近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)

近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)初等代數(shù)、高等代數(shù)和線性代數(shù)都稱(chēng)為經(jīng)典代數(shù)（），它的研究對(duì)象主要是代數(shù)方程和線性方程組）。近世代數(shù)（）又稱(chēng)為抽象代數(shù)（），它的研究對(duì)象是代數(shù)系，所謂代數(shù)系，是由一個(gè)集合和定義在這個(gè)集合中的一種或若干種運(yùn)算所構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng)。近世代數(shù)主要包括：群論、環(huán)論和域論等幾個(gè)方面的理論，其中群論是基礎(chǔ)。下面，我們首先簡(jiǎn)要回顧一下集合、映射和整數(shù)等方面的基礎(chǔ)知識(shí)，然后介紹本文需要用到的近世代數(shù)的相關(guān)知識(shí)。3．1集合、映射、二元運(yùn)算和整數(shù)3．1．1集合集合是指一些對(duì)象的總體，這些對(duì)象稱(chēng)為集合的元或元素?！霸厥羌螦的元”記作“”，反之，“”表示“不是集合的元”。設(shè)有兩個(gè)集合A和B，若對(duì)A中的任意一個(gè)元素（記作）均有，則稱(chēng)A是B的子集，記作。若且，即A和B有完全相同的元素，則稱(chēng)它們相等，記作。若，但，則稱(chēng)A是B的真子集，或稱(chēng)B真包含A，記作。不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一個(gè)集合的子集。集合的表示方法通常有兩種：一種是直接列出所有的元素，另一種是規(guī)定元素所具有的性質(zhì)。例如：；，其中表示元素具有的性質(zhì)。本文中常用的集合與記號(hào)有：整數(shù)集合；非零整數(shù)集合；正整數(shù)（自然數(shù)）集合；有理數(shù)集合Q，實(shí)數(shù)集合R，復(fù)數(shù)集合C等。一個(gè)集合A的元素個(gè)數(shù)用表示。當(dāng)A中有有限個(gè)元素時(shí)，稱(chēng)為有限集，否則稱(chēng)為無(wú)限集。用表示A是無(wú)限集，表示A是有限集。3．1．2映射映射是函數(shù)概念的推廣，它描述了兩個(gè)集合的元素之間的關(guān)系。定義1設(shè)A，B為兩個(gè)非空集合，若存在一個(gè)A到B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使得對(duì)A中的每一個(gè)元素x，都有B中唯一確定的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f是A到B的一個(gè)映射，記作(x)。y稱(chēng)為x的像，x稱(chēng)為y的原像，A稱(chēng)為f的定義域，B稱(chēng)為f的定值域。定義2設(shè)f是A到B的一個(gè)映射若和均有，則稱(chēng)f是一個(gè)單射。若均有使，則稱(chēng)f是滿射。若f既是單射又是滿射，則稱(chēng)f是雙射。3．1．3二元運(yùn)算3．1．3．1集合的笛卡兒積由兩個(gè)集合可以用如下方法構(gòu)造一個(gè)新的集合。定義3設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，由A的一個(gè)元素和B的一個(gè)元素可構(gòu)成一個(gè)有序的元素對(duì)（），所有這樣的元素對(duì)構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的笛卡兒積，記作，即。用笛卡兒積還可定義一個(gè)集合中的運(yùn)算。定義4設(shè)S是一個(gè)非空集合，若有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f，對(duì)S中每一對(duì)元素和都規(guī)定了一個(gè)唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，即f是的一個(gè)映射，則此對(duì)應(yīng)規(guī)則就稱(chēng)為S中的一個(gè)二元運(yùn)算，并表示為，其中“”表示運(yùn)算符，若運(yùn)算“”是通常的加法或乘法，就分別記作或。由定義可見(jiàn)，一個(gè)二元運(yùn)算必須滿足：封閉性：；唯一性：是唯一確定的。定義5設(shè)S是一個(gè)非空集合，若在S中定義了一種運(yùn)算（或若干種運(yùn)算+，，等），則稱(chēng)S是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記作（S，）或（S，+，）等。3．1．3．2二元關(guān)系我們經(jīng)常需要研究?jī)蓚€(gè)集合元素之間的關(guān)系或者一個(gè)集合內(nèi)元素間的關(guān)系。定義6設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若規(guī)定一種規(guī)則R：使對(duì)和對(duì)均可確定和是否適合這個(gè)規(guī)則，若適合這個(gè)規(guī)則，就說(shuō)和有二元關(guān)系R，記作，否則就說(shuō)和沒(méi)有二元關(guān)系R，記作。3．1．2．3等價(jià)關(guān)系和等價(jià)類(lèi)等價(jià)關(guān)系是集合中一類(lèi)重要的二元關(guān)系。定義7設(shè)～是集合A上的一個(gè)二元關(guān)系，滿足以下條件：對(duì)，有～；（反身性）對(duì)，有～～；（對(duì)稱(chēng)性）對(duì)，有～和～～。（傳遞性）則稱(chēng)～為A中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。子集即所有與等價(jià)的元素的集合，稱(chēng)為所在的一個(gè)等價(jià)類(lèi)，稱(chēng)為這個(gè)等價(jià)類(lèi)的代表元。例如：設(shè)n是一取定的正整數(shù)，在整數(shù)集合Z中定義一個(gè)二元關(guān)系如下：，這個(gè)二元關(guān)系稱(chēng)為模的同余（關(guān)系），與模同余指和分別用來(lái)除所得的余數(shù)相同。同余關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，每一個(gè)等價(jià)類(lèi)記作稱(chēng)為一個(gè)同余類(lèi)或剩余類(lèi)。3．1．4整數(shù)在近世代數(shù)中整數(shù)是最基本的代數(shù)系。這里僅重述有關(guān)整數(shù)的基本性質(zhì)和常用概念。3．1．4．1整數(shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算包括加、減、乘、除、開(kāi)方、乘方、取對(duì)數(shù)等，這些運(yùn)算與其性質(zhì)這里不再贅述。在整數(shù)運(yùn)算中有以下兩個(gè)基本的定理：帶余除法定理設(shè)，，則存在唯一的整數(shù)，滿足：。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)能被整除，或整除，記作；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)不能被整除。只能被1和它本身整除的正整數(shù)稱(chēng)為素?cái)?shù)；除1和本身外，還能被其它整數(shù)整除的正整數(shù)稱(chēng)為合數(shù)。算術(shù)基本定理每一個(gè)不等于1的正整數(shù)可以分解為素?cái)?shù)的冪之積：，其中為互不相同的素?cái)?shù)，。除因子的次序外分解式是唯一的。此分解式稱(chēng)為整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。3．1．4．2最大公因子和最小公倍數(shù)設(shè)，不全為0，它們的正最大公因子記作，正最小公倍數(shù)記作。設(shè)，由算術(shù)基本定理可將它們表示為：，，其中為互不相同的素?cái)?shù)，，為非負(fù)整數(shù)，某些可以等于0。令：，，則，，且有。最大公因子還有以下重要性質(zhì)：最大公因子定理設(shè)，不全為0，，則存在使。3．1．4．3互素若，滿足，則稱(chēng)與互素。關(guān)于整數(shù)間的互素關(guān)系有以下性質(zhì)：(1)，使。(2)且。(3)設(shè)，為素?cái)?shù)，則有：或。(4)，。(5)，且。(6)歐拉函數(shù)：設(shè)n為正整數(shù)，為小于n并與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，小于n并與n互素的正整數(shù)的集合記為：。若n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：，則。3．2群近世代數(shù)的研究對(duì)象是代數(shù)系，最簡(jiǎn)單的代數(shù)系是在一個(gè)集合中只定義一種運(yùn)算，群是由一個(gè)集合和一個(gè)二元運(yùn)算構(gòu)成的代數(shù)系，它在近世代數(shù)中是最基本的一個(gè)代數(shù)系。3．2．1群的基本概念定義1設(shè)G是一個(gè)非空集合，若在G上定義一個(gè)二元運(yùn)算滿足：(1)結(jié)合律：對(duì)，有。則稱(chēng)G是一個(gè)半群，記作。若還滿足：(2)存在單位元使對(duì)，有；(3)對(duì)有逆元，使，則稱(chēng)是一個(gè)群。當(dāng)二元運(yùn)算“”為通常的加法時(shí)，稱(chēng)為加法群或加群；當(dāng)二元運(yùn)算“”為通常的乘法時(shí)，稱(chēng)為乘法群或乘群。定義中條件(2)可改為：有一個(gè)左單位元（或右單位元），使（或），對(duì)成立。因?yàn)橛纱丝赏瞥觥６x中條件(3)可改為：對(duì)，有一個(gè)左逆元（或右逆元），使（或）成立。因?yàn)橛纱丝赏瞥?。定?半群是群的充要條件是：對(duì)，方程和在G中均有解。定理2半群是群的充要條件是左、右消去律都成立：，。如果半群中含有單位元，則稱(chēng)為含幺半群。如果群適合交換律：對(duì)，有，則稱(chēng)G為可換群或阿貝爾()群。通常把群的定義概括為四點(diǎn)：封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元。如果一個(gè)群G是個(gè)有限集，則稱(chēng)G是有限群，否則稱(chēng)為無(wú)限群。G的元素個(gè)數(shù)稱(chēng)為群的階。元素的倍數(shù)和冪定義為：，，n為正整數(shù)，并規(guī)定。且有：，，，當(dāng)時(shí)有。滿足的元素稱(chēng)為冪等元，滿足的元素稱(chēng)為冪零元。例1：是整數(shù)模n的同余類(lèi)集合，在中定義加法（稱(chēng)為模n的加法）為。由于同余類(lèi)的代表元有不同的選擇，我們必須驗(yàn)證以上定義的運(yùn)算結(jié)果與代表元的選擇無(wú)關(guān)。設(shè)，，則有，所以模的加法是中的一個(gè)二元運(yùn)算。顯然，單位元是，，的逆元是。所以是群。例2：設(shè)，在中定義乘法（稱(chēng)為模n的乘法）為。對(duì)這個(gè)運(yùn)算不僅需要檢驗(yàn)它的唯一性，而且要檢驗(yàn)它的封閉性，因?yàn)橛?，得出并不明顯。先證封閉性：因?yàn)橛珊?，所以。再證唯一性：設(shè)，，則有，所以模n的乘法是中的一個(gè)二元運(yùn)算。結(jié)合律顯然滿足。單位元是。對(duì)，由知，使，因而有，即，所以，即中每一元素均有逆元。綜上，對(duì)模n的乘法構(gòu)成群。的階數(shù)為—?dú)W拉函數(shù)：小于n并與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。3．2．2群的基本性質(zhì)(1)群中單位元是唯一的證明：設(shè)G中有兩個(gè)單位元和，則有：，所以單位元是唯一的。在不致混淆的情況下，單位元簡(jiǎn)記為1。(2)群中每個(gè)元素的逆元是唯一的證明：設(shè)，有兩個(gè)逆元和，則有：，所以的逆元是唯一的。的逆元有以下性質(zhì)：(1)；(2)若可逆，則也可逆，且有；若可逆，則也可逆，且有。3．2．3子群定義2設(shè)S是群G的一個(gè)非空子集，若S對(duì)G的運(yùn)算也構(gòu)成群，則稱(chēng)S是G的一個(gè)子群，并記作：。當(dāng)且時(shí)，稱(chēng)S是G的真子群，記作。定理3設(shè)S是群G的一個(gè)非空子集，則以下三個(gè)命題互相等價(jià)：(ⅰ)S是G的子群；(ⅱ)對(duì)，有和；(ⅲ)對(duì)，有。3．2．4元素的階定義3設(shè)G是有限群，，可以證明一定存在最小的正整數(shù)使：(1)成立，稱(chēng)為的階或周期，記作o()。若沒(méi)有這樣的正整數(shù)存在，則稱(chēng)的階是無(wú)限的。由定義3可知，單位元的階是1。在加群中，式(1)變?yōu)椋?2)定理4設(shè)G是群，，則：。關(guān)于元素的階還有以下重要結(jié)果：有限群中每一個(gè)元素的階是有限的；設(shè)G是群，，，，若和，則；設(shè)G是群，若除單位元外其它元素都是2階元，則G是群。3．2．5循環(huán)群和生成群設(shè)G是群，，令：，因?yàn)?，有，所以H是G的子群，此子群稱(chēng)為由生成的循環(huán)子群，記作，稱(chēng)為它的生成元。若，則稱(chēng)G是循環(huán)群。循環(huán)子群是由一個(gè)元素生成的，由幾個(gè)元素或一個(gè)子集也可生成一個(gè)子群。定義4設(shè)S是群G的一個(gè)非空子集，包含S的最小子群稱(chēng)為由S生成的子群，記作，S稱(chēng)為它的生成元集。如果，且任何S的真子集的生成子群均不是G，則稱(chēng)S是G的極小生成元集。任何一個(gè)生成子群都有一個(gè)極小生成元集。當(dāng)時(shí)，元素個(gè)數(shù)最少的生成元集稱(chēng)為最小生成元集。定義5設(shè)（G，·）是一個(gè)群，，，則稱(chēng)為H的一個(gè)左陪集，稱(chēng)為H的一個(gè)右陪集。定義6設(shè)G是群，，H在G中的左（右）陪集個(gè)數(shù)稱(chēng)為H在G中的指數(shù)，記作。當(dāng)G是有限群時(shí)，則子群的階數(shù)與指數(shù)也都是有限的，它們有以下關(guān)系：定理5（拉格朗日()）設(shè)G是有限群，，則：這就是說(shuō)，有限群G的子群的階是群G的階的一個(gè)因子。由拉格朗日定理立即可得如下推論：設(shè)G是有限群，，則；當(dāng)時(shí)，對(duì)任何，有；若(素?cái)?shù))，則(階循環(huán)群)，即素?cái)?shù)階群必為循環(huán)群。3．3環(huán)環(huán)是有兩個(gè)二元運(yùn)算并建立在群的基礎(chǔ)上的一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。定義1設(shè)A是一個(gè)非空集合，在A中定義兩中二元運(yùn)算，一種叫加法，記作+，另一種叫乘法，記作·。且滿足：(1)（A，+）是一個(gè)可換群；(2)（A，·）是一個(gè)半群；(3)左、右分配律成立，對(duì)，有：，則稱(chēng)代數(shù)系（A，+，·）是一個(gè)環(huán)。例：設(shè)是整數(shù)模n的同余類(lèi)集合，在中定義加法和乘法分別為模n的加法和乘法：，。在前面我們已經(jīng)知道是群，是半群。下面我們證明分配律成立：。類(lèi)似有，所以是環(huán)，稱(chēng)為整數(shù)模n的同余類(lèi)（或剩余類(lèi)）環(huán)。如果環(huán)（A，+，·）對(duì)乘法也是可交換的，則稱(chēng)A是可換環(huán)。設(shè)（A，+，·）是一個(gè)環(huán)，加群（A，+）中的單位元通常記作0，稱(chēng)為零元。元素在加群中的逆元記作，稱(chēng)為負(fù)元。環(huán)中的單位元指乘法半群（A，·）中的單位元，記作1。一個(gè)元素的逆元指的是它在乘法半群中的逆元，記作。定義2設(shè)A是一個(gè)環(huán)，，若，且和，則稱(chēng)為左零因子，為右零因子。若一個(gè)元素既是左零因子又是右零因子，則稱(chēng)它為零因子。定義3設(shè)（A，+，·）是環(huán)若，可交換，且無(wú)零因子，則稱(chēng)A是整環(huán)。若A滿足：(1)A中至少有兩個(gè)元0和1（即環(huán)中有單位元）；(2)構(gòu)成乘法群。則稱(chēng)A是一個(gè)除環(huán)。若A是一個(gè)可換的除環(huán)，則稱(chēng)A是域。在前述例子中，當(dāng)n不是素?cái)?shù)時(shí)，中有零因子，因而不是整環(huán)，但當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)，是域。定理1是域的充要條件是n是素?cái)?shù)。環(huán)中無(wú)左（右）零因子的充分必要條件是乘法消去律成立。因此，在整環(huán)中，乘法消去律成立。定理2一個(gè)非零的有限的無(wú)左（右）零因子環(huán)是除環(huán)。推論有限整環(huán)是域。定義4設(shè)和是兩個(gè)環(huán)，若有一個(gè)到的映射f滿足：對(duì)任何有：，，則稱(chēng)f是一個(gè)到的同態(tài)。如果f是單射，則稱(chēng)f是一個(gè)單同態(tài)。如果f是滿射，則稱(chēng)f是一個(gè)滿同態(tài)。如果f是雙射，則稱(chēng)f是到一個(gè)同構(gòu)映射，和稱(chēng)為同構(gòu)。3．4域3．4．1素域和域的特征域是環(huán)的一種，如果一個(gè)環(huán)至少含有0和1兩個(gè)元素，每一個(gè)非零元均有逆元，即非零元構(gòu)成乘法群，則此環(huán)稱(chēng)為除環(huán)，可交換的除環(huán)為域。在一個(gè)除環(huán)中，由于非零元素構(gòu)成群，消去律成立，因而除環(huán)中無(wú)零因子。同樣，域中也無(wú)零因子，因而域必須是整環(huán)。如果一個(gè)域F是個(gè)有限集，則稱(chēng)F是有限域，否則稱(chēng)為無(wú)限域。F的元素個(gè)數(shù)稱(chēng)為域的階。定理1設(shè)F是域，則元素1在(F，+)中的階數(shù)或?yàn)槟硞€(gè)素?cái)?shù)p，或?yàn)闊o(wú)窮大。定義1設(shè)F是域，若元素1在(F，+)中的階數(shù)為素?cái)?shù)p，則稱(chēng)p為域F的特征。若元素1在(F，+)中的階數(shù)為無(wú)窮大，則稱(chēng)F的特征為0，F(xiàn)的特征記作。關(guān)于域有以下的結(jié)論：(1)若0，則F是無(wú)限域。若F是有限域，則是某個(gè)素?cái)?shù)。(2)若F是特征為p的域，則：(ⅰ)對(duì)任何，有；(ⅱ)對(duì)任何(\{0})，且，則；(ⅲ)對(duì)任何，有，m為任意正整數(shù)。(3)，為素?cái)?shù)，且不能被整除，則有：。(4)域F的乘群的任何有限子群都是循環(huán)群。3．4．2子域與擴(kuò)域定義2設(shè)(K，+，·)是域，F(xiàn)是K的非空子集，且(K，+，·)也是域，則稱(chēng)F是K的子域，K是F的擴(kuò)域，記作F≤K。設(shè)S是域F中的一個(gè)非空子集，則包含S的最小子域，稱(chēng)為由S生成的子域，記作<S>。由元素1生成的子域稱(chēng)為素域。3．4．3擴(kuò)張次數(shù)、代數(shù)元和超越元設(shè)是域，是的擴(kuò)域，由于對(duì)任何和對(duì)任何，有，我們可以把中元素看作向量，則是向量與在上的線性組合，從而是上的一個(gè)向量空間或線性空間，此空間的維數(shù)就稱(chēng)為對(duì)的擴(kuò)張次數(shù)，記作()。當(dāng)()有限時(shí)，稱(chēng)K是F上的有限擴(kuò)張，否則稱(chēng)為無(wú)限擴(kuò)張。擴(kuò)張次數(shù)反映了擴(kuò)域與子域之間的相對(duì)大小，但還沒(méi)有反映它們的元素在性質(zhì)上的差別。我們對(duì)域中的元素作以下的分類(lèi)：設(shè)K是F的擴(kuò)域，u∈K，若u是F上的一個(gè)多項(xiàng)式f(x)的根，則稱(chēng)u是F上的代數(shù)元，否則稱(chēng)為超越元，多項(xiàng)式f(x)稱(chēng)為u的化零多項(xiàng)式，F(xiàn)上次數(shù)最低的首1多項(xiàng)式的根，稱(chēng)為u在F上的最小多項(xiàng)式。設(shè)u在F上的最小多項(xiàng)式為m(x)，且[m(x)]，則稱(chēng)u是F上的r次代數(shù)元。有理數(shù)域Q上的代數(shù)元稱(chēng)為代數(shù)數(shù)，Q上的超越元稱(chēng)為超越數(shù)。設(shè)K是F的擴(kuò)域，若K中的每一元素都是F上的代數(shù)元，則稱(chēng)K是F上的代數(shù)擴(kuò)張域，否則，稱(chēng)K為F上的超越擴(kuò)張域。3．4．4有限域具有有限個(gè)元素的域，稱(chēng)為有限域。一個(gè)有限域的特征必然是某個(gè)素?cái)?shù)p，即，F(xiàn)的素域?yàn)?，設(shè)F對(duì)的擴(kuò)張次數(shù)為n，即()，因?yàn)镕是上的n維線性空間，存在一組基使，所以F中元素個(gè)數(shù)（即F中元素在基下坐標(biāo)組的個(gè)數(shù)）為：。這就是說(shuō)，有限域的階為特征之冪。有限域又稱(chēng)為伽羅瓦（）域，將階有限域記作。3．4．5有限域元素的性質(zhì)的非零元的集合是一個(gè)乘群，具有以下性質(zhì)：定理2是一個(gè)階循環(huán)群。的生成元又叫本原元。定義3(1)乘群中階的元素稱(chēng)為域的n次本原元。的n次本原元在上的最小多項(xiàng)式稱(chēng)為上的n次本原多項(xiàng)式。(2)若是方程的根，但不是任何的根，則稱(chēng)是r次本原單位根或單位原根。由以上定義可以看出，上的n次本原元就是乘群的生成元，也是次本原單位根（即），可以通過(guò)本原元把表示的更簡(jiǎn)單一些。設(shè)是的一個(gè)n次本原元，則又可表示為：。定理3任何兩個(gè)元素個(gè)數(shù)相同的有限域是同構(gòu)的。兩個(gè)同構(gòu)的域，如果不管它們的實(shí)際背景而只考慮它們的代數(shù)性質(zhì)，可以將它們等同起來(lái)看作一個(gè)域。伽羅瓦（）域，有兩種類(lèi)型：第一種：包含個(gè)元素，p為一個(gè)素?cái)?shù)，這種域同構(gòu)于整數(shù)模p的同余類(lèi)域。例如：若在集合（為素?cái)?shù)）中定義模p加法和模p乘法,則是域。第二種：包含個(gè)元素，p為素?cái)?shù)，n為大于或等于2的整數(shù)，稱(chēng)為的擴(kuò)域。可看成一個(gè)多項(xiàng)式環(huán)，多項(xiàng)式的最高次數(shù)為(1)，多項(xiàng)式的系數(shù)為的元素，環(huán)中的運(yùn)算為模f(x)的多項(xiàng)式加法和乘法，其中，f(x)為上的任一個(gè)n次不可約多項(xiàng)式（即f(x)的所有根都不在上），則這個(gè)多項(xiàng)式環(huán)就是有限域。例設(shè)F[x]是數(shù)域F上的多項(xiàng)式環(huán)例構(gòu)造一個(gè)8階的域。解因?yàn)椋瑒t2，，取，由于，故在上不可約，所以上的擴(kuò)域：就是一個(gè)8階的有限域。有限域還具有以下的性質(zhì)：(1)若F是有限域，則F的特征()是某個(gè)素?cái)?shù)。(2)若F是特征為p的域，則：(ⅰ)對(duì)任何，有；(ⅱ)對(duì)任何，且，則；(ⅲ)對(duì)任何，有，n為任意正整數(shù)。(3)，為素?cái)?shù)，且p?n，則有：。(4)域F的乘群的任何有限子群都是循環(huán)群。以下給出有限域性質(zhì)(5)～(14)的證明，性質(zhì)(1)～(4)的證明參看文獻(xiàn)[12][13][15]。(5)中含有個(gè)本原元，表示歐拉函數(shù)，且一定為偶數(shù)。證明設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為[29]：，式中：為互不相同的素?cái)?shù)，。則：(1)注意到一定為正偶數(shù)，設(shè)。因?yàn)?，所以：①若，則，所以一定為2的倍數(shù)，即一定為偶數(shù)；②若，則，所以中至少有一個(gè)不為2的素?cái)?shù)，即中至少有一個(gè)為奇數(shù)，所以一定為2的倍數(shù)，即一定為偶數(shù)。綜上，一定為偶數(shù)。(1)中含有個(gè)本原元，表示歐拉函數(shù)。例對(duì)，因?yàn)?，故，所以具?0個(gè)本原元。(6)中含有的本原元最多為個(gè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，本原元的個(gè)數(shù)達(dá)到最大值。證明因?yàn)閝為大于或等于2的素?cái)?shù)。①當(dāng)2時(shí)，中含有一個(gè)本原元—1。②設(shè)q為大于2的奇數(shù)，則(1)為偶數(shù)。所以與(1)互素的正整數(shù)必須為奇數(shù)，而小于(1)的奇數(shù)個(gè)數(shù)為，這樣小于(1)并與(1)互素的個(gè)數(shù)一定小于或等于，即。所以，中含有的本原元個(gè)數(shù)最多為個(gè)。當(dāng)時(shí)，，，即中含有的本原元達(dá)到最大值。若中含有的本原元達(dá)到最大值，即，由此可推出：，且，即。(7)設(shè)為的本原元，則：。證明因?yàn)闉榈谋驹缘碾A為(1)，即(1)是使的最小正整數(shù)。由，可得。若，與(1)是使的最小正整數(shù)矛盾，所以。(8)設(shè)為的本原元，則：也是的本原元，且。證明因?yàn)闉榈谋驹?，所以的各次冪（）生成的所有非零元素，這些非零元素構(gòu)成循環(huán)群，所以的逆元存在且唯一。又因?yàn)榈哪嬖獮?，所以每個(gè)存在且唯一。即的各次冪生成的所有非零元素，所以也是的本原元。因?yàn)?2)所以(3)(9)設(shè)為中的非零元素，則：。證明設(shè)，為本原元，為任意非零元素，且：(4)得到：(5)(10)設(shè)和為的本原元，則：，，且m為奇數(shù)。特別地，若為的本原元，為小于(1)并與(1)互素的正整數(shù)的集合，則：的所有本原元可表示為：，即。證明假設(shè)為的本原元，則：，當(dāng)q>2時(shí)，這與性質(zhì)(7)是矛盾的（在中，，但這種情況只出現(xiàn)在中）。因此，當(dāng)q>2時(shí)，中的一個(gè)本原元不能是另一個(gè)本原元的偶次冪。即中的一個(gè)本原元只能是另一個(gè)本原元的奇次冪。即：，，且m為奇數(shù)。設(shè)，且，則存在，使得，則：，因?yàn)椋圆皇潜驹?。另外，設(shè)，且，n是使的最小正整數(shù)，則n等于(1)，即的階為(1)，所以是本原元。所以的所有本原元可表示為：，即中含有個(gè)本原元。(11)有限域中，具有個(gè)本原元，其中，為歐拉函數(shù)，為正整數(shù)。所有個(gè)本原元可分為兩組，設(shè)為和，每組個(gè)元素，這兩組的元素之間可用某個(gè)冪指數(shù)n(1<n<1)，且(1)=1)來(lái)聯(lián)系，即：。若冪指數(shù)n改變值，則組與組對(duì)應(yīng)的元素對(duì)會(huì)發(fā)生改變，但每組的元素個(gè)數(shù)不變，都為。證明設(shè)為的本原元，為小于(1)并與(1)互素的正整數(shù)的集合，由有限域性質(zhì)(10)可知，的所有本