滬教版 七年級(上)數(shù)學(xué) 秋季課程 第11講 整式的除法（解析版）

w整式的除法

內(nèi)容分析

本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容包括三部分：同底數(shù)賽的除法，單項式除以單項式，多項式除以單項

式.掌握同底數(shù)露的除法和單項式除以單項式、多項式除以單項式的運算法則，重點能夠進

行準確地計算，理解與整式乘法的逆運算關(guān)系.難點是結(jié)合之前所學(xué)過的加減法與乘法，可

以靈活地進行混合運算.

知識結(jié)構(gòu)

N同底數(shù)幕的除法］

，---------------------------------------\-----------------------------------

整式除法-T單項式除以單項與I

q多項式除以朝式］

模塊一：同底數(shù)幕的除法

（^）知識精講

1、同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

a"'4-a"=am~"（m、〃是正整數(shù),S.m>n,。/0）

注：底數(shù)。可以是數(shù)字、字母，也可以是單項式或多項式.

2、任何不等于零的數(shù)的零次賽都等于1

a°=l（a/O）

3、同底數(shù)數(shù)幕的乘除運算順序

先算積的乘方、哥的乘方、再算同底數(shù)幕的乘除；在只有乘除的運算中，應(yīng)按從左到右

的順序進行，有括號的先算括號里面的.

七

例題解析

【例1】若,則().

A.x=lB.C.x>1D.x<l

【答案】B

【解析】〃°=1(QW0).

【總結(jié)】任何不等于零的數(shù)的零次幕都等于1.

【例2】計算：

(1)；(2)(g)=；(3)(〃”2+(")6=

【答案】(1)。6；(2)(1)2=^；(3)a6b6.

【解析】am^an=am-n.

【總結(jié)】考查同底數(shù)累的除法基本公式的運用.

【例3】計算⑹-a")Jas的結(jié)果是().

m+n}p+imp

A.qs-8B.dC.0MD.(T+P-8

【答案】C

【解析】基本公式：am-a"=am+n,("")"=*,am^an=am-n.

【總結(jié)】考查同底數(shù)募的乘除法基本公式的運用.

【例4】計算：

⑴㈠『一㈠)J(2)(-3'(一3廣=

2/20

⑶H+[T]=----------；⑷ip"2=

【答案】(1)V;(2)-27；(3)]；(4)a2.

【解析】略.

【總結(jié)】考查同底數(shù)幕的除法基本公式的運用.

【例5】計算：

(1)(-?)'8+(-a),+(一〃)4-

(2)-X2-(-X)3-X)2=

【答案】(1)-a5；(2)(3)—??；(4)a1

【解析】(4)原式=，+[42=〃9=〃7.

【總結(jié)】考查同底數(shù)幕的乘除法基本公式的運用.

【例6】計算:

(1)(4-b)6+伍_。)3.

(2)_2ab+b1.(々-域=；

(3)(x+y)2〃'+(x+y)*.(x+y『+=(x+y『.

【答案】(1)0一")3；(2)(Q-人)”；(3)(犬+2.

【解析】(2)原式-6)['+(a-b)3=(a-b)u；

(3)(x+y--2i-2=(x+y)*2.

【總結(jié)】考查同底數(shù)幕的乘除法基本公式的運用.

【例7】計算：

(1)512^253X1252；(2)(-27)3x(-9)2H-(-3)2.

【答案】⑴512；(2)-311.

【解析】(1)原式=512+56x56=5、(2)M^=-39x34^32=-3n.

【總結(jié)】考查同底數(shù)幕的乘除法基本公式在數(shù)字巧算中的運用.

【例8】(1)已知尤"=3,/=5,貝

(2)3'"=6,9"=2,則32'?4"+1=.

77

【答案】(1)—；(2)27.

25

【解析】(1)原式=(無"丫+(?)2=33+52=||；

(2)原式=(3"[2+0")"x3=6?+4*3=27.

【總結(jié)】考查同底數(shù)幕的乘除法基本公式的運用以及整體代入思想的運用.

【例9】已知ZxSenSxZ"7,求機的值.

【答案】加=1.

【解析】由5"i=2"T,可得：片1.

【總結(jié)】考查基本公式的應(yīng)用.

【例10］若(2尤-1)°無意義,求代數(shù)式(4d—1戶5的值.

4/20

【答案】0.

【解析】因為（2x-l）°無意義，所以x=E，原式=0如5=0.

【總結(jié)】考查基本公式的應(yīng)用的條件.

【例11】已知3"'=5,=9,求（一?。?/OB的值.

81In）

【答案】L

【解析】T-^=T^n=^-,因為3"'=5,所以34'=81，所以"=1,所以原式=〃=1

ol

【總結(jié)】考查同底數(shù)累的乘除法基本公式的靈活運用.

【例12】如果整數(shù)x、y、z滿足求要^的值.

【答案】-4.

I解析】圖閣闈仔二圖層》展親善

=3『+3z-.2"-3Az.5一=16=2,，所以x=i,y=2,z=l,所以生tl=_4.

【總結(jié)】考查同底數(shù)幕的乘除法基本公式的靈活運用，注意計算的技巧.

【例13］已知（X-3）z=l,求整數(shù)尤.

【答案］x=4或x=—2或x=2.

【解析】1的任何次方都等于1,任何一個數(shù)的0次方都等于1,-1的偶數(shù)次幕等于1,所

以尤=4或x=—2或x=2.

【總結(jié)】本題一方面考查對零次幕的理解，另一方面考查分類討論思想的運用，綜合性較強,

注意不要漏解.

七

模塊二：單項式除以單項式

?知識精講

1、單項式除以單項式法則

兩個單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的

字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

2、單項式除以單項式的步驟

（1）把系數(shù)相除，所得的結(jié)果作為商的因式；

（2）把同底數(shù)的幕分別相除，所得的結(jié)果作為商的一個因式；

（3）只在被除式里含有的字母，連同其指數(shù)作為商的一個因式.

3、單項式混合運算法則

通常情況下，應(yīng)先乘方，在乘除，最后做加減運算，如有括號，先算括號內(nèi)的運算.

例題解析

mn32

【例14】xy^xy=x,貝!J().

A.m=6,n=lB.m=5?n=l

C.m=5Jn=0D.m=6,n=Q

【答案】B

【解析】xmyn^x3y=xm-3yn-l,所以僅=5,n=l.

【總結(jié)】考查單項式除以單項式法則的簡單運用.

【例15】計算:

6/20

(1)12la2bc3+llabc=；(2)64m2n2+=16mn；

(3)(-5*y+(_2叫3=.

(4)(6X108)^(-1.5X103)=(用科學(xué)記數(shù)法表示)；

(5)若+小2y4=-2%2>",則根=,n=.

75

【答案】(1)11。。？；(2)(3)—b5；(4)-4xl05；(5)m=-18,n=2.

8

【解析】(5)(6x2y3)24-mx2y4=—x2y2=-2x2yn,所以m=一18,n=2.

''m

【總結(jié)】考查單項式除以單項式法則的簡單運用.

【例16】計算:

(1)(一孫之了+(一%2〉)；(2)180時十(一；

(3)(—2孫2)2.3%2y+(―X3y4)；(4)28(x+(x-2y)5H-|^-7(x+y)3(x-2y)4^.

【答案】(1)孫5；(2)_卜%5;

(3)-12xy；(4)-4x2+4xy+8y2.

【解析】(4)中可以將x+y與x-2y看作一個整體.

【總結(jié)】考查單項式除以單項式法則的簡單運用.

【例17］若—2|+1(l+C)2=0,求卜%2)+序2,］.卜叫2的值.

【答案】

8

【解析】由題意，得：a=――,b=2,c=—l.

2

(-。町

1317

將"=—，b=2,c=_］代入，得：原式=---x(—)x(—I)6x22=—.

21628

【總結(jié)】考查平方及絕對值的非負性及單項式間的乘除計算，注意法則的準確運用.

七」

【例18】先化簡，再求值：（一2%、4）+（一%2,2）.（_X）一（％一2,）（2p+%）+%（x-xy2）,

其中％=-1,y=-2.

【答案】4.

【解析】原式=一2一式一尤2+4、+X2一尤2,2=_3白己+今2=一12+16=4.

【總結(jié)】考查單項式乘除法的化簡及計算.

【例19】有一道題“先化簡，再求值：［（尤+1）2-。-1）2］+無，其中*=2007.”小強做題時

把“x=2007”抄成了“x=2070”，但計算結(jié)果也是正確的，請解釋這是怎么回事？

【答案】略.

【解析】原式=（d+2x+l-x2+2x-l）+x=4,原式得結(jié)果與x的值無關(guān).

【總結(jié)】當單項式的乘除運算結(jié)果是一個常數(shù)時，說明運算結(jié)果與所含字母的值無關(guān).

【例20］已知（3x2y"12+（2/村=（3/力2y+Qv,Ty）,求?”+〃的值.

【答案】3.

【解析】左邊=2/3"2m一3,右邊?，可得心=1,"=2,所以利+"=3.

88

【總結(jié)】考查單項式乘除法的化簡及計算，注意法則的準確運用.

【例21】化簡：（/一0+1/.（。一/-1廣+（“一/一1廣（機是正整數(shù)）.

【答案】當〃?為奇數(shù)時，原式=-1；當m為偶數(shù)時，原式=1.

-10為奇數(shù)）

【解析】原式==(-lf=

1（機為偶數(shù)）

【總結(jié)】考查單項式乘除法的化簡及計算，注意法則的準確運用以及分類討論思想的運用.

8/20

模塊三：多項式除以單項式

知識精講

1,多項式除以單項式的法則

多項式除以單項式，先把多項式的每一項分別除以單項式，再把所得商相加，用式子表

不就是：｛am+bm+c）^-n=am^-n+bm^n+c-^-n.

2,注意事項

（1）多項式除以單項式的結(jié)果仍是多項式，項數(shù)與原多項式相同.

（2）商的次數(shù)不高于多項式的次數(shù)，商的次數(shù)=多項式的次數(shù)-單項式的次數(shù).

（3）被除式=商式x除式+余式.

例題解析

【例22】如果（4a2b-3a/）+M=Ya+3b,那么單項式M等于（）.

A.abB.-abC.aD.-b

【答案】B

【解析1Af=（4a2/?-3仍2）+（To+36）=-ab.

【總結(jié)】考查多項式除以單項式法則的運用.

【例23】計算：

(1)(3丁-2廠+5x)+x=；

(2)(366/_9?3/,2+4a2b2)^[-6a2b)=.

R?

【答案】(1)3X2-2X+5；(2)-6a2b2+-ab--b.

23

【解析】略.

【總結(jié)】考查多項式除以單項式法則的運用.

tl

【例24】計算：

(1)(12/w+%"+3_2Qam+llrm+4+4am+1bm+2/4a"'bm+1=；

(2)若(一5""76"+4)+(3屋+265)=_1/62,貝|］根+〃=.

【答案】(1)3am+1b2-5abm+3+ab-,(2)3.

【解析】(2)左邊=-9。"1fbl所以加=9,〃=3,所以加+“=3.

3

【總結(jié)】考查多項式除以單項式法則的運用.

【例25］若2a-b=0,則代數(shù)式［(。2+62)_5-6)2+2伙4-力卜46的值為.

【答案】0.

2

【解析】原式=(6+從—/+2ab—b+2"一2Z?2)+46=(2a—6)+2=0.

【總結(jié)】考查多項式除以單項式法則的運用.

【例26］下雨時，常常是“先見閃電，后聞雷鳴”，這是由于光速比聲速快的原因，已知光

在空氣中傳播的速度約為3.0xl0%/s,它是聲音在空氣中傳播速度的8.82xl()5倍,

則聲音在空氣中的傳播速度是.(用科學(xué)記數(shù)法表示，保留兩位小數(shù))

【答案】3.40xlO3mis.

【解析】3.0xlO8-(8.82xlO5)=3.40xl03m/5.

【總結(jié)】考查多項式除以單項式計算的簡單應(yīng)用.

【例27】已知除式g(x)=V-3x+l,商式。(x)=/+3x+l,余式R(無)=2》-4,求被除

式/(元).

【答案】/(X)=X4-7X2+2X-3.

【解析】〃尤)=g(x).Q(x)+R(x)=(x2+1)2-9/+2x-4

10/20

=x4+2x2+1-9尤?+2x-4=x4-7x2+2x-3.

【總結(jié)】考查被除式、除式、商、余式之間的關(guān)系及多項式除單項式的法則.

tl

【例28】計算：

(1)]jx6y2+-1%3y5-0.9x2y3^4-(-0.6xy)；

(2)[(尤+2“-y(4y+x)卜(-2x)；

(3)(20an-2F-14an-lbn+1+8a2"b)^(-2af)；

(4)+加].

(5)(3x“-7x3+5x2)+1-gx2)-(6x2-4x)-2x；

(6)[5a4(a2-4)+(-2a2)5-(-a)2]-(-2a27.

【答案】(1)-3/2x2y4+3孫2；(2)(3)-Wab'^+la2^-4aH+3；

422

(4)6/b一1；(5)-9x2+18.r-13；(6)-a2-8a4-5.

4

【解析】直接利用多項式除以單項式的法則進行計算.

【總結(jié)】考查多項式除以單項式法則的運用.

【例29】設(shè)梯形的面積為35M25帆,高線長為5帆冏，下底長為4根，求上底長（m>n）.

【答案】10m—10n.

2(35m2n-25mn2

【解析]」-------------—4m=10m—10n.

5mn

【總結(jié)】考查梯形的面積公式及多項式除以單項式的法則的運用.

12/20

【例30】化簡求值：(-2aV)(a-2x)-1aV+[-(分門，其中a=g,x=T.

【答案】5-.

2

-2/彳2+4aV—尤

【解析】原式=----------—=24一4辦+%,

—ax4

當a=g,無=7時，MJ^=2X(1)2-4X|X(-4)+|X(-4)=51.

【總結(jié)】考查多項式除以單項式的化簡及求值.

【例31】閱讀下列材料：

,.t(x+3)(x-2)=x2+x-6,

(x~+x-6)+(x-2)=x+3.

這說明*+尤一6能被(x-2)整除，同時也說明多項式/+》-6有一個因式(尤-2)；

另外，當x=2時，多項式f+x-6的值為零.

回答下列問題：

(1)根據(jù)上面的材料猜想：多項式的值為0、多項式有因式(彳-2)、多項式能被(尤-2)

整除，這之間存在著一種什么樣的聯(lián)系？

(2)探求規(guī)律：更一般地，如果一個關(guān)于字母x的多項式當天=左時，M的值為0,

那么M與代數(shù)式(尤-k)之間有何種關(guān)系？

(3)應(yīng)用：利用上面的結(jié)果求解：已知(x-2)能被*+日T4,求上的值.

【答案】略.

【解析】(1)多項式有因式％-2,或多項式能被％-2整除，則當x=2時，多項式的值為

0,則多項式有因式x-2,且多項式能被彳-2整除；

(2)〃■能被尤—左整除，M有因式尤―左；

(3)當尤=2時，d+履一14=0,解得：k=5.

【總結(jié)】考查多項式除單項式的應(yīng)用以及閱讀理解類題目的具體解法.

隨堂檢測

【習(xí)題1](1)(-3a3)2=

【答案】(1)9a4；(2)-9a3-3a2.

【解析】（1）9/；（2）-9a3-3a2.

【總結(jié)】本題主要考查單項式除以單項式法則的運用.

【習(xí)題2】若（4孫）?"7=12彳、3_，12/>2+4fy2,則多項式〃?=.

【答案】沖2-3尤2y+孫.

【解析】hxy2-3x1y+xy.

【總結(jié)】考查整式的乘除法運算間的關(guān)系.

【習(xí)題3】已知被除式是丁+3元2-2,商式是尤，余式是-2,則除式是

【答案】X2+3X.

【解析】（X3+3X2-2-（-2））-X=X2+3X.

【總結(jié)】考查被除式、除式、商、余式之間的關(guān)系及單項式的計算.

【習(xí)題4】若（Yy）"'+（x3y2y=x5y2,則加=,n=.

【答案】m=4,”=1.

【解析】，小、（尤3力,所以加=4,77=1.

【總結(jié)】考查單項式除以單項式的法則的運用.

【習(xí)題5】計算：（一.

【答案】-a5m-n.

［解析］原式=-4?"+屋=-產(chǎn)F.

【總結(jié)】考查單項式除以單項式的法則的運用.

14/20

【習(xí)題6】若4x-y=2,則163,+23y=.

【答案】64.

【解析1163x23y=212A3y=23（4、）=26=64.

【總結(jié)】本題一方面考查單項式除以單項式的法則的運用，另一方面考查整體代入思想的運

用.

【習(xí)題7】計算：

(1)(洲+(涸?加;(2)(-X2"-2).(-X)34-.X")；

23_5325

(3)3a%,(4ax)+6a%；(4)。//y十(_6//)23y2

Q1

【答案】(1)九5；(2)/；(3)-6a4；(4)-xsyb--x6y4.

49

【解析】(1)原式=/66+"2=475；

(2)原式=.一/"+1=."+3+”+1=f；

(3)原式=9ax2-(^4.?5%3/6a2%5=-36a6^+602%5=-6x4；

(4)原式==8"+36//一">4=26一"4.

【總結(jié)】考查單項式與單項式的乘除法運算，注意法則的準確運用.

【習(xí)題8】計算：

⑴gx2y6_2盯5+_|y4卜1.

(2)4(2。-1)仁+；］+(4*_/)+/4).

2

(3)2x"丹(-g-My2“+1++2“+1婷T+1/Ty2“-1:孫).

77Q3

【答案】(1)-x2y2--xy+-;(2)-12a2+3；(3)8x4ny4n-16x4ny4n-2-24x4n-2y4n-2.

1622

【解析】⑴原式=112y6一2葉5+小4卜1；/=1102一1'+_|；

(2)原式=(24-1)(2<2+1)+(-16/+4)=4/_1_16/+4=-12/+3；

(3)原式=8鐘/_16無"4y42-24/7y4”.2

【總結(jié)】本題主要考查同底數(shù)幕的乘除法、單項式、多項式的計算，注意法則的準確運用.

【習(xí)題9】已知2小=3,4"=8,求:23m2"+3的值.

【答案】27.

【解析】（2"'丫+2^x23=33+8x8=27.

【總結(jié)】本題主要考查同底數(shù)幕的乘除法運算，以及整體代入思想的運用.

【習(xí)題10］先化簡，再求值：3（加yf加+白，其中a=-l,b=2.

【答案】-16.

31

【解析】原式=3/64+一+一b=8ab=-i6.

42

【總結(jié)】考查單項式除法的運用及其計算求值.

【習(xí)題11】將一多項式［（17九之一3九+4）-（4+區(qū)+明，除以（5x+6）后，得商式為（24+1）,

余式為0,^a-b-c=.

【答案】29.

【解析】［07/一3%+4）—（依?+區(qū)+。）］=（17—a）/一（3+8）％+4—c

（5%+6）-（2x+1）=10x2+17x+6,所以a=7,6=-20,c=-2,所以原式=29.

【總結(jié)】考查被除式、除式、商、余式之間的關(guān)系及單項式、多項式的計算.

【習(xí)題12］若/（%）=6%—1一+m2x4-3x3能被％+1整除，求加的值.

【答案】m=±3.

【解析】因為/（%）=6%-1—5%2+加2犬_3%3能被工+1整除，所以無=—1是方程

16/20

6x—1—5x?+U—3d=0的解，所以機=±3.

【總結(jié)】考查多項式與單項式的計算以及對整除的概念的理解及運用.

【習(xí)題13】觀察下列各式：

卜2_1）+（尤―1）=彳+］

（丁-1）+（尤-1）=x?+x+1

（尤4_1）+（X_1）=X5+彳2+尤+］

（1）寫出+的結(jié)果是:

（2）利用上題得到的規(guī)律，試計算：1+2+22+…+232.

【答案】（1）x"T+x"-2+…+1；（2）233-1.

【解析】（1）x"-1+xw-2+■??+1；

（2）原式=（233-1）*2—1）=233—1.

【總結(jié)】考查多項式與單項式的計算以及對規(guī)律的歸納總結(jié).

課后作業(yè)

【作業(yè)1］若（同下列結(jié)論正確的是（）.

A.awOB.a^lC.aw-lD.4W±1

【答案】D

［解析］〃°=1（QW0）.

【總結(jié)】考查對零次幕的理解及運用.

【作業(yè)2】計算f+卜3+（_同2］的結(jié)果是

【答案】X5.

【解析】原式=彳6+［爐+幺］=%6+x=%5.

【總結(jié)】考查單項式除以單項式的法則的運用.

［作業(yè)3］若〃為正整數(shù)，且/"=3,則(3/丫十(27"")的值為.

【答案】--

3

【解析】原式=9(/"『+27(/")2=；.

【總結(jié)】考查單項式除以單項式的法則的運用以及整體思想的運用.

【作業(yè)4】計算:

［Z\2012

(1)27n+1x9^1-35H；(2)(22)7x52013.

【答案】⑴3；(2)10.

【解析】(1)原式=330+3+27-5“=3；(2)原式

【總結(jié)】考查同底數(shù)幕的乘除法及單項式的計算.

【作業(yè)5】計算：

(1)(4號)2的2;

(2)9amnb2m-nc>n-2'n+3-.

(3)(-2a)8+[-(2a)2]-(2a)9+(-2a)3.

(4)(12萬3—18*2+6x)+(-6x)；

5532

(5)F(-3a丫十(_/+2a(3a-4a)K(-3a丫；

【答案】(1)2f；(2)現(xiàn)姿