2024～2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊第3課時 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘教學(xué)設(shè)計(jì)

第3課時多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘教學(xué)目標(biāo)課題14.1.4第3課時多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則，能夠按多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算步驟進(jìn)行簡單的乘法運(yùn)算，強(qiáng)化運(yùn)算能力.2.經(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的推理過程，體會其運(yùn)算的算理，進(jìn)一步滲透轉(zhuǎn)化思想.3.運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則解決實(shí)際問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識.教學(xué)重點(diǎn)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則的理解及應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)多項(xiàng)式乘法法則的綜合運(yùn)用.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：復(fù)習(xí)導(dǎo)入，引入新課設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課是以單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式為基礎(chǔ)展開的，復(fù)習(xí)此知識，為學(xué)習(xí)新知做好準(zhǔn)備.【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】練習(xí)：計(jì)算：(1)eq\f(3,2)x(eq\f(3,2)x3－3x＋1)；(2)6mn(2m＋3n－1).問題請大家一起回憶一下上節(jié)課學(xué)習(xí)的單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則是什么.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.在計(jì)算過程中，我們運(yùn)用了分配律，那么，我們能否運(yùn)用分配律來計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式呢？就讓我們一起進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)吧！【教學(xué)建議】請學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，然后和自己的同桌交流，核對答案，教師集體訂正．對于提問，可請同學(xué)發(fā)言回答，教師再將規(guī)范答案展示.活動二：實(shí)踐探究，獲取新知設(shè)計(jì)意圖從實(shí)際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識．恰當(dāng)?shù)貪B透數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的代數(shù)運(yùn)算直觀化，使學(xué)生易于理解、容易接受.探究點(diǎn)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘問題1如圖，為了擴(kuò)大街心花園的綠地面積，把一塊原長am、寬pm的長方形綠地，加長了bm，加寬了qm．你能用幾種方法求出擴(kuò)大后的綠地面積？方法一：擴(kuò)大后仍為長方形，分別求出擴(kuò)大后的綠地的長和寬，長為：(a＋b)m，寬為：(p＋q)m，面積(單位：m2)＝長×寬＝(a＋b)(p＋q)．①方法二：把擴(kuò)大后的綠地面積看成四個小長方形面積的和，故分別求小長方形的面積，再求面積和，即面積(單位：m2)＝ap＋aq＋bp＋bq.②問題2這兩種不同的表示方法之間有什么關(guān)系？由于①②是求的同一個量，因此(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.上面的等式提供了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算(a＋b)(p＋q)，可以先把其中的一個多項(xiàng)式，如p＋q，看成一個整體，這樣就把多項(xiàng)式相乘的問題轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的問題，得【教學(xué)建議】對于把p＋q看成一個單項(xiàng)式，因?yàn)閷W(xué)生過去接觸不多，可能不易理解．實(shí)際上，這是一個很重要的思想和方法．學(xué)習(xí)一種新的知識、方法，通常的做法是把它歸結(jié)為已知的數(shù)學(xué)知識、方法，從而使學(xué)習(xí)能夠進(jìn)行．在此，如果學(xué)生真正理解了把p＋q看成一個單項(xiàng)式，那么，兩次運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，就得出多項(xiàng)式相乘的法則了.教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖通過例題可使學(xué)生學(xué)會解題格式與思考過程．讓學(xué)生參與到教學(xué)活動之中，領(lǐng)會多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算方法以及需注意的問題.再利用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，得a(p＋q)＋b(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.總體上看，(a＋b)(p＋q)的結(jié)果可以看作a＋b的每一項(xiàng)乘p＋q的每一項(xiàng)，再把所得的積相加而得到的，即法則引入一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．例(教材P101例6)計(jì)算：(1)(3x＋1)(x＋2)；(2)(x－8y)(x－y)；(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．解：(1)(3x＋1)(x＋2)＝(3x)·x＋(3x)×2＋1·x＋1×2＝3x2＋6x＋x＋2＝3x2＋7x＋2；(2)(x－8y)(x－y)＝x2－xy－8xy＋8y2＝x2－9xy＋8y2；(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.教師歸納對于多項(xiàng)式相乘要注意以下幾點(diǎn)：(1)要防止兩個多項(xiàng)式相乘直接寫出結(jié)果時“漏項(xiàng)”．檢查的辦法是：兩個多項(xiàng)式相乘，在沒有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該是這兩個多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積．如計(jì)算(a＋b)(p＋q)，積的項(xiàng)數(shù)是2×2＝4，即ap，aq，bp，bq四項(xiàng)．當(dāng)然，如果有同類項(xiàng)，則應(yīng)合并同類項(xiàng)，得出最簡結(jié)果．(2)多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和，每一項(xiàng)都包括前面的符號，在計(jì)算時一定要注意確定積中各項(xiàng)的符號．【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P102練習(xí)第1，2題．【教學(xué)建議】對于法則中的前后兩個“每一項(xiàng)”，要讓學(xué)生理解并掌握．不難將該法則推廣到三個及以上多項(xiàng)式相乘的情況．【教學(xué)建議】講解例題時可引導(dǎo)學(xué)生觀察前兩個題目都是項(xiàng)數(shù)為2的兩個多項(xiàng)式相乘，后一個是一個項(xiàng)數(shù)為2、一個項(xiàng)數(shù)為3的兩個多項(xiàng)式相乘，可以按照法則的“語言敘述”，按部就班地來做這個例題．【教學(xué)建議】對應(yīng)訓(xùn)練的第1(3)題和第1(4)題是一種特殊形式的整式乘法，它們就是后面要學(xué)習(xí)的兩個乘法公式．活動三：補(bǔ)充新知，鞏固提高設(shè)計(jì)意圖整式乘法的混合運(yùn)算是?？键c(diǎn)，補(bǔ)充例題強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力．例計(jì)算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－(6a2－24a－5a＋20)＝6a2－7a－3－6a2＋29a－20＝22a－23.【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P105習(xí)題14.1第8(1)題．【教學(xué)建議】教學(xué)中需提醒學(xué)生在計(jì)算時要注意混合運(yùn)算的順序和法則以及運(yùn)算結(jié)果的符號．活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是什么？多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要轉(zhuǎn)化成什么？運(yùn)用了什么運(yùn)算律？多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要注意些什么？教學(xué)步驟師生活動活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P104～106習(xí)題14.1第5，8(2)，11題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)第3課時多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．教學(xué)反思本節(jié)課知識的綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生熟練掌握前面所學(xué)的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘及單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的知識，同時為了讓學(xué)生理解并掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，教學(xué)中一定要精講精練，讓學(xué)生從練習(xí)中再次體會法則的內(nèi)容，為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).解題大招一多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的化簡求值例1先化簡，再求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中x＝－1，y＝2.解：原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2)＝x2＋xy－6y2－2x2＋9xy－4y2＝－x2＋10xy－10y2.當(dāng)x＝－1，y＝2時，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－61.解題大招二多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的實(shí)際應(yīng)用例2千年古鎮(zhèn)楊家灘的某小區(qū)的內(nèi)壩是一塊長為(3a＋b)m，寬為(2a＋b)m的長方形地塊，物業(yè)部門計(jì)劃將內(nèi)壩進(jìn)行綠化(如圖陰影部分)，中間部分將修建一仿古小景點(diǎn)(如圖中間的正方形)，則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)a＝3，b＝2時的綠化面積．分析：根據(jù)長方形的面積公式，可得內(nèi)壩、景點(diǎn)的面積，根據(jù)面積的差，可得答案．解：由題意，得綠化的面積是(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝(5a2＋3ab)m2.當(dāng)a＝3，b＝2時，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63.答：綠化的面積是(5a2＋3ab)m2.當(dāng)a＝3，b＝2時的綠化面積為63m2.解題大招三多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何解釋解此類題從“整體”和“部分”兩個方面分別用式子表示大長方形的面積即可．例3(2023·忻州忻府區(qū)期末)觀察圖形，用兩種不同的方法計(jì)算大長方形的面積，我們可以驗(yàn)證等式（A）A．(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2B．(a＋b)(2a＋b)＝2a2＋3ab＋b2C．(a＋b)(a＋2b)＝2a2＋3ab＋b2D．(a＋b)(2a＋b)＝a2＋3ab＋2b2解析：把整體看成是長為a＋2b，寬為a＋b的長方形，則面積為(a＋2b)(a＋b)；把整體看成是由6個部分組成的面積和，則面積為a2＋3ab＋2b2.因此有(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2，故選A.解題大招四多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法中的“不含”問題多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，注意當(dāng)要求多項(xiàng)式中不含有哪一項(xiàng)時，令這一項(xiàng)的系數(shù)為0即可求解．例4(1)要使多項(xiàng)式(x－m)(x－n)的展開式中不含x的一次項(xiàng)，則（A）A．m＋n＝0B．mn＝1C．m＝nD．mn＝－1解析：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行展開，(x－m)(x－n)＝x2－nx－mx＋mn＝x2－(n＋m)x＋mn，再根據(jù)(x－m)(x－n)的展開式中不含x的一次項(xiàng)，可得m＋n＝0.故選A.(2)(2023·烏魯木齊期末)若x＋m與x2－x＋2的乘積中不含x的二次項(xiàng)，則實(shí)數(shù)m的值為1.解析：(x＋m)(x2－x＋2)＝x3－x2＋2x＋mx2－mx＋2m＝x3＋(m－1)x2＋(2－m)x＋2m.根據(jù)題意，得m－1＝0，解得m＝1.培優(yōu)點(diǎn)一多項(xiàng)式乘法的“無關(guān)”型問題例1(2023·洛陽期中)[知識回顧]有這樣一類題：代數(shù)式ax－y＋6＋3x－5y－1的值與x的取值無關(guān)，求a的值．通常的解題方法：把x，y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，即原式＝(a＋3)x－6y＋5.因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，所以a＋3＝0，即a＝－3.[理解應(yīng)用](1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式(2m－3)x＋2m2－3m的值與x的取值無關(guān)，求m的值；(2)已知3[(2x＋1)(x－1)－x(1－3y)]＋6(－x2＋xy－1)的值與x的取值無關(guān)，求y的值；[能力提升](3)如圖①，小長方形紙片的長為a，寬為b，有7張如圖①所示的紙片按照圖②所示的方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中有兩個部分未被覆蓋(圖中陰影部分)，設(shè)右上角陰影部分的面積為S1，左下角陰影部分的面積為S2，當(dāng)AB的長變化時，S1－S2的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．分析：(1)令2m－3＝0，解出m的值即可；(2)將原式中的y看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，令x的系數(shù)為0，求出y的值即可；(3)設(shè)AB＝x，根據(jù)圖形分別將S1和S2用x，a和b表示出來，求出S1－S2的表達(dá)式，并合并同類項(xiàng)，令x的系數(shù)為0，求出a和b的等量關(guān)系即可．解：(1)因?yàn)殛P(guān)于x的多項(xiàng)式(2m－3)x＋2m2－3m的值與x的取值無關(guān)，所以2m－3＝0，所以m＝eq\f(3,2).(2)3[(2x＋1)(x－1)－x(1－3y)]＋6(－x2＋xy－1)＝3(2x2－x－1－x＋3xy)－6x2＋6xy－6＝15xy－6x－9＝(15y－6)x－9.由題意知15y－6＝0，解得y＝eq\f(2,5).(3)設(shè)AB＝x，由圖形得S1＝a(x－3b)，S2＝2b(x－2a)．所以S1－S2＝a(x－3b)－2b(x－2a)＝(a－2b)x＋ab.因?yàn)镾1－S2的值始終保持不變，所以(a－2b)x＋ab的值與x的值無關(guān)，所以a－2b＝0，所以a＝2b.培優(yōu)點(diǎn)二多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的“抄錯項(xiàng)”問題例2小剛同學(xué)在計(jì)算(2x＋a)(3x－2)時，由于他抄錯了a前面的符號，把“＋”寫成了“－”，導(dǎo)致他在后面每一步都算對的情