2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)11.3.2 多邊形的內(nèi)角和教學(xué)設(shè)計(jì)

11.3.2多邊形的內(nèi)角和教學(xué)目標(biāo)課題11.3.2多邊形的內(nèi)角和授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.探索并掌握多邊形內(nèi)角和公式與外角和，嘗試從不同角度尋求解決問題的辦法，體會(huì)數(shù)學(xué)推理及從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.2.能運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式與外角和解決有關(guān)問題.教學(xué)重點(diǎn)理解三角形的相關(guān)概念和三角形的三邊關(guān)系探索并掌握多邊形內(nèi)角和公式與外角和．教學(xué)難點(diǎn)多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程，靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式與外角和解決有關(guān)問題.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：引發(fā)猜想，過渡新課設(shè)計(jì)意圖引發(fā)學(xué)生猜想，為新課中的探索目標(biāo)做準(zhǔn)備.【問題引入】思考我們知道，三角形的內(nèi)角和等于180°，正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和都等于360°．那么，任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否也等于360°呢？你能利用三角形內(nèi)角和定理證明四邊形的內(nèi)角和等于360°嗎？同學(xué)們，你一定能猜想到這個(gè)結(jié)論是正確的，為驗(yàn)證你的猜想，我們這節(jié)課將進(jìn)一步探討多邊形相關(guān)知識(shí)——多邊形的內(nèi)角和與外角和.【教學(xué)建議】讓學(xué)生由三角形內(nèi)角和等于定值180°，猜想四邊形內(nèi)角和為定值360°，從而為進(jìn)一步引入多邊形內(nèi)角和公式進(jìn)行鋪墊.活動(dòng)二：層層設(shè)問，探究新知設(shè)計(jì)意圖通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生探索，經(jīng)歷多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)與形之間的聯(lián)系，感受由特殊到一般的數(shù)學(xué)推理過程和思考方法，發(fā)展合情的推理能力．并應(yīng)用公式解決相關(guān)問題，提升學(xué)生對(duì)于新知的掌握程度.探究點(diǎn)1多邊形的內(nèi)角和問題1請(qǐng)思考活動(dòng)一中的問題——如何利用三角形內(nèi)角和定理證明四邊形的內(nèi)角和等于360°.要用三角形內(nèi)角和定理證明四邊形的內(nèi)角和等于360°，只要將四邊形分成幾個(gè)三角形即可.如圖，在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC，則四邊形ABCD被分為△ABC和△ACD兩個(gè)三角形.由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D).∵∠1＋∠B＋∠3＝180°，∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝180°＋180°＝360°.即四邊形的內(nèi)角和等于360°.問題2類比上面的過程，你能推導(dǎo)出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎？觀察下圖，填空：從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作2條對(duì)角線，它們將五邊形分為3個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×3.從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作3條對(duì)角線，它們將六邊形分為4個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×4.【教學(xué)建議】問題1的設(shè)置是為了讓學(xué)生聯(lián)想到對(duì)角線的作用．四邊形的一條對(duì)角線把它分成兩個(gè)三角形，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可得四邊形內(nèi)角和為360°.【教學(xué)建議】問題2的設(shè)置是通過對(duì)五邊形、六邊形內(nèi)角和的探索，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的方法，并在問題3中進(jìn)行歸納總結(jié)，找尋規(guī)律進(jìn)一步推理演繹，從而得到多邊形內(nèi)角和公式.教學(xué)步驟師生活動(dòng)問題3通過以上過程，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？歸納總結(jié)，填表：一般地，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作(n－3)條對(duì)角線，它們將n邊形分為(n－2)個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×(n－2).這樣就得出了多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于(n－2)×180°.注意：由于正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以正n邊形的內(nèi)角為eq\f(（n－2）×180°,n)問題4把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形，還有其他分法嗎？由新的分法，能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎？有其他分法，這里介紹兩種，可由此得到多邊形內(nèi)角和公式.例1(教材P22例1)如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？解：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝180°.∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.這就是說，如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ).【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P24練習(xí)第1～2題．【教學(xué)建議】問題4的設(shè)置是讓學(xué)生感受得到結(jié)論的方法并不是唯一的，不同的將多邊形分割成三角形的方法印證的結(jié)論是相同的，說明推理的正確性，有助于發(fā)散學(xué)生思維，拓展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).【教學(xué)建議】例1是多邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用，在例1中探索另一組對(duì)角的關(guān)系時(shí)，要用到四邊形的內(nèi)角和等于360°，通過例1和后面的練習(xí)使學(xué)生熟悉和掌握多邊形內(nèi)角和公式．注意在學(xué)過公式后，和學(xué)生強(qiáng)調(diào)：(1)由公式知多邊形的內(nèi)角和一定是180°的整數(shù)倍；(2)根據(jù)探究過程可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：多邊形邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°，做題時(shí)可由此快速判斷.設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生探索多邊形的外角和，作圖演示多邊形外角和等于360°的成因，加深學(xué)探究點(diǎn)2多邊形的外角和例2(教材P22例2)如圖，在六邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少？分析：考慮以下問題：(1)任何一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？教學(xué)步驟師生活動(dòng)生的理解，并通過練習(xí)提升學(xué)生對(duì)新知的掌握程度.構(gòu)，形成對(duì)三角形不同類別特征的理性思考和初步感知．(2)六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少？(3)上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？聯(lián)系這些問題，考慮外角和的求法．解：六邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°.因此六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和等于6×180°.這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和．所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6×180°－(6－2)×180°＝2×180°＝360°.思考如果將例2中的六邊形換為n邊形(n是不小于3的任意整數(shù))，可以得到同樣結(jié)果嗎？與例2中六邊形外角和的求法類似，n邊形的外角和是n個(gè)平角減去n邊形的內(nèi)角和，即n×180°－(n－2)×180°＝360°.所以得到的結(jié)果相同.于是得到結(jié)論：多邊形的外角和等于360°.注意：由于正多邊形的每個(gè)外角都相等，所以正n邊形的外角為eq\f(360°,n).你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360°.如圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向．在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角和．由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形的外角和等于360°.拓展：我們也可以用以下動(dòng)態(tài)演示的方法直觀感受為什么多邊形的外角和等于360°.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P24練習(xí)第3題.【教學(xué)建議】例2是求六邊形的外角和．由于多邊形的一個(gè)外角可以用相鄰的內(nèi)角表示(它們是互補(bǔ)關(guān)系)，這樣外角的問題就轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的問題．從六邊形過渡到n邊形，可類比之前的方法探究外角和，自然銜接到探究的核心目標(biāo)，這是從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)．后面的教學(xué)能通過教具達(dá)到動(dòng)態(tài)演示效果為宜，有三個(gè)目的：一是培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀感知，二是加深學(xué)生對(duì)多邊形外角和性質(zhì)的理解；三是從一個(gè)全新的角度，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來學(xué)習(xí)幾何知識(shí)．在學(xué)生學(xué)過多邊形的外角和后，注意和學(xué)生強(qiáng)調(diào)：多邊形的外角和與內(nèi)角和不同，它恒等于360°，與多邊形的邊數(shù)無關(guān).活動(dòng)三：綜合訓(xùn)練，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖綜合多邊形的內(nèi)角和與外角和進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生在運(yùn)用中熟練掌握新知.例一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求該正多邊形的邊數(shù)及一個(gè)外角的度數(shù).解：設(shè)該正多邊形的邊數(shù)為n，則(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.360°÷8＝45°，即該正多邊形的邊數(shù)為8，一個(gè)外角的度數(shù)為45°.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和比外角和的3倍多180°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和度數(shù).【教學(xué)建議】學(xué)生獨(dú)自完成，教師集中批改、訂正．這里將多邊形的內(nèi)角和與外角和綜合考查，解題的關(guān)鍵在于明確多邊形的外角和是教學(xué)步驟師生活動(dòng)解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得(n－2)×180°＝3×360°＋180°，解得n＝9.內(nèi)角和度數(shù)：180°×(9－2)＝1260°.答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9，內(nèi)角和度數(shù)為1260°.360°，從而根據(jù)內(nèi)角和與外角和的關(guān)系列出方程，進(jìn)而求解．需要注意出現(xiàn)正多邊形時(shí)，要首先想到它每個(gè)內(nèi)、外角都是各自相等的.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.你能推導(dǎo)出多邊形內(nèi)角和公式嗎？你能熟練運(yùn)用并解決相關(guān)問題嗎？2.你能推導(dǎo)出多邊形外角和性質(zhì)嗎？你能熟練運(yùn)用并解決相關(guān)問題嗎？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P24～25習(xí)題11.3第2，3，4，5，6，7，8，9，10題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)11.3.2多邊形的內(nèi)角和1.多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于(n－2)×180°. 2.多邊形外角和性質(zhì)：多邊形的外角和等于360°. 教學(xué)反思本節(jié)課內(nèi)容的展開運(yùn)用了類比、推廣的方法，以及把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題、化未知為已知的思想方法等，教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體內(nèi)容讓學(xué)生加以體會(huì)．可采用開放式的探究，把學(xué)生推到主動(dòng)位置，盡可能做到讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性.解題大招一與多邊形的內(nèi)角有關(guān)的問題多邊形的內(nèi)角和通常有以下幾種應(yīng)用類型：(1)已知多邊形邊數(shù)求內(nèi)角和，或已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)；(2)求正多邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，或已知正多邊形的各個(gè)內(nèi)角度數(shù)求邊數(shù)；(3)多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用．例1已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個(gè)多邊形是（C）A．五邊形B．六邊形C．七邊形D．八邊形例2一個(gè)多邊形的內(nèi)角和不可能是（D）A．1800°B．540°C．720°D．810°分析：n邊形的內(nèi)角和是(n－2)×180°，即多邊形的內(nèi)角和一定是180°的正整數(shù)倍，810°不能被180°整除，一個(gè)多邊形的內(nèi)角和不可能是810°.例3如圖，在正六邊形ABCDEF內(nèi)，以AB為邊作正五邊形ABGHI，求∠FAI的度數(shù)．分析：利用多邊形內(nèi)角和及正多邊形的性質(zhì)分別求得∠BAF，∠BAI的度數(shù)，然后利用角的和差計(jì)算即可．解：在正五邊形ABGHI中，∠BAI＝eq\f(（5－2）×180°,5)＝108°，在正六邊形ABCDEF中，∠BAF＝eq\f(（6－2）×180°,6)＝120°，則∠FAI＝∠BAF－∠BAI＝120°－108°＝12°.解題大招二與多邊形的外角有關(guān)的問題多邊形的外角和通常有以下幾種應(yīng)用類型：(1)直接求多邊形外角和；(2)求正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)，或已知正多邊形的各個(gè)外角度數(shù)求邊數(shù)；(3)多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用．其中需要注意行走問題實(shí)際上屬于上述類型(2)，它是多邊形的外角和等于360°的現(xiàn)實(shí)意義．如果每次走的路程都相等，每次轉(zhuǎn)的方向都相同，當(dāng)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，所走路徑將會(huì)構(gòu)成一個(gè)正多邊形，而每次的轉(zhuǎn)向角就是正多邊形的外角，據(jù)此即可求解．例4已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于60°，則這個(gè)多邊形是BA．正五邊形B．正六邊形C．正七邊形D．正八邊形例5如圖①是我國(guó)古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中．如圖②是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角∠1＝AA．45°B．60°C．110°D．135°例6如圖，小明從O點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)30m后向右轉(zhuǎn)20°，再前進(jìn)30m后又向右轉(zhuǎn)20°……這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)一共走了BA．360mB．540mC．600mD．720m分析：解題大招三不規(guī)則圖形中的多角度求和問題將不規(guī)則圖形中的相關(guān)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)多邊形的內(nèi)角或外角，然后利用多邊形的內(nèi)角和或外角和求解．例7【整體思想】如圖，∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F的度數(shù)為360°.分析：培優(yōu)點(diǎn)一多邊形的“缺角”或“多角”問題解決多邊形的“缺角”或“多角”問題時(shí)，需把握以下幾個(gè)隱含條件：(1)多邊形的內(nèi)角和一定是180°的整數(shù)倍；(2)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)大于0°且小于180°；(3)多邊形的邊數(shù)至少為3，且為整數(shù)．例1小明計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1470°，小紅認(rèn)為小明的計(jì)算是錯(cuò)的，于是她查看了小明的計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)他多加了一個(gè)銳角．(1)為什么小紅認(rèn)為小明的計(jì)算是錯(cuò)的？請(qǐng)說明理由；(2)如果這個(gè)多邊形是正多邊形，請(qǐng)求出該正多邊形一個(gè)內(nèi)角比一個(gè)外角大多少度．分析：(1)多邊形的內(nèi)角和是不是180°的整數(shù)倍是→計(jì)算無誤不是→計(jì)算有誤(2)多加的銳角大于0°且小于90°→1470°－90°<多邊形的內(nèi)角和<1470°→求出邊數(shù)n的取值范圍→在解集中取特殊解，確定n值→計(jì)算正多邊形每個(gè)內(nèi)、外角度數(shù)→求差解：(1)設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，則有(n－2)×180°＝1470°，解得n＝eq\f(183,18).因?yàn)閚是整數(shù)，所以多邊形的內(nèi)角和不可能是1470°，所以小紅認(rèn)為小明的計(jì)算是錯(cuò)的．(2)由題意，得1470°－90°<(n－2)×180°<1470°，解得eq\f(174,18)<n<eq\f(183,18).又n是整數(shù)，所以n＝10.因?yàn)檎呅蔚拿總€(gè)內(nèi)角為eq\f(（10－2）×180°,10)＝144°，外角為eq\f(360°,10)＝36°，所以該正多邊形一個(gè)內(nèi)角比一個(gè)外角大144°－36°＝108°.培優(yōu)點(diǎn)二四邊形內(nèi)角與外角關(guān)系的綜合探究例2【感知】如圖①，在四邊形AEFC中，EB，F(xiàn)D分別是邊AE，CF的延長(zhǎng)線，我們把∠BEF，∠DFE稱為四邊形AEFC的外角，若∠A＋∠C＝220°，則∠BEF＋∠DFE＝220°；【探究】如圖②，在四邊形AECF中，EB，F(xiàn)D分別是邊AE，AF的延長(zhǎng)線，我們把∠BEC，∠DFC稱為四邊形AECF的外角，試探究∠A，∠C與∠BEC，∠DFC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【應(yīng)用】如圖③，F(xiàn)M，EM分別是四邊形AEFC的外角∠DFE，∠BEF的平分線，若∠A＋∠C＝200°，則∠M的度數(shù)為80°.分