高中數(shù)學(xué)：教案：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊(cè) 余弦定理、正弦定理

第六章平面向量及其應(yīng)用

6.4.3第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解實(shí)際問(wèn)題中常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)，能夠運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識(shí)和

方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離、高度、角度的實(shí)際問(wèn)題；

2.通過(guò)對(duì)余弦定理、正弦定理應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)

建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.由實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題

的解；

2.由實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖。

三、教學(xué)過(guò)程：

1、創(chuàng)設(shè)情境：

如圖所示，A,B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A,B兩點(diǎn)

間的距離的方法.并求出A,B間的距離。

...............

A...........

教師提出本節(jié)課解決的問(wèn)題--------應(yīng)用余弦定理、正弦定理解決實(shí)際問(wèn)題

探究1:你能把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出已知量和要求的量嗎？

測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C,D,測(cè)得CAa,并且在C,。兩點(diǎn)分別測(cè)得NBCA=

a,ZACD=&,ZCDB='Y,/BDA=6,

問(wèn)題1：如何求AB間的距離?

學(xué)生小組活動(dòng)探究

二.建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.（1）基線的概念

在測(cè)量中，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線

(2)選擇原則

在測(cè)量過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精

確度.一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.

2.測(cè)量中的有關(guān)角的概念

(D仰角和俯角

如下圖所示，與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，

目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角。

目標(biāo)視線

水平視線

目標(biāo)視線

(2)方向角

如下圖所示，從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角.如南偏西60°,

即以正南方向?yàn)槭歼叄槙r(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn)60°.

三.數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1完成探究1

解：在AADC和aBDC中，應(yīng)用正弦定理得

,sin|ISO"\y\,?)|刈山夕”|丹),

a

fl/,■■——<fn—in/———二！、---m-.n../..-

疝/180”-(a*1/H*X)Jnintfl+fl+y)*

于是，在AABC中，應(yīng)用余弦定理可得A,B兩點(diǎn)間的距離

Aii"W阡*匚2Ame\i?.Ha

-ir,(y?wfy:y+力)而y<x?a

Vsitr</3Iyt8)siir'(?i?jiIX)sin(/?-4/■^)sm(nI/?|-/)*

變式訓(xùn)練：1.如圖，設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸，在A所在河岸邊選一定點(diǎn)C,測(cè)

量AC的距離為5C??,ZACB=30°,ZCAB=105°,貝UA,B兩點(diǎn)間的距離是

m.

解:

在三角形的中,由正弦定理,得品久/匕

~y^L^=-------------------------------=------------------------------=--------------

sc^3巨

N

.-.A>B兩點(diǎn)的距離為50〃z,

2.如圖，地面四個(gè)5G中繼站力、B、aD,已知CD=（而+J^）km,

ZADB=ZCDB=30°,ZDCA=45°,/4CB=60。，則力、8兩個(gè)中繼站的距離

是（）

A.46kmB.2715kmC.VlOkmD.6后km

【答案】C

【解析】由題意可得4MC=75。，ZDBC=45°,

由正弦定理得AC=CDsinNADC=(C+⑹><：=,

在AADC中，

'—sinZDAC~sin75°—八

一/*CD-sinNBDC(正+吟、后

由正弦定理傳f--y/3+1,

在ABDC中，BC_.-

sinZDBC。2

2

在AACB中，由余弦定理得AB?=人。2+8。2—2xACx8CcosZACfi

=（2南+（G+l『—2x2品（6+1月］所以鈣=皿

例2圖，在A點(diǎn)和8點(diǎn)測(cè)得淮安電視塔塔頂P的仰角分別為45和60（點(diǎn)A、B

與塔底。在同一直線上）又測(cè)得AB135米，根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)可求淮安電視塔P。的

高度.

在三角形,中,由正弦定理,得金第=',

V2.

.-.A>8兩點(diǎn)的距離為50〃z,

答：淮安電視塔P0的高度50m.

變式訓(xùn)練：如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔N6的高度，在。點(diǎn)測(cè)得塔

頂/的仰角是45°,在。點(diǎn)測(cè)得塔頂/的仰角是30°,并測(cè)得水平面上的

=120°,5=40m,求電視塔的高度.

A

BD

C

解：設(shè)電視塔四的高為X,

則在Rt△45。中，

由N/"=45°,得8C=x.

在RtZU的中，ZADB=3Q°,：.BD=y/3x.

在△初。中，由余弦定理，得

B^=B^+C^-2BCXCDcosl2Q°,

即（，^X）2=寸+4。2—2?x?40?cosl20。，

解得x=40,

答:電視塔的高為40m.

例3.如圖，4、8是海面上位于東西方向相距5（3+7^海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位

于/點(diǎn)北偏東45°,8點(diǎn)北偏西60°的。點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于8

點(diǎn)南偏西60°且與8點(diǎn)相距203海里的。點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速

度為30海里/小時(shí)，試求：

則求救援船到達(dá)。點(diǎn)所需要的時(shí)間.

【答案】1小時(shí).

【解析】由題意可知：在△ADB中，ZDAB=45°,ZDBA=30°,則NAD3=1O5。,

AHDB—得:5(3+6)DB

由正弦定理。

sinZDABsin105°-sin45°

由sin1050=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=通

代入上式得：DB=l。出，輪船。與觀測(cè)點(diǎn)8的距離為10君海里.

在△BCD中，BC=2b6,DB=10A/3,ZCBD=60°,

由余弦定理得：CD2=BC~+BD~-2BC-BD-cos600

=(2073)2+(1073)2-2x20A/3X1073X|=302,

即該救援船到達(dá)。點(diǎn)所需的時(shí)間1小時(shí).

故答案為：1小時(shí).

變式訓(xùn)練：如圖所示，甲船以每小時(shí)30斕海里的速度向正北方向航行，乙船按

固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于4處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75°方向

的四處，此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)4處時(shí)，乙船航行到

甲船的南偏西60°方向的氏處，此時(shí)兩船相距10:海里.乙船每小時(shí)航行

_____________海里

8/,4

乙甲

【答案】3072

【解析】連接4&由題意知，4夕=20,4民=1球，A^2=—X30-\/2=10yj2

（海里）.又民44=180°-120°=60°,，△44員是等邊三角形，

N8M氏=105°-60°=45°.

在△兒區(qū)”中，由余弦定理得6區(qū)=4戌+4&-244民cos45°=202+（10-^2）2

-2x20x1072x^=200,.?.60=10噌（海里）.

乙

因此乙船的速度大小為喋X60=3咪（海里/小時(shí)）.

乙U

故答案為：30小海里/小時(shí)

四、小結(jié)：

余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們

夾角的余弦的積的兩倍，即

才=4+/—2Z?ccos4

甘=ac-2accosB,

c=a+1）-2abcosC

變形：2bc,2ac,2ba