職高數(shù)學下教案

【課題】6.1數(shù)列的概念

【教學目標】

知識目標：

(1)了解數(shù)列的有關概念；

(2)掌握數(shù)列的通項(一般項)與通項公式.

能力目標：

通過實例引出數(shù)列的定義,培養(yǎng)學生的觀察能力與歸納能力.

【教學重點】

利用數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列中的任意一項并且能判斷一個數(shù)就是否為數(shù)列中的一項.

【教學難點】

根據(jù)數(shù)列的前若干項寫出它的一個通項公式.

【教學設計】

通過幾個實例講解數(shù)列及其有關概念:項、首項、項數(shù)、有窮數(shù)列與無窮數(shù)列.講解數(shù)

列的通項(一般項)與通項公式.

從幾個具體實例入手，引出數(shù)列的定義、數(shù)列就是按照一定次序排成的一列數(shù).學生往

往不易理解什么就是“一定次序”.實際上,不論能否表述出來，只要寫出來，就等于給出了

“次序"，比如我們隨便寫出的兩列數(shù):2,1,15,3,243,23與1,15,23,2,243,3,就都就是按

照“一定次序”排成的一列數(shù)，因此它們就都就是數(shù)列，但它們的排列“次序”不一樣，因此

就是不同的數(shù)列.

例1與例3就是基本題目，前者就是利用通項公式寫出數(shù)列中的項;后者就是利用通項

公式判斷一個數(shù)就是否為數(shù)列中的項,就是通項公式的逆向應用.

例2就是鞏固性題目，指導學生分析完成、要列出項數(shù)與該項的對應關系，不能泛泛而

談,采用對應表的方法比較直觀，降低了難度,學生容易接受、

【教學備品】

教學課件.

【課時安排】

2課時.（90分鐘）

【教學過程】

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

*揭示課題介紹了解從實0

例出

6.1數(shù)列的概念.播放觀瞧5

發(fā)使

*創(chuàng)設情境興趣導入課件課件學生

自然

質疑思考

將正整數(shù)從小到大排成一列數(shù)為的走

引導自我向知

1,2,34,5,-.(1)

識點

分析分析

將2的正整數(shù)指數(shù)幕從小到大排成一列數(shù)為

2,22,23,24,25,.(2)

當n從小到大依次取正整數(shù)時，cos師的值排成一列數(shù)為

T,1,-11,….(3)

取無理數(shù)兀的近似值（四舍五入法），依照有效數(shù)字的個

數(shù),排成一列數(shù)為

3,3、1,3、14,3、141,3、1416,-.(4)

10

*動腦思考探索新知總結思考帶領

歸納理解學生

【新知識】

仔細記憶分析

象上面的實例那樣，按照一定的次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

歹（］.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項.從開始的項起,按照自左分析引導

至右的排序,各項按照其位置依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首講解式啟

項），第2項，第3項，…,第〃項，…,其中反映各項在數(shù)列中位置

關鍵發(fā)學

的數(shù)字1,2,3,…,"，分別叫做對應的項的項數(shù).

詞語生得

只有有限項的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，有無限多項的數(shù)列叫做

出結

無窮數(shù)列.

果

【小提示】

數(shù)列的“項”與這一項的“項數(shù)”就是兩個不同的概念.

如數(shù)列⑵中,第3項為23,這一項的項數(shù)為3、

【想一想】

上面的4個數(shù)列中，哪些就是有窮數(shù)列，哪些就是無窮數(shù)

歹IJ?

【新知識】

由于從數(shù)列的第一項開始,各項的項數(shù)依次與正整數(shù)相對

應,所以無窮數(shù)列的一般形式可以寫作

at,a2,a3,,an,.（neN）

簡記作｛4｝.其中，下角碼中的數(shù)為項數(shù)，可表示第1項，的表

示第2項,….當〃由小至大依次取正整數(shù)值時，/依次可以表

示數(shù)列中的各項,因此,通常把第n項/叫做數(shù)列｛4｝的通項

或一般項.

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

*運用知識強化練習提問思考及時15

巡視口答了解

1、說出生活中的一個數(shù)列實例.

指導學生

2、數(shù)列“1,2,3,4,5”與數(shù)列“5,4,3,2,1w就是否為

同一個數(shù)列？知識

掌握

3、設數(shù)列｛q｝為“-5,-3,-1,1,3,5,…”，指出其中％、

得情

4各就是什么數(shù)？

況

*創(chuàng)設情境興趣導入質疑思考引導25

啟發(fā)

引導參與

【觀察】學生

分析分析思考

6、1、1中的數(shù)列(1)中，各項就是從小到大依次排列出的

正整數(shù).

牲=2,%=3,…，

可以瞧到,每一項與這項的項數(shù)恰好相同.這個規(guī)律可以用

an=〃（〃wN*）

表示.利用這個規(guī)律，可以方便地寫出數(shù)列中的任意一項，如

61—11,=20?

6、1、1中的數(shù)列(2)中，各項就是從小到大順次排列出的

2的正整數(shù)指數(shù)基.

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

可以瞧到,各項的底都就是2,每一項的指數(shù)恰好就是這項的項

數(shù).這個規(guī)律可以用

an=2"(〃GN")

表示，利用這個規(guī)律，可以方便地寫出數(shù)列中的任意一項，如

20

0n=2",?20=2.

*動腦思考探索新知總結思考帶領35

歸納歸納學生

【新知識】

仔細理解總結

一個數(shù)列的第n項4,如果能夠用關于項數(shù)〃'的一個式

分析記憶

子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式、

講解

數(shù)列⑴的通項公式為%=〃，可以將數(shù)列⑴記為數(shù)列

關鍵

伍｝；數(shù)列⑵的通項公式為a?=2",可以將數(shù)列⑵記為數(shù)列

詞語

⑵'｝、

*鞏固知識典型例題說明觀察通過50

例題

強調思考

例1設數(shù)列｛%｝的通項公式為進一

引領主動步領

1

4〃=Z7，會

2"講解求解

注意

寫出數(shù)列的前5項.說明觀察

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

分析知道數(shù)列的通項公式,求數(shù)列中的某一項時，只需引領思考觀察

將通項公式中的n換成該項的項數(shù),并計算出結果.分析求解學生

解強調領會就是

11111111否

"1=7=2；^=F=4；的下抵；"4=*而；含義思考

11理解

%一聲一記.說明求解

知識

例2根據(jù)下列各無窮數(shù)列的前4項,寫出數(shù)列的一個通項

點

公式、

1111反復

(1)5,10,15,20,…；(2);

2468

強調

(3)-1,1,-1,1,???.

分析分別觀察分析各項與其項數(shù)之間的關系，探求用式

子表示這種關系.

解(1)數(shù)列的前4項與其項數(shù)的關系如下表：

項數(shù)”1234

項知5101520

關系5=5x110=5x215=5x320=5x4

由此得到，該數(shù)列的?個通項公式為

an—5n.

(2)數(shù)列前4項與其項數(shù)的關系如下表:

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

序號1234

]_

項4

2468

1_11_11_11_1

2-2^T4-2x26-2x38-2x4

關系

由此得到,該數(shù)列的一個通項公式為

1

%=—?

2n

⑶數(shù)列前4項與其項數(shù)的關系如下表：

序號1234

項4,-11-11

關系(-1)1(-1)2(-1)3(-1)4

由此得到,該數(shù)列的一個通項公式為

【注意】

由數(shù)列的有限項探求通項公式時，答案不一定就是唯一

的.例如，an=(-1)"與an=COSH7T都就是例2(3)中數(shù)列

“一1,1,一1,1「“.”的通項公式.

【知識鞏固】

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

例3判斷16與45就是否為數(shù)列｛3〃+1）中的項,如果就是，

請指出就是第幾項、

分析如果數(shù)?就是數(shù)列中的第k項,那么k必須就是正整

數(shù),并且。=3%+1、

解數(shù)列的通項公式為4=3/1+1.

將16代入數(shù)列的通項公式有

16=3^4-1,

解得

n=5eN*.

所以,16就是數(shù)列｛3〃+1｝中的第5項.

將45代入數(shù)列的通項公式有

45=3〃+1,

解得

44

n=—eN,

3

所以,45不就是數(shù)列｛3〃+1｝中的項.

*運用知識強化練習啟發(fā)思考可以65

交給

1、根據(jù)下列各數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前4項：引導了解

提問動手學生

(l)a〃=3〃-2;(2)=(-1)”?拉.

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

2、根據(jù)下列各無窮數(shù)列的前4項,寫出數(shù)列的一個通項巡視求解自我

公式：指導發(fā)現(xiàn)

(1)-1,1,3,5,…；(2)-1,i,,'，…；⑶歸納

_13__5_7

2468

3、判斷12與56就是否為數(shù)列｛〃2一〃｝中的項,如果就是，

請指出就是第幾項.

*理論升華整體建構質疑問答及時75

了解

思考并回答下面的問題：歸納

學生

強調

數(shù)列、項、項數(shù)分別就是如何定義的？知識

掌握

結論：

情況

按照一定的次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個

數(shù)叫做數(shù)列的項.從開始的項起,按照自左至右排序，各項按照

其位置依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，第3

項，…，第n項，…，其中反映各項在數(shù)列中位置的數(shù)字

1,2,3,…,％分別叫做各項的項數(shù).

*歸納小結強化思想引導回憶

本次課學了哪些內容？重點與難點各就是什么？

*自我反思目標檢測提問反思檢驗85

本次課采用了怎樣的學習方法？您就是如何進行學習巡視動手學生

的？您的學習效果如何？

指導求解學習

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

判斷22就是否為數(shù)列｛/一〃一20｝中的項，如果就是，請指效果

出就是第幾項.

*繼續(xù)探索活動探究說明記錄分層90

次要

(1)讀書部分:教材

求

(2)書面作業(yè):教材習題6.1A組(必做);6.1B組(選做)

(3)實踐調查:用發(fā)現(xiàn)的眼睛尋找生活中的數(shù)列實例

【教師教學后記】

項目反思點

學生就是否真正理解有關知識；

學生知識、技能的掌握情況就是否能利用知識、技能解決問題；

在知識、技能的掌握上存在哪些問題；

學生就是否參與有關活動；

學生的情感態(tài)度在數(shù)學活動中，就是否認真、積極、自信；

遇到困難時，就是否愿意通過自己的努力加以克服；

學生就是否積極思考；

思維就是否有條理、靈活；

學生思維情況

就是否能提出新的想法；

就是否自覺地進行反思；

學生就是否善于與人合作；

學生合作交流的情況在交流中，就是否積極表達；

就是否善于傾聽別人的意見；

學生就是否愿意開展實踐；

能否根據(jù)問題合理地進行實踐；

學生實踐的情況

在實踐中能否積極思考；

能否有意識的反思實踐過程的方面.

【課題】6.2等差數(shù)列(一)

【教學目標】

知識目標：

(1)理解等差數(shù)列的定義；

(2)理解等差數(shù)列通項公式.

能力目標：

通過學習等差數(shù)列的通項公式,培養(yǎng)學生處理數(shù)據(jù)的能力.

【教學重點】

等差數(shù)列的通項公式.

【教學難點】

等差數(shù)列通項公式的推導.

【教學設計】

本節(jié)的主要內容就是等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項公式、重點就是等差數(shù)列的定

義、等差數(shù)列的通項公式;難點就是通項公式的推導.等差數(shù)列的定義中,應特別強調“等差”

的特點：an+i-an=d(常數(shù))、例1就是基礎題目，有助于學生進一步理解等差數(shù)列的定義、

教材中等差數(shù)列的通項公式的推導過程實際上就是一個無限次迭代的過程，所用的歸

納方法就是不完全歸納法、因此，公式的正確性還應該用數(shù)學歸納法加以證明、例2就是求

等差數(shù)列的通項公式及其中任一項的鞏固性題目，注意求公差的方法、等差數(shù)列的通項公式

中含有四個量：只要知道其中任意三個量,就可以求出另外的一個量.

【教學備品】

教學課件.

【課時安排】

2課時.(90分鐘)

【教學過程】

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

*揭示課題介紹了解從實0

例出

6.2等差數(shù)列.播放觀瞧5

發(fā)使

課件課件

*創(chuàng)設情境興趣導入學生

自然

質疑思考

【觀察】的走

引導自我向知

將正整數(shù)中5的倍數(shù)從小到大列出，組成數(shù)列：

識點

分析分析

5,10,15,20,-.(1)

引導

將正奇數(shù)從小到大列出，組成數(shù)列：式啟

1,3,5,7,9,….(2)發(fā)學

觀察數(shù)列中相鄰兩項之間的關系，生得

發(fā)現(xiàn):從第2項開始，數(shù)列(1)中的每一項與它前一項的差都出結

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

果

就是5;數(shù)列(2)中的每一項與它前一項的差都就是2.這兩個數(shù)

列的一個共同特點就就是從第2項開始，數(shù)列中的每一項與它

前一項的差都等于相同的常數(shù).

*動腦思考探索新知總結思考帶領10

歸納理解學生

如果一個數(shù)列從第2項開始，每一項與它前一項的差都等

于同一個常數(shù)，那么，這個數(shù)列叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差仔細記憶分析

數(shù)列的公差.一般用字母d表示.

分析

由定義知，若數(shù)列1”｝為等差數(shù)列，“為公差，則講解

an+\~an=d，即關鍵

詞語

*鞏固知識典型例題說明觀察通過45

例題

思考

例已知等差數(shù)列的首項為公差為試寫出這個強調

112,-5,進一

數(shù)列的第2項到第5項.引領主動步領

會等

講解求解

解由于q=12,4=—5,因此

差數(shù)

說明列通

a=ci+d=12+(—5)=7;

2]項公

式

a3=w+d=7+(—5)=2;

%=%+。=2+(―5)=—3；

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

%=%+d=—3+(~5)=—8.

*運用知識強化練習提問動手及時25

巡視求解了解

1.已知｛4｝為等差數(shù)列，為=-8,公差d=2,試寫出這

指導學生

個數(shù)列的第8項他.

知識

2.寫出等差數(shù)列11,8,5,2,…的第10項、

掌握

得情

況

30

*創(chuàng)設情境興趣導入質疑思考從實

引導參與際事

您能很快地寫出例1中數(shù)列的第101項不？

分析分析例使

顯然，依照公式（6、1）寫出數(shù)列的第101項,就是比較麻煩

的，如果求出數(shù)列的通項公式，就可以方便地直接求出數(shù)列的學生

第101項.自然

的走

向知

識點

35

*動腦思考探索新知總結思考帶領

歸納歸納學生

設等差數(shù)列｛/｝的公差為d,則

仔細理解總結

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

分析記憶問題

q=4，

講解得到

出=4+4,

關鍵等差

4=4+4=(4+△)+4=4+2d,

數(shù)列

詞語

通項

a4=%+d=(/+2d)+d=/+3d,

公式

引導

啟發(fā)

依此類推,通過觀察可以得到等差數(shù)列的通項公式

學生

思考

an=。］+(n—1)d.(6、2)

求解

知道了等差數(shù)列｛%｝中的4與4,利用公式(6、2),可以直

接計算出數(shù)列的任意一項、

在例1的等差數(shù)列他“｝中，q=12,"=-5,所以數(shù)列的通

項公式為

an=12+(n-1)(-5)=17—5n,

數(shù)列的第101項為

/oi=17-5x101=788.

【想一想】

等差數(shù)列的通項公式中，共有四個量：4、《、〃與”，

只要知道了其中的任意三個量,就可以求出另外的一個量、針

對不同情況,應該分別采用什么樣的計算方法？

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

*鞏固知識典型例題說明觀察通過45

例題

強調思考50

例2求等差數(shù)列

進一

引領主動步領

-1,5,11,17,...

會

講解求解

的第50項、注意

說明觀察

解由于％=—1,d=4—q=5-(-1)=6,所以通項觀察

引領思考

公式為學生

分析求解

就是

an=4+(〃-l)d=-l+("-l)x6=6〃-7強調領會

否

含義思考

理解

即a=6〃-7.說明求解

n知識

故點

%)=6x50—7=293.反復

強調

例3在等差數(shù)列｝中，?=48,公差d=：,求首項&

解由于公差d=L故設等差數(shù)列的通項公式為

3

%=/+(〃-1)]

由于q0c=48,故

48=a,4-(100-1)-^,

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

解得

—15.

【小提示】

本題目初瞧就是知道2個條件，實際上就是3個條

件：“=100,%=48,d=L

3

例4小明、小明的爸爸與小明的爺爺三個人在年齡恰好

構成一個等差數(shù)列,她們三人的年齡之與為120歲，爺爺?shù)哪挲g

比小明年齡的4倍還多5歲，求她們祖孫三人的年齡、

分析知道三個數(shù)構成等差數(shù)列，并且知道這三個數(shù)的

與，可以將這三個數(shù)設為a-4,。，a+d,這樣可以方便地求

出。，從而解決問題、

解設小明、爸爸與爺爺?shù)哪挲g分別為a-d,a,a+d,

其中d為公差

則

(a-d)+a+(a+d)=12Q

4(a-d)+5=a+d

解得

a—40,d—25

從而

教學教師學生教學時

間

過程行為行為意圖

。一d=15,。+d=65.

答小明、爸爸與爺爺?shù)哪挲g分別為15歲、40歲與65歲、

【注意】

將構成等差數(shù)列的三個數(shù)設為a-d,。，“+〃，就是經常

使用的方法、

*運用知識強化練習啟發(fā)思考可以60

練習6、2、2引導了解交給

提問動手學生

1、求等差數(shù)列2,1,-，…的通項公式與第15項.

55

巡視求解自我

2、在等差數(shù)列｛a,J中，％=0,40=10，求卬與公差"、

指導發(fā)現(xiàn)

3、在等差數(shù)列｛a,J中，％=-3,%=75,