒等等。

支配其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和熱力學(xué)狀態(tài)的基本定律有：牛頓第二定律、質(zhì)量守恒

定律、熱力學(xué)第一定律和狀態(tài)方程等等。

本章要點(diǎn)：

旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系；慣性離心力和科氏力；全導(dǎo)數(shù)和局地導(dǎo)數(shù)；預(yù)報(bào)和診

斷方程；運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)方程；狀態(tài)方程、熱力學(xué)方程及其討論；局地

直角坐標(biāo)系。

一、全導(dǎo)數(shù)和局地導(dǎo)數(shù)的概念

拉格朗日方法：以某物質(zhì)體積元（微團(tuán)）為對(duì)象，研究它的空間位

置及其物理屬性隨時(shí)間變化規(guī)律，并且推廣到整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)；

歐拉方法則以流體空間某一固定體積元（空間點(diǎn)）為對(duì)象，研究不

同流體經(jīng)過(guò)該固定點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)及其物理屬性變化的規(guī)律，從而掌握流場(chǎng)

中各物理量的空間分布及其變化規(guī)律。

以溫度T為例：

T（x,y,z,t）：x=x（t）;y=y（t）;z=z（t）

u=dx/dt;v=dy/dt;w=dz/dt

A點(diǎn)(x,y,公經(jīng)過(guò)8t移動(dòng)到B點(diǎn)(x+應(yīng)y+Sy,z+用)

ST=T(x+3x,y+為,z+&)-T(x,y,z)

泰勒級(jí)數(shù)展開有：

ST=sT/at3t+aT/ax8x+aT/ay8y+aT/aza+a2rTia2t(St)2/2+...

兩端除以況，并使況-0,則有：

dT/dt-aT/at+uaT/dx+vaT/ay+wdT/dz

dT/dt三lim[T(x+S)c,y+8y,z+&,t+8t)-T(x,y,z,t)]/&其中St—>0

dT/dt為空氣個(gè)別微團(tuán)的溫度在運(yùn)動(dòng)中隨時(shí)間的變化率，也就是場(chǎng)

函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)(個(gè)別變化率)

aT/9t=lim[T(x,y,z,t+5t)-T(x,y,z,t)]/5t其中況—>0

sT/st為空氣大氣運(yùn)動(dòng)空間中固定點(diǎn)上的溫度隨時(shí)間的變化率，也

就是場(chǎng)函數(shù)的局地導(dǎo)數(shù)(局地變化率)。

dTdTsTdd-_、dd鐘「

—=------FV>?-,—=—F―,—=---匕

dtdt33dtdt33dtdt33

一一一一a一。-s

V=ui+v/+wA:,V=i----bj----\-k—

33dxdy&

—=--V-V,-w—

dtdtdt2dz

心—嗎-嗡為溫度的平流變化(率)，也就是溫度平流;

-wa77次為溫度的對(duì)流變化(率)。

二、旋轉(zhuǎn)參考系下的運(yùn)動(dòng)方程

慣性坐標(biāo)系：若物體不受外力作用，則物體相對(duì)于這類參考系作勻速率

直線運(yùn)動(dòng)(無(wú)加速度)。這類參考系叫做慣性參考系。

非慣性系參考系：相對(duì)于慣性系(靜止或勻速運(yùn)動(dòng)的參考系)加速運(yùn)動(dòng)

的參考系稱為非慣性系參考系。地球有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，我們?cè)诘厍蛏纤^

察到的各種力學(xué)現(xiàn)象，實(shí)際上是非慣性系中的力學(xué)問(wèn)題。

牽連位移，以cU表示；絕對(duì)位移，以(V表示；相對(duì)位移，以dr

表示。絕對(duì)位移是相對(duì)位移和牽連位移的矢量之和，即：

dar=dr+dj(1)

公式兩端除以況，并使3tf0(dt),則有：

dar/dt—dr/dt+dcr/dt⑵

即：Va=V+Ve(3)

表明絕對(duì)速度Va等于相對(duì)速度V與牽連速度V.的矢量之和。

Ve是由旋轉(zhuǎn)引起的牽連速度，實(shí)際上就是地面上P點(diǎn)由于地球旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生

的線速度，即:

蟲l=V=Qx7=CxA(4)

dte

其中。是地轉(zhuǎn)角速度，r為地球半徑，R是緯圈面上的半徑矢。

把(4)帶入(2),則有

幺二生+Cx尸=(4+Cx)7(5)

dtdtdt

今=(2+Cx)(6)

其中，da/dt表示絕對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別變化，d/dt為相對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別

變化，(6)式表示絕對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別變化與相對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別變化之

間的關(guān)系，而且上式的算符對(duì)于任意矢量都是成立的。

把(5)中的r換成Va后，得到

dVd--

方—乂⑺

把(3)和(4)帶入(7)后，有:

dd—?—?d—?-—?

-^-=(—+Qx)-(VV)=(—Qx)-(V+Qxr)

dtdt+dt+

n必如+2QxV+Qx(Qxr)(8)

dtdt

此式表示絕對(duì)坐標(biāo)系中的加速度與相對(duì)坐標(biāo)系中的加速度的關(guān)系，其中

2QxV為柯氏加速度；Cx（Cx尸）=—UR為向心加速度。

-2Cx?為地轉(zhuǎn)偏向力（科氏力）；露犬為慣性離心力。

其中，Cx（Cx產(chǎn)）=—CX（CXA）=—（0R）C+（C?R=C2R

重力：HR,重力（g）等于地心引力（ga）和慣性離心力（dR）

的矢量和。

大氣的水平運(yùn)動(dòng)：

（一）影響大氣水平運(yùn)動(dòng)的四種力

氣壓梯度力（原動(dòng)力）；地轉(zhuǎn)偏向力（科氏力，改變方向）；慣性離心力

（改變方向）；摩擦力（減速、改變方向）。

1、水平氣壓梯度力：當(dāng)氣壓梯度存在時(shí)，作用于單位質(zhì)量空氣上的力,

稱為氣壓梯度力。氣壓梯度力可分為垂直氣壓梯度力和水平氣壓梯度力

兩種。

?水平氣壓梯度力使空氣從高壓區(qū)流向低壓區(qū)，是大氣水平運(yùn)動(dòng)的原動(dòng)

力，其表達(dá)式為：G=-工皿

p\n

G—水平氣壓梯度力；〃一空氣密度；/一兩條等壓線之間的氣壓差;

An-兩條等壓線之間的垂直距離；Ap/An-為水平氣壓梯度；

“一”負(fù)號(hào)表示方向由高壓指向低壓。

2、地轉(zhuǎn)偏向力：指由于地球的自轉(zhuǎn)而使地表上運(yùn)動(dòng)的物體發(fā)生方向偏

轉(zhuǎn)的力。它包括水平和垂直兩個(gè)分力。

地轉(zhuǎn)偏向力是使運(yùn)動(dòng)空氣發(fā)生偏轉(zhuǎn)的力，它總是與空氣運(yùn)動(dòng)方向垂直。

在北半球，它使風(fēng)向右偏；它的大小與風(fēng)速和緯度成正比，在赤道為零,

隨緯度而增大，在兩極達(dá)最大。地轉(zhuǎn)偏向力只能改變風(fēng)的方向，而不能

改變風(fēng)的速度。

3、慣性離心力:離心力是指空氣作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),受到一個(gè)離開曲率中

心而沿曲率半徑向外的作用力。這是空氣為了保持慣性方向運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生

的，所以稱為慣性離心力。它的方向與空氣運(yùn)動(dòng)方向垂直。

在一般情況下，空氣運(yùn)動(dòng)路徑的曲率半徑很大，慣性離心力遠(yuǎn)小于地轉(zhuǎn)

偏向力；但在空氣運(yùn)動(dòng)速度很大而曲率半徑很小時(shí)，如龍卷風(fēng)、臺(tái)風(fēng)，

離心力很大，甚至超過(guò)地轉(zhuǎn)偏向力。

4、摩擦力：

摩擦力指地面與空氣之間，不同運(yùn)動(dòng)狀況的空氣層之間相互作用而產(chǎn)生

的阻力。氣層之間的阻力，稱為內(nèi)摩擦力；地面對(duì)空氣的阻力，稱為外

摩擦力。

?摩擦力以近地面層最顯著，隨高度增加而迅速減弱，一般到1—2km

以上就可以忽略不計(jì)了，此高度以上氣層稱為自由大氣。

?摩擦力方向與風(fēng)向相反，使風(fēng)速減小，導(dǎo)致地轉(zhuǎn)偏向力也相應(yīng)減弱。

陸地表面摩擦力總是大于海洋表面。

旋轉(zhuǎn)參考系中的大氣相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的矢量形式

dVa-------

—-=G+A+C+ia+F

=V3p-2QAVS+g+尸

P

g=C^ga

甘巾dV3dV3——

具中：——+（VV,）V

dtdt33

連續(xù)方程：是由質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)出來(lái)：

?+%匕=。

at

匕匕為速度的散度，表示物質(zhì)體積元在運(yùn)動(dòng)中的相對(duì)膨脹率。上式

表明：物質(zhì)體積元在運(yùn)動(dòng)中的體積增大（減?。┘矗篕％＞（＜）0時(shí)，因

質(zhì)量守恒其密度要減?。ㄔ龃螅?。

陽(yáng)=0

%0匕表示單位空間體積元中流體質(zhì)量的凈流出率。上式表明：對(duì)

于固定體積元而言，當(dāng)有質(zhì)量流出（入）時(shí)，即：匕?匕＞（＜）0時(shí)，固定

體積元的密度要減?。ㄔ龃螅?/p>

狀態(tài)方程；表征大氣熱力狀態(tài)的參數(shù)有氣壓（P）、溫度（T）、密度（p）或者

體積（V）。狀態(tài)方程給出三者之間的關(guān)系。

干空氣的狀態(tài)方程可表示為：p=pRT

其中，R為干空氣的比氣體參數(shù)，R=2.87J-K-'-kg1o

熱力學(xué)方程：

熱力學(xué)第一定律：系統(tǒng)內(nèi)能的改變，等于進(jìn)入系統(tǒng)的熱量與系統(tǒng)對(duì)外界

作功之差。

常用的熱力學(xué)能量方程為

dTda-dTdP-1

,dt1dtpdtdtp

Cp=Cv+R,Cp為干空氣定壓比熱，Cp=1000J-K，kg\J為干空氣定容

比熱，Cv=717JK"g",cc=l/p

以位溫表示e=T（等產(chǎn)g,貝1J：金粵

在絕熱條件下，位溫守恒：。/，*=0

位溫（0）的定義：大氣絕熱運(yùn)動(dòng)到氣壓為lOOOhPa高度上溫度，稱為

位溫。

球坐標(biāo)系中的基本方程組：

球坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程

duuvtg(puw1dp.?

—co1Jr"1廣%

dtrrpcos(pOA

dv6gfp,空一空一….

dtrrpd（p

dww2+v215p

=心g+小+工

dtrpdr

dp1du1S(vcos^)a(wr)

)=0

dtrcos(pdXrcoscpd(p~VdI

B平面近似

地轉(zhuǎn)參數(shù)：f=2Qsin（p

將/在緯度（Po處泰勒展開:

f=fo+By

其中，fo=2f2sin（f）o,J3=（df/dy）0=2f2cos（p^la

L代表運(yùn)動(dòng)的經(jīng)向水平尺度，貝I：

flyCOS/L

/osin/a

中緯度地區(qū)，%i,所以可以略去地球曲率的影響，有:

產(chǎn)于o,7看成常數(shù)處理，這種近似稱為“啟‘近似。

低緯度（赤道）地區(qū)，力70,因而有:

fPy=-y,赤道B平面近似。

z坐標(biāo)系下的閉合方程組：

生1dp

力+戶+工

pdx

火

1

山dp

_fU+Fy

P/

dw1dp「

——=---------g+F.

dtpdz

dp.dudv八

—+p(——+—+―)=0

dtdxdydz

p=pRT

dTda-dTdP-din。?

丁+p-=2C--a—=Q,——=Q

dtdtdtdtdt

哪些是預(yù)報(bào)方程、哪些為診斷方程?

熱力學(xué)方程簡(jiǎn)化及討論

d\nO合In。d\nOd\nOd\nO.

------=--------\-u------Fv------Fw-----=0

dtdtdxdydz

對(duì)位溫公式取對(duì)數(shù)微商

d\nO_d\nTRdinp

dzdzCpdz

d\n6_1dT_Rdp

dzTdzCpdz

利用狀態(tài)方程和靜力平衡方程后，得到:

,?學(xué)=_pg，P=pRT

dz

d\x\e1dTg

--------------------+--------

dzTdzCpT

8\n0

dz

Yd稱為干絕熱垂直遞減率，7為氣溫隨高度的遞減率。

Sing1,、

-T—=-(/</-/)

dzT

8\n38ln0d\n0din3_

---------FU--------+V---------+W---------=0

(5/dydz

1@n，d\ndd\x\6

=>w=----------(k---------+u---------+v----------)

ainfdtdx3y

dz

?！ā?/p>

b三l^n^=不1(z/一乃

dzT

1,dln0Sin，Sln，、

w=-----(+〃-+----v--—---—)

dtdxSy

1In0aIn夕dIn0.f°s

Lt---------v-------------

at&XSy

1.f°s

W

上式表明，靜力穩(wěn)定度（。）對(duì)鉛直速度有抑制作用。

鉛直速度的量級(jí):

cr=-(r(y-y)=^-(l--^-)

TTC?yd

b-10'O'(爐Z.V1)

TC?r?

W10^W.s_|

bgD

第三章尺度分析與基本方程的簡(jiǎn)化

大氣中存在不同尺度（時(shí)間和空間）的運(yùn)動(dòng)；大氣運(yùn)動(dòng)方程組是非常復(fù)

雜的，它是具有六個(gè)變量的非線性偏微分方程組，因此在研究具體的大

氣運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)，需要對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。所謂簡(jiǎn)化就是在運(yùn)用運(yùn)動(dòng)方程之

前.，針對(duì)所研究的運(yùn)動(dòng)形勢(shì)的特點(diǎn)，正確區(qū)分影響運(yùn)動(dòng)過(guò)程的主要因素

和次要因素，然后略去方程中次要項(xiàng)而保留其中主要項(xiàng)。

主要內(nèi)容：

尺度和尺度分析的概念（掌握尺度間的基本關(guān)系式和尺度分析方法）

基本方程組的簡(jiǎn)化（了解大尺度運(yùn)動(dòng)方程的基本性質(zhì)）

基本方程組的進(jìn)一步簡(jiǎn)化

無(wú)量綱方程及動(dòng)力學(xué)參數(shù)

本章要點(diǎn)：

尺度分析的目的和方法；簡(jiǎn)化后的大氣運(yùn)動(dòng)方程組的基本特性。

尺度分析的基本概念和目的

尺度分析就是根據(jù)表征特定型式運(yùn)動(dòng)的各種運(yùn)動(dòng)要素的特征尺度來(lái)估

計(jì)方程中各項(xiàng)的大小，從而使得方程得到簡(jiǎn)化的一種方法。

這里所說(shuō)的運(yùn)動(dòng)要素的特征尺度是指某種特定型式運(yùn)動(dòng)的空間范圍和

時(shí)間區(qū)間以及氣象要素或者其他特性的一般大小。

采用尺度分析的方法對(duì)方程進(jìn)行分析，判別各個(gè)因子的相對(duì)重要性，然

后舍去次要因子而保留主要因子，使得物理特征突出，而達(dá)到簡(jiǎn)化又保

存主要特征的目的。

這樣一來(lái)，簡(jiǎn)化的方程一方面在數(shù)學(xué)形式上變得簡(jiǎn)單和容易處理，另一

方面突出了某種運(yùn)動(dòng)型式的本質(zhì)特征，其結(jié)果便于從物理上進(jìn)行解釋和

在實(shí)際工作中應(yīng)用。

動(dòng)力氣象學(xué)中常用的一種簡(jiǎn)化方程的方法一尺度分析法

大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)

適合于中緯度大中尺度運(yùn)動(dòng)初步簡(jiǎn)化的基本方程組為：

生

--

力+/SV

電

--

力

置

生

加

力--

蟲￥+

力TP

咖

打1

C一

大-

力

夕

這一方程組已經(jīng)完全忽略了球面效應(yīng)。即表明局地直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)

方程組實(shí)質(zhì)上可以看作為球面坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程組的簡(jiǎn)化形式。

利用尺度分析方法對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)進(jìn)行分析，根據(jù)觀測(cè)事實(shí),

中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)中各基本尺度的量級(jí)分別取為

水平尺度L?106m

鉛直尺度。?“?104m

水平速度尺度[/?10m.s"

擾動(dòng)傳播速度尺度。?U?10m.s"

時(shí)間尺度i~LU?10次

重力加速度g~10m-s2

地轉(zhuǎn)參數(shù)久?10飛"

水平運(yùn)動(dòng)方程為：

01

+

一=_P

力1/%V

八+

一=-

"2

對(duì)于大尺度運(yùn)動(dòng)有:

生如210-^.S-

dtdtL

fufvf.U

水平氣壓梯度力的量級(jí)應(yīng)當(dāng)于科氏力量級(jí)相當(dāng)，因此有:

一翳fu

作為零級(jí)近似，在略去加速度項(xiàng)后，大尺度水平運(yùn)動(dòng)方程為:

1dp

0=—+fv

pdx

0=」型

PSy

這就是地轉(zhuǎn)平衡方程。表明大尺度水平運(yùn)動(dòng)中水平氣壓梯度力與科氏力

相互平衡。該方程為診斷方程。

鉛直運(yùn)動(dòng)方程為:

dw1dp

~=---~~8

dtpdz

對(duì)于大尺度運(yùn)動(dòng)

-W----..U..-sy“y，----U--D-

DLL

dWUWU2D

dDL13

2

g~10m-s-

于是在相當(dāng)大的精度范圍內(nèi)，相對(duì)于重力和鉛直氣壓梯度力而言，鉛直

加速度可以略去，于是大尺度垂直運(yùn)動(dòng)方程為:

1

0n=——-dp--g

pdz

這就是靜力平衡方程。表明在鉛直方向上，重力和鉛直氣壓梯度力平衡。

該方程給出了瞬時(shí)氣壓場(chǎng)與密度場(chǎng)（溫度場(chǎng)）之間的關(guān)系。

對(duì)于大尺度運(yùn)動(dòng)，D?H,對(duì)流層中氣壓和密度隨高度的改變與它們本

身的量級(jí)相當(dāng),即:

dinpdp1

dzp8zD

Sinpdp1

&pdzD

大尺度運(yùn)動(dòng)存在地轉(zhuǎn)平衡，水平氣壓梯度力與科氏力相當(dāng)，所以有:

1Sp1dp

?

poAx~poAyJoU

1dp

由靜力平衡近似關(guān)系，得到:a?g

P&

由狀態(tài)方程：p=pRTnRT二=P_

P

曳

ai1Sinp1dp

vcInp=—opn-----=——1

pdzpdzdinp

dz

1dp

：.RT=B=~^^NRT~gD

dz

曳

dinp1dp0

,?,------=———&vp,=-^-

因此&pdx5Inp

dz

.dlnp（啊_i（dlnp）（當(dāng)=d當(dāng)飛當(dāng)）（孚

dxdz及dxpdzdzpoxDg

同理：迎￡~迎

力Dg

類似的，對(duì)于密度p也有

ep

的」史&,：盧

dxpdx.In/?

dz

華=已當(dāng)T（警）（m~冊(cè)小華

oxpozdzpoxDg

同理：?必

3yDg

類似證明有:嚶巖送

對(duì)于連續(xù)方程為：

dp,dudv0卬、八

—+p(—+—+—)=0

dtdxdpdz

din夕.dudvdw.八

------+(—+—+—)=0

dtdxdpdz

5Inp5Inpdinp5Inpdudvdw

dtdxdydzdxdp&

其中，^^u^~V^~f0U^D~^S-'

dtdxdy

W以上~空~上~］（巴7

而次次口

史也上-—

dx6yL

因此，連續(xù)方程的零級(jí)近似為:

dxdy

零級(jí)近似簡(jiǎn)化方程說(shuō)明大氣運(yùn)動(dòng)在水平是無(wú)輻散的。

連續(xù)方程的一級(jí)近似為：

dudvdwd\npn

dxdydzdz

,du合叭dpw八

orp(------1------)d----------x()

dxdydz

對(duì)一級(jí)近似簡(jiǎn)化方程，從Z=0到ZT8垂直積分，并利用邊界條件:

z=0時(shí)w=0以及z—>oo,pw=0,得到

「7(,d菽u+d而v心=。

一級(jí)簡(jiǎn)化方程說(shuō)明上下層速度輻合、輻散相互補(bǔ)償，整層大氣是水平無(wú)

輻散的。這就是達(dá)因(Dines)補(bǔ)償原理。

此外，根據(jù)尺度分析可知:

史+包~上~10-6「

dxdyD

但是電~包~2~10-5『

dxdyL

這表明水平輻散中兩項(xiàng)總是相互補(bǔ)償?shù)?

以上簡(jiǎn)化表明中緯度地區(qū)大尺度運(yùn)動(dòng)具有準(zhǔn)定常、準(zhǔn)水平、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)、準(zhǔn)

靜力平衡和準(zhǔn)水平無(wú)輻散的特點(diǎn)。

無(wú)量綱方程及動(dòng)力學(xué)參數(shù)

對(duì)利用特征尺度將基本方程組進(jìn)行無(wú)量綱化。

不計(jì)摩擦的局地直角坐標(biāo)系x方向的運(yùn)動(dòng)方程為

dudududu1dp.

------Fu------FV------FW-----=---------------F

dtdxdydzpdx

給出特征尺度引入無(wú)量綱量，記為:

(x,y)=￡(/,yf)

(w,v)=U(u\vr)

△hPfP'hP'

Z-DT!

t-Tt'

w=Wwf

p=7ipf

f=f.f

帶上標(biāo)的為無(wú)量綱量，量級(jí)為1。

bgD

當(dāng)D?H有

W［冊(cè)2,

W=--------w

bgD

對(duì)X方向上的運(yùn)動(dòng)方程無(wú)量綱化，得到:

dudududu1dp.

——+u——+v——+w——=-------+jv

dtdxdydzpdx

Udu'"28"，>\u,,du'、A,P1dp\.,

+—(u—+v—du)+——-------(w—)=----y2—z(———)+tlie

Tdf---LdxdyagDDdz兀Lp'dx'

上式兩端除以為u,

-L也+2(/曳+M叫+￡(“罵=-上」罵+〃

于。7說(shuō)f[}LdxdygoD-dz兀LfJJp'dx'

并定義如下參數(shù):

F_1R_Ug"

2

forf0LU

則有:

dudu,dui,du'△力尸1dp.,

￡—+4(〃t一+v—)+R(w—)=---------(------)+fV

dt'dxdy1dz兀LfJJp'dx

討論￡=_L,&三0,R產(chǎn)絲￡參數(shù)的物理意義？

加fjU2

2

1口_Up_goD

"不’R。三不送三方

￡為基別爾參數(shù)，定義為局地慣性力與科氏力的尺度之比:

%%」

找f0Uf0T

為是大氣中慣性運(yùn)動(dòng)的特征頻率，所以，70"可以理解為慣性運(yùn)動(dòng)的特征

時(shí)間尺度（％）,也是地轉(zhuǎn)適應(yīng)過(guò)程的特征時(shí)間尺度。

￡三，=上，因此，雙可以理解為慣性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度與所研究的運(yùn)動(dòng)

//T

時(shí)間尺度之比，其大小反映運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程的快慢程度。即￡的量級(jí)表示

運(yùn)動(dòng)地轉(zhuǎn)平衡近似程度。

g三1儕當(dāng)￡1,du/dt相對(duì)于/V可以略去。

心為羅斯貝參數(shù)，表示為水平慣性力與科氏力的尺度之比:

V-VMU2/LU

R0=

fvf.ufnL

當(dāng)R01,水平慣性力相對(duì)于科氏力可以略去；反之當(dāng)凡1,科氏力相

對(duì)于水平慣性力可以略去。由于各類運(yùn)動(dòng)中的圖中水平速度變化不大,

因此,區(qū)的大小主要依賴于各種運(yùn)動(dòng)的水平尺度。大尺度運(yùn)動(dòng)中，R。1,

科氏力是不能忽略的；小尺度運(yùn)動(dòng)中，小1,科氏力可以被忽略不計(jì)。

凡為理查遜數(shù)，這是一個(gè)與大氣層結(jié)穩(wěn)定度和風(fēng)速切變有關(guān)的動(dòng)力學(xué)參

數(shù)。

氏_dgln6/a_gergcrZ)2

'=(?/&)2一(%/次)2~U?

熱力學(xué)方程由位溫（⑨來(lái)表示為:

d\n6d\n0d\n6

------+〃--------FV-------1-W------=0n

dtdxdydz

人31n6I,、

ozT

眾所周知，層結(jié)越不穩(wěn)定、風(fēng)速越強(qiáng)，則有利于對(duì)流的發(fā)展；反之不利

于對(duì)流的發(fā)展。所以，凡當(dāng)用來(lái)表示大氣中對(duì)流（擾動(dòng)）導(dǎo)致的條件。

此外，比較水平與鉛直運(yùn)動(dòng)中的水平慣性力與重力的尺度大小：

LV-VMU7L

Fr=---------

gg

在大氣中，一般氏在10一8~10-1之間，只有當(dāng)水平尺度LV102m和風(fēng)速很強(qiáng)

時(shí)，工才可能達(dá)到10°的量級(jí)，相對(duì)于水平慣性力而言，重力一般是可以

忽略的，大氣通常滿足靜力平衡。

第四章自由大氣中的平衡流場(chǎng)

通過(guò)尺度分析，對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，表明中緯度地區(qū)大尺

度運(yùn)動(dòng)具有準(zhǔn)定常、準(zhǔn)水平、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)、準(zhǔn)靜力平衡和準(zhǔn)水平無(wú)輻散的特

點(diǎn)。因此研究靜力平衡條件下大氣平衡流場(chǎng)的性質(zhì)，對(duì)理解實(shí)際水平流

場(chǎng)的特征有重要意義。

主要針對(duì)：①準(zhǔn)水平；②無(wú)摩擦（自由大氣）。

1、主要內(nèi)容

自然坐標(biāo)系；平衡流場(chǎng)的基本型式和性質(zhì)；地轉(zhuǎn)風(fēng)隨高度的變化以及熱

成風(fēng)；地轉(zhuǎn)偏差

2、基本要求

①掌握自然坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程

②正確區(qū)分流線和軌跡

③掌握地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、地轉(zhuǎn)偏差、熱成風(fēng)的概念

自然坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點(diǎn)固接于質(zhì)點(diǎn)，坐標(biāo)軸沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的切向和法向的坐標(biāo)系，

叫做自然坐標(biāo)系。切向以質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向?yàn)檎?，記?,法向以曲線凹側(cè)

方向?yàn)檎?，記做en(見下圖)。

(1)位置：在軌道上取一固定點(diǎn)。，用質(zhì)點(diǎn)距離。的路程長(zhǎng)度s,可唯

一確定質(zhì)點(diǎn)的位置。位置s有正負(fù)之分。

(2)位置變化：As

(3)速度：沿切線方向，V=|v|ez

(4)加速度：五=包=上=?。皿

dtdtdt!dt

切向加速度：手可描述速度大小改變的快慢，不影響速度的方向。

dr

2

法向加速度：???lim絲=lim竺痣=學(xué)痣或落=上/描述速度方向改

y\t弋景\tdrp

變的快慢，不影響速度的大小。

在自然坐標(biāo)系下，空氣微團(tuán)的速度為:

Vh=Ve

空氣微團(tuán)的加速度為:

區(qū)=必.絲

dtdthdt

_一一dv_v2_

__dv_v2_

a="s+a島=--es+—en

atRr

RT：軌跡的曲率半徑。

航=%-

dtdtrT

RT為空氣軌跡的曲率半徑，規(guī)定當(dāng)軌跡呈氣旋式反時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)為3>0,

當(dāng)軌跡呈反氣旋式順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)為&<0。上式第一項(xiàng)為切向加速度，第

二項(xiàng)為向心加速度（負(fù)值為反向，稱離心加速度）

在自然坐標(biāo)系下，氣壓梯度力為：―—―道」當(dāng)

ppospOS

水平科氏力為:-fkxVh=-fVhh

自然坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程為：

dVh_1dp

dtpds

匕f-駕

RTpdn

軌跡與流線

軌跡：某一流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不同時(shí)刻所流經(jīng)的空間點(diǎn)所連成的

線稱為跡線，或者跡線就是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所走過(guò)的軌跡線。拉格朗日

法分析流場(chǎng)。

流線：流線是某瞬間在流場(chǎng)中繪出的曲線，在此曲線上所有各點(diǎn)的流速

矢量都和該線相切。歐拉法分析流場(chǎng)。

流線：某瞬時(shí)在流場(chǎng)中所作的一條空間曲線，曲線上各點(diǎn)速度矢量與曲

線相切。

dxdydz

流線微分方程：1=廣=1

UxUyUZ

性質(zhì)：一般情況下不相交、不折轉(zhuǎn)，流線表示瞬時(shí)流動(dòng)方向；流線密處

流速大，流線稀處流速小。

軌跡：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。

跡線微分方程：—=—=—=dt

“rUyU.

以后和&分別表示軌跡和流線的曲率。則有：

SsfoSsds

sr捻加

半表示風(fēng)向角沿軌跡的變率，學(xué)表示在任意瞬時(shí)風(fēng)向角沿流線的變率。

asds

則風(fēng)向角隨時(shí)間的變率為:

d(pd(pds

=Vk

dtdsdtT

d(p_d(pds

=Vk

.dtdsdts

...女二絲+v亞="+以

dtdtdsdt

??*冷……)

dtat

Blaton公式:公￡

在平衡流場(chǎng)基本的型式和性質(zhì)

dtpds

在氣流方向無(wú)外力的定常水平流場(chǎng)為平衡流場(chǎng)。此時(shí)的自然坐標(biāo)系

下的運(yùn)動(dòng)方程為：平衡流場(chǎng)中的等壓線就是流線，空氣微團(tuán)運(yùn)動(dòng)是等速

率的。在法線方向上，三力相平衡。

自由大氣中，空氣微團(tuán)以水平勻速度運(yùn)動(dòng)為梯度風(fēng)。即孤=()所謂

dt

梯度風(fēng)即是水平氣壓梯度力、水平科氏力和離心力三者平衡下的運(yùn)動(dòng)。

0=」如

pds

J”?

rTpon

地轉(zhuǎn)風(fēng)：當(dāng)RT—OO時(shí)，梯度風(fēng)既為地轉(zhuǎn)風(fēng)（％）。

地轉(zhuǎn)風(fēng)定義：在自由大氣中，因氣壓場(chǎng)是平直的，空氣僅受水平氣壓梯

度力和水平地轉(zhuǎn)偏向力的作用，當(dāng)二力相等的空氣運(yùn)動(dòng)稱之為地轉(zhuǎn)風(fēng):

高（低）壓在地轉(zhuǎn)風(fēng)右（左）側(cè);

①當(dāng)空氣密度和地理緯度一定時(shí).，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速與氣壓梯度成正比。即

地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速隨等壓線的疏密程度而變，當(dāng)?shù)葔壕€愈密時(shí)一，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)

速愈大，等壓線愈稀疏，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速愈小。

②當(dāng)空氣的密度與氣壓梯度一定時(shí)，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速與地理緯度的正弦成

反比，即低緯度地轉(zhuǎn)風(fēng)大于高緯度。但由于低緯度氣壓梯度力很小，地

轉(zhuǎn)風(fēng)也很小。

③當(dāng)氣壓梯度和地理緯度不變時(shí)，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速與空氣密度成反比。

白貝羅風(fēng)壓定律：在北半球，風(fēng)是順著等壓線吹的。背風(fēng)而立，低壓在

左手邊，高壓在右手邊；南半球相反。

地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)必須滿足的條件：

①氣流方向無(wú)外力；

②地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是水平、定常；

③水平氣壓梯度力和科氏力嚴(yán)格相平衡，因此實(shí)際大氣風(fēng)場(chǎng)不大可能

是地轉(zhuǎn)風(fēng)場(chǎng)。中緯度自由大氣中水平氣壓梯度力和科氏力近似平衡，運(yùn)

動(dòng)是準(zhǔn)水平、準(zhǔn)定常的。

其分量形式為：

1dp

H0-

'fp辦

_Idp

“fp&

慣性運(yùn)動(dòng)：氣壓水平分布均勻（水平氣壓梯度力=0）科氏力與慣性離

心力相平衡的流場(chǎng)為慣性流，其動(dòng)力學(xué)關(guān)系式為：

1（V=01/

"+丫2=0所以有：1和&=-

肉1匕=-/勺f

1.%=0為靜止，無(wú)意義。

2.在北半球＞0,需要H/O,于是在北半球空氣微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡必然是

反氣旋順時(shí)針的。

3.如果不考慮/的變化，則即隨是常數(shù)，其軌跡為慣性圓。運(yùn)動(dòng)的周

期為玉=洋町=子=＞/==竽=27]

匕.fCsin（pf

旋衡運(yùn)動(dòng)：小尺度運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)空氣微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡和風(fēng)速較大時(shí)，水平科

氏力比較氣壓梯度力和離心力都小，這時(shí)的平衡運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)風(fēng)（匕）。如

龍卷風(fēng)和旋風(fēng)。其動(dòng)力學(xué)關(guān)系為：=_1所以有:

RTpon

V”（一生

pon

當(dāng)種。時(shí)，需要等＜。,即中心為低壓，反之即＜0時(shí)，則中心為高

壓。旋衡運(yùn)動(dòng)可以是氣旋式的，也可以是反氣旋式的（見下圖）。

旋平衡運(yùn)動(dòng)中力的平衡

圖中Ca表示慣性離心力，P表示水平氣壓梯度力

討論北半球梯度風(fēng)的性質(zhì)

由梯度風(fēng)的公式，得出梯度風(fēng)公式：

￡=_乃」型nk=_出土（型L旦

G

RTpdn24p

梯度風(fēng)方程解的分類（北半球）

/?1>0

取正銳：里旋性環(huán)微，正常低取正號(hào)：質(zhì)機(jī)旋性環(huán)流，異常

壓⑷施壓⑷

取負(fù)號(hào)：無(wú)物理意義取負(fù)號(hào):.反再旋性環(huán)流，正常

取芷號(hào)：無(wú)物理府:又般正號(hào)；反包旋性環(huán)流?異常

低壓G）

取負(fù)號(hào)：無(wú)物理意義取負(fù)母：無(wú)物理意義

熱成風(fēng)：地轉(zhuǎn)風(fēng)隨高度的變化。

在靜力平衡條件下，水平氣壓場(chǎng)結(jié)構(gòu)隨高度因溫度分布不均而變地轉(zhuǎn)風(fēng)

關(guān)系也隨之變化一熱成風(fēng)。

正壓大氣：大氣密度的空間分布僅依賴于氣壓⑦）的大氣，即：片zXp），

正壓大氣中地轉(zhuǎn)風(fēng)不隨高度變化，沒有熱成風(fēng)。

斜壓大氣：大氣密度的空間分布依賴于氣壓S）和溫度（乃的大氣，即：

P=AP，T）。實(shí)際大氣都是斜壓大氣，和正壓大氣不同，斜壓大氣中等壓

面、等比容面（或等密度面）和等溫面是彼此相交的。

p坐標(biāo)系下的地轉(zhuǎn)風(fēng)表達(dá)式為：

-1-陀150-

V=一一▽①xk=/=——V——xk7

fdpfSp3匕R-

J1J1———=（Z:xVT）

,dp60RTd\npf

and*.?——=-pgn——=------

dzdpp

上式為熱成風(fēng)方程！

熱成風(fēng)定義為在鉛直方向上兩等壓面上地轉(zhuǎn)風(fēng)的矢量差：

D=g(pJ—D(P2)=—，1&xVT)/ln〃

如果令了為兩等壓面之間的平均溫度，則有:

%=31x5)ln(")

fPi

-1-

Vr=-^xV((D1-Q0)

可見，熱成風(fēng)方向與等平均溫度線（等厚度線）平行，在北半球，暖（冷）

區(qū)在熱成風(fēng)方向的右（左）側(cè)。熱成風(fēng)大小與平均溫度梯度成正比，與

緯度的正弦為反比。

地轉(zhuǎn)風(fēng)與平均等溫場(chǎng)之間的關(guān)系：地轉(zhuǎn)風(fēng)向隨高度逆（順）時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),

與此相伴隨的是冷（暖）平流。

是一個(gè)非常有用的診斷方程!

地轉(zhuǎn)偏差:#'=R_匕

不計(jì)摩擦的水平運(yùn)動(dòng)方程為

dV一一

——=—▽①一小xV

dt

一__—,■—*—*—*

=——xk=-V<Pxk-f(kxV)xk

dt

?/V,=--VOx^and(kxV)xk=V

dV~---

???--xk=f(yg-v)=-jv'

-1dV-

V'=--—xk

fdt

可見，地轉(zhuǎn)偏差與水平加速度方向相垂直，在北半球指向水平加速度的

左側(cè)。其大小與水平加速度成正比，與緯度的正弦為反比。

物理意義：地轉(zhuǎn)偏差由水平加速度造成，即由水平氣壓梯度力與科氏力

的不平衡引起。

地轉(zhuǎn)偏差

在多數(shù)情況下與實(shí)際大氣十分接近一一大氣運(yùn)動(dòng)處于準(zhǔn)動(dòng)態(tài)平衡中。

第五章環(huán)流定理與渦度方程

大氣運(yùn)動(dòng)具有明顯的渦旋特點(diǎn)，無(wú)論小尺度還是大尺度天氣系統(tǒng)都

呈現(xiàn)出渦旋特征，如龍卷、臺(tái)風(fēng)、氣旋、反氣旋以及繞極旋渦。此外，

海陸風(fēng)、山谷風(fēng)以及Hadley環(huán)流等等也可以看成另外一種渦旋運(yùn)動(dòng)。

1、主要內(nèi)容

環(huán)流與環(huán)流定理

渦度與渦度矢量方程

泰勒一普勞德曼定理

鉛直渦度方程

P坐標(biāo)系中的渦度方程

位勢(shì)位勢(shì)渦度方程

2、基本要求

①正確理解環(huán)流的定義以及Kelvin環(huán)流定理

②掌握渦度、散度的概念及其表達(dá)式

③掌握正壓大氣中絕對(duì)環(huán)流守恒定理之證明

④渦度方程各項(xiàng)的含義

一、絕對(duì)環(huán)流定理

速度環(huán)流：在流體中任取一閉合曲線（回路）L,曲線上每一點(diǎn)的速度

大小和方向是不一樣的，如果對(duì)各點(diǎn)的流體速度在曲線L方向上的分量

作線積分，則此積分定義為速度環(huán)流，簡(jiǎn)稱為環(huán)流C（見下圖），即：

C=［區(qū)ds=cosads（1）

其中，匕為速度，ds是曲線L方向上一致的弧元，a為V3與心之間的

夾角。Vcosa是風(fēng)速沿該線元的分量。

上式就是速度環(huán)流的表達(dá)式，它表示流體沿著閉合曲線L的流動(dòng)趨勢(shì),

也表示轉(zhuǎn)動(dòng)的傾向。

若取直角坐標(biāo)系，以r表示曲線上點(diǎn)的矢徑，則ds=ld”,于是有:

C=V3dr=u8x+v8y+w6z

為了簡(jiǎn)便起見，考慮水平方向的速度引起的環(huán)流，水平速度v的分量分

別為〃和v,則上式為：

C=dr=^uSx+v8y

積分路徑（即曲線L）的方向確定？

習(xí)慣上規(guī)定，如果沿曲線走，曲線所包圍的面積始終在其左側(cè)，則該方

向確定為曲線（回路）的正方向，反之，則為負(fù)方向。在水平面上，如

果曲線所包圍的是單通區(qū)域，那么逆時(shí)針?lè)较蚓褪乔€的正方向，這時(shí)

的環(huán)流大于零，稱為氣旋式環(huán)流；順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榍€的負(fù)方向，環(huán)流小

于零，稱為反氣旋式環(huán)流。

圖中表示在x-y平面上任取一個(gè)小正方形，它的邊長(zhǎng)分別為Bx和3y,假

設(shè)在AB邊上的風(fēng)速為“，在離開AB邊3y處的另外一邊DC,其風(fēng)速

為〃+包辦。同理，在AD邊上的風(fēng)速為％在離開AD邊3x處的另外

必

一邊BC上的風(fēng)速為-+史因此該閉合小口的環(huán)流為BC,它等于：

dx

8C=u3x+（v+-3x'）3y-（u+—3y）3x-v3y

dxdy

=（獲一可的=（天一加2A

其中5c為沿小閉合四邊形ABCD的環(huán)流，8A=5x8y為該閉合曲線的面

積。則BC/3A表示繞鉛直（Z）方向的渦度，即：

PSC.dvdu.

L=——=（----）

8Adxdy

Y小

在水平面上一面積元的環(huán)流與渦度的關(guān)系

渦度的其他表示公式？

絕對(duì)環(huán)流：Ca=[K療

在實(shí)際問(wèn)題上，不僅需要確定環(huán)流，更需要知道環(huán)流隨時(shí)間的變化，以

及環(huán)流變化的動(dòng)力學(xué)原因。

考察閉合曲線L的環(huán)流C隨時(shí)間的變化，環(huán)流C對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到：

骼三篇5

由于和運(yùn)算給予互相交換，因此有:

dV

Vdr=3

3"力吟

Ldt

上式右邊第一項(xiàng)是由于加速度引起的環(huán)流變化，右邊第二項(xiàng)是由于閉合

曲線L的變化所引起的環(huán)流變化。ldrl=ds,ds是曲線的弧元，它是隨流

體運(yùn)動(dòng)而變化的；其次”的算符是空間微分，與個(gè)別微商d/df是兩個(gè)

獨(dú)立運(yùn)算，故可以交換次序，所以有：

j療)=%)=附

因此右邊第二項(xiàng)變?yōu)?

.一dv2

K—(dr)=VdV=J^J(—)=0

L3dtL33

所以環(huán)流隨時(shí)間的變化可以表示為:

Vdr=

3Ldt

這就是環(huán)流定理，它表明：沿任意閉合回線的速度環(huán)流隨時(shí)間的變化率,

等于沿同一回線的加速度環(huán)流。簡(jiǎn)單地說(shuō)，環(huán)流的加速度等于加速度的

環(huán)流。

如果從慣性坐標(biāo)系下觀測(cè)大氣運(yùn)動(dòng)，對(duì)絕對(duì)速度作閉合回線L的積分,

得到絕對(duì)環(huán)流的。表示為：

ca=］環(huán)近

相應(yīng)地，絕對(duì)環(huán)流Ca隨時(shí)間的變化率可以表示為:

"丹1

不計(jì)摩擦力作用的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為：

*一*p+g*,熄―皿

。是地球引力位勢(shì)。于是對(duì)上式作閉合回線L的積分，得到:

aVpdr-J”3①3dr

小73

在笛卡兒直角坐標(biāo)系中，任意變量/x,y,z）的全導(dǎo)數(shù)可記為:

帆=~dx+^-dy+-dz=y3</>dr

dxdydz

所以有：1次〃公=一心"

服dr=—，她=0

帶入絕對(duì)環(huán)流隨時(shí)間的變化率后有：

￡°丫"dr=JQV3Pd亍=_[adp

上式為絕對(duì)環(huán)流定理，表明絕對(duì)環(huán)流的變化與地球引力無(wú)關(guān)，僅與氣壓

梯度力的切向分量沿閉合曲線的積分來(lái)確定。

上式中右端-1。物稱為力管項(xiàng)，?。╬,a）平面坐標(biāo)系（下圖），力管

項(xiàng)的數(shù)值大小由p-a平面上積分路徑L所包圍的面積決定。

因此如果在該平面上畫出許多等壓線和等比容線，并令每相鄰的等值線

都相差一個(gè)單位，那么由L內(nèi)的方格數(shù)就是力管項(xiàng)的大小。

積分-1adp,當(dāng)L為逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)為正，力管為正，反之，力管為負(fù)。

力管項(xiàng)的物理意義為：積分-即就是氣壓梯度力沿閉合回路的積分,

沿著氣壓梯度與路徑相同，則環(huán)流加強(qiáng)，反之減弱。

力管項(xiàng)的存在的必要條件就是大氣的斜壓性。通常實(shí)際大氣中，等比容

面和等氣面相交。

舉例:

丘=石X產(chǎn)

大刁、：v=勿〃sina=a>R

方向：右手螺旋法則

相對(duì)環(huán)流定理

對(duì)于氣象問(wèn)題，需要考察相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)，故相對(duì)運(yùn)動(dòng)及其變化是我

們所討論的實(shí)際問(wèn)題。

由于絕對(duì)速度可分為絕對(duì)速度和牽連速度：

弓=匕+匕=匕+0x7

于是有：Ce=￡(Qxr)dr=V3x(Qxr)ndcr

。和Q分別為相對(duì)環(huán)流和由地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的牽連環(huán)流，計(jì)算Ce，需要

利用斯托克斯(Stokes)定理：

^Vadr=V3dr+J(Qxr)dr

=C+Ce

。表示閉合回路L所圍面積，亢為曲面元do的外法向方向；

W為面積cr在赤道平面上的投影。L的走向與五構(gòu)成右手系統(tǒng)(如圖)。

閉合回路L所圍面積在赤道平面上的投影

利用矢量運(yùn)算規(guī)則有：

V3x(5x^)=(^V3)5-(5V3)^+5V3B-而3d

V3x(Qxr)=(rV3)Q-(QV3)r+QV3r-rV3C

=QV3r-(QV3)r=2Q

帶入上式

C,=j￡2Qda=20/X=2QJZ

因止匕，C=Ca-Ce=Ca-22c

對(duì)上式求個(gè)別微商，并利用：|?生療=-fadp

JLDTJLy

就得到皮葉克尼斯環(huán)流定理：J\adp-2/

dt}ldt

皮葉克尼斯環(huán)流定理的討論?

上式表明造成相對(duì)環(huán)流隨時(shí)間變化的原因有2個(gè)：1是力管項(xiàng)；2.是面

積變化項(xiàng)。

在北半球，若閉合回路L所包圍的面積在赤道面的投影隨時(shí)間減小，即

d27dr<0,則相對(duì)環(huán)流增強(qiáng)；反之，投影面積隨時(shí)間增加，d27d?>0,則

相對(duì)環(huán)流減弱。正壓大氣，相對(duì)環(huán)流變化完全由面積變化項(xiàng)決定。

引起投影面積2■變化可能有3種情況：

閉合回路L所包圍的投影面積在球面上有南北移到時(shí)候，投影面積2■會(huì)

發(fā)生改變，向北部時(shí)移動(dòng)￡增大，向南移動(dòng)時(shí)W會(huì)減??；

輻散幅合造成面積。本身擴(kuò)張和收縮，使投影面積S發(fā)生改變；

速度場(chǎng)不均勻使面積。相對(duì)于球面在空間的傾斜發(fā)生改變，從而使投影

面積Z發(fā)生變化。

渦度與渦度矢量方程

渦度的概念

環(huán)流及其隨時(shí)間變化的環(huán)流定理引進(jìn)在氣象上對(duì)氣象學(xué)理論有十分積

極的作用，但在實(shí)際氣象上是無(wú)法直接運(yùn)用的，需要引進(jìn)新的概念：渦

度。

對(duì)速度環(huán)流C引用斯托克斯定理，把線積分變?yōu)槊娣e分后得到：

C=dr=j￡(V3xt^)da=j￡(V3xi^).da

由此可見，沿閉合回線L的速度環(huán)流是和速度的旋度(^，區(qū))緊密相

互聯(lián)系的。上式表明：沿閉合回線L的速度環(huán)流等于提供該回線所確定

的面積上的渦旋通量?；蚝?jiǎn)言之，環(huán)流等于速度旋度的面積分。通常稱

速度的旋度為渦度。

C=d(y

對(duì)上式取面積b趨于。的極限后，lim'=(%xR).

Q-＞。8(J

所以，渦度在法方向的分量就等于單位面積上的環(huán)流，因此可以認(rèn)為渦

度是對(duì)流體轉(zhuǎn)動(dòng)的微觀度量。

渦度用來(lái)描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。渦度是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，它

在直角坐標(biāo)系中的投影為：

也，9=曳-生，。.=%-生

dydzdzdxdxdy

自然坐標(biāo)系下的渦度表達(dá)式，見pill,圖6.8

沿ABCDA的環(huán)流為：

--av

6C=VxA6+0xBC+(V+=dr)xCZ)+0xD4

dr

dv

=-vxAB+(v+—dr)xCD

dr

注意，風(fēng)矢量▽與矢徑相垂直！

,/AB—rd0,CD=(r+dr)d0,BC—AD-dr

代入上式，則:

dC=-vrd0+(v+-dr)(r+dr)d6

dr

dvdv

=-vrd3+vrd0+vdrd6-\----rdrd0-\-----(dr)-7d0

drdr

vdvdvdr

二—(rdrd6)+—(rdrd8)+-------(rdrd。)

rdrdrr

又因?yàn)椋篈BCD的面積dA為：6A=rdrde

所以上式又可以寫成：

vSudrdv

=-dA+—dA+——dA

rdrrdr

當(dāng)drfO和dOfO時(shí)-，上式最后一項(xiàng)也趨于零，則渦度（C）為：

SCvdv

L=hm----=—H-----

一d—o5Ardr

該式表明，渦度由兩方面（作用）造成：第一項(xiàng)表示氣流的彎曲作用，

稱為曲率項(xiàng)；第二項(xiàng)表示風(fēng)速在r方向的分布不均（察。0）的作用，

dr

稱為切變項(xiàng)。渦度是由曲率項(xiàng)和切變項(xiàng)的綜合效應(yīng)產(chǎn)生。

dvv

曲率項(xiàng)；如果刀=。，則7=一表示氣流作彎曲運(yùn)動(dòng)時(shí)，渦度不等于零。

orr

流線的曲率用1/r表示，當(dāng)氣流按逆（順）時(shí)針旋轉(zhuǎn)，r＞（＜）0,則渦度為

正（負(fù)）。見pll2,圖6.10

dv

切變項(xiàng)：如果氣流作直線運(yùn)動(dòng)，1/r趨于零，此時(shí)，＜=—,表示當(dāng)風(fēng)

or

速沿r方向增大（減?。r(shí)，渦度為正（負(fù)）。在自然坐標(biāo)系下規(guī)定r

的方向?yàn)榕c氣流垂直且指向右側(cè)。下圖6.9來(lái)說(shuō)明。

關(guān)于流函數(shù)W：

水平無(wú)輻散運(yùn)動(dòng)：生+史=0=史=-史

dxdydxdy

存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)w要求：

3%

U=----

Qy

=vdx-udy=＞＜*

ST

v=----

、dx

Vh=ui+vj=一▽+xk=kxV+

〃稱為流函數(shù)，水平速度方向與等〃相切，所以等〃（產(chǎn)常數(shù)）的曲線

就是水平流場(chǎng)的曲線，或者說(shuō)，等3線相當(dāng)于無(wú)輻散速度場(chǎng)的流線）。引

入流函數(shù)瘁示水平流場(chǎng)，渦度用涯示有：

dxdy

d2d2

吁旅+旅

對(duì)于無(wú)旋運(yùn)動(dòng)（包—電=（）=史=電），則存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)不用濤示

oxcyoxdy

水平速度場(chǎng)，要求：

u——

dx-7Tv-7

=%=〃+〃=▽%

Z稱為速度勢(shì)，無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的流體將沿速度勢(shì)的水平梯度方向運(yùn)動(dòng)。

武生+包=力力

dxdy

一般情形下，水平速度可以分為無(wú)輻散和無(wú)旋兩個(gè)部分的速度之和:

「-du^a%八

V?匕=—+—^=0

dxdy

--dvdu

（▽x匕）*=1v——二v=0

*6ydy

匕,=_V+xE,%=V%分別為旋轉(zhuǎn)風(fēng)和散度風(fēng)

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