江蘇省徐州市2025屆2023-2024學年高二下學期期末抽測考試+數(shù)學試卷（含答案）

2023~2024學年度第二學期期末抽測高二年級數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號等填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.用數(shù)字組成沒有重復數(shù)字四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A48 B.60 C.96 D.1203.我們通常用里氏震級來標定地震規(guī)模的大小，里氏震級與震源中心釋放的能量有關，二者滿足關系式2008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級地震，2024年6月12日，四川甘孜州石渠縣發(fā)生里氏4.7級地震，則里氏8.0級地震釋放的能量是里氏4.7級地震釋放的能量的（）A.1.7倍 B.4.95倍 C.倍 D.倍4.已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.5.從數(shù)字中隨機取一個數(shù)字，記為，再從數(shù)字中隨機取一個數(shù)字，則第二次取到的數(shù)字為2的概率是（）A. B. C. D.6.若直線經(jīng)過曲線的對稱中心，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.47.在棱長為4的正方體中，分別為棱的中點，點在棱上，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.8.已知是定義在上的函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.0二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為實數(shù)，則“”的必要條件可以為（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)，則（）A.B.為奇函數(shù)C.在區(qū)間上單調遞增D.集合的元素個數(shù)為411.如圖，在邊長為12的正方形中，分別邊的三等分點，正方形內(nèi)有兩點，點到的距離分別為，點到的距離也是和，其中.將該正方形沿折起，使與重合，則在該空間圖形中，（）A.直線平面B.的最小值為C.線段的中點到的距離不超過D.異面直線與成角時，三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，若，則__________.13.已知，則__________，被6除所得的余數(shù)是__________.14.已知函數(shù)，若對任意，則實數(shù)取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的展開式的各項系數(shù)和為256.（1）求展開式中的常數(shù)項；（2）設，證明：；（3）求證：.16.為加快推動旅游業(yè)復蘇，進一步增強市民旅游消費意愿，某景區(qū)推出針對中?高考生的優(yōu)惠活動：憑中?高考準考證可優(yōu)惠購票，并可以八折購買“金榜題名”文創(chuàng)雪糕.該景區(qū)從中?高考生游客中隨機抽取200人了解他們對這項活動的滿意度，統(tǒng)計得到列聯(lián)表如下：不滿意滿意合計高考生6040100中考生3565100合計95105200（1）判斷能否有的把握認為滿意度與考生類型有關？（2）現(xiàn)從高考生的樣本中用分層抽樣的方法選出5人，再從這5人中隨機抽取3人做進一步的訪談，求這3人中不滿意的人數(shù)的概率分布及數(shù)學期望.附：，其中0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82817.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，，.（1）若點為棱的中點，求二面角的余弦值；（2）若，設直線與平面，平面所成的角分別為，求的最大值.18.對于函數(shù)，記.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，其中是給定的正整數(shù)，記集合.（1）當時，求；（2）證明：當時，；（3）求.19.在空間直角坐標系中，一個質點從原點出發(fā)，每秒向軸正?負方向?軸正?負方向或軸正?負方向移動一個單位，且向六個方向移動的概率均相等.如在第1秒末，質點會等可能地出現(xiàn)在六點處.（1）求該質點在第4秒末移動到點的概率；（2）設該質點在第2秒末移動到點，記隨機變量，求的均值；（3）設該質點在第秒末回到原點的概率為，證明：.2023~2024學年度第二學期期末抽測高二年級數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號等填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域化簡集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】，而，，故選：C2.用數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A48 B.60 C.96 D.120【答案】A【解析】【分析】考查排列組合中的分步計數(shù)原理，先確定個位數(shù)字，再確定其他數(shù)字即可.【詳解】第一步，個位為2或4，共兩種方法；第二步，千、百、十位有種方法.所以，共種方法.故選：A.3.我們通常用里氏震級來標定地震規(guī)模的大小，里氏震級與震源中心釋放的能量有關，二者滿足關系式2008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級地震，2024年6月12日，四川甘孜州石渠縣發(fā)生里氏4.7級地震，則里氏8.0級地震釋放的能量是里氏4.7級地震釋放的能量的（）A.1.7倍 B.4.95倍 C.倍 D.倍【答案】D【解析】【分析】借助所給關系式，分別計算出里氏8.0級地震釋放的能量與里氏4.7級地震釋放的能量后作商即可得.【詳解】當時，有，即，即，當時，有，即，即，故.故選：D.4.已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調遞增，可知各段分別在對應自變量范圍上單調遞增，且在時滿足，在分析函數(shù)的單調性時需分類討論.【詳解】因為函數(shù)在上單調遞增，當，即時，需滿足，解得，所以；當，即時，需滿足，即，解得，又，所以,綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：B5.從數(shù)字中隨機取一個數(shù)字，記為，再從數(shù)字中隨機取一個數(shù)字，則第二次取到的數(shù)字為2的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.【詳解】記事件為“第一次取到數(shù)字n”，，事件B為“第二次取到的數(shù)字為2”，由題意知是兩兩互斥的事件，且（樣本空間），,故選：B6.若直線經(jīng)過曲線對稱中心，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，可得曲線的對稱中心為，把坐標代入直線方程得，結合基本不等式可求最大值.【詳解】記，因為，所以的對稱中心為因為直線過的對稱中心，所以，即，所以，當且僅當時取等號，即的最大值為4.故選：7.在棱長為4的正方體中，分別為棱的中點，點在棱上，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量和，再利用點到平面距離的向量法，即可求出結果.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為4，則，所以，，，設平面的一個法向量為，由，得到，取，得到，所以，所以點到平面的距離為，故選：C.8.已知是定義在上的函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)和判斷出的圖象關于直線對稱，關于點對稱，從而得到周期為4；再根據(jù)得到，最后化簡所求表達式并利用二項式系數(shù)和的性質求解即可.【詳解】因為，即，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱；又因為，所以，所以函數(shù)的圖象關于點對稱；所以，所以，即函數(shù)周期為4，又因為，所以，即.所以.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了函數(shù)的周期性、對稱性等性質，解題的關鍵是將抽象函數(shù)利用相關條件進行轉化.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為實數(shù)，則“”的必要條件可以為（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)“必要條件”的定義，分別構造函數(shù)，，，，根據(jù)函數(shù)的單調性即可得出判斷．【詳解】對于A，因為在單調遞增，所以當時，成立，故A符合題意；對于B，因為在上單調遞增，所以當時，，成立，故B符合題意；對于C，因為在上單調遞減，所以當時，，故C不合題意，對于D，因為在上單調遞減，在上單調遞增，當時，若時，，若時，，故D不合題意，故選：AB．10.已知函數(shù)，則（）A.B.為奇函數(shù)C.在區(qū)間上單調遞增D.集合的元素個數(shù)為4【答案】ABD【解析】【分析】對于A直接計算即可，對于B驗證，對于C先證明上的單調性，再根據(jù)奇偶性得到上的單調性，對于D把問題轉化方程解的個數(shù)的判斷.【詳解】對A，，故A正確；對B，的定義域為，關于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，故B正確；對C，當時，，，根據(jù)單調遞增，所以在單調遞減，又因為是奇函數(shù)，所以在單調遞減，且，所以在上單調遞減，故C錯誤；對D，得：，當時，方程可化為，因為，此時，方程的兩根滿足，可以說明，所以當時，有兩個不相等正根，當時，方程可化為，因為，此時，方程的兩根滿足，可以說明，所以當時，有兩個不相等的負根，綜上所述，方程有四個不相等的實數(shù)解，即集合有個元素，故D正確.故選：ABD11.如圖，在邊長為12的正方形中，分別邊的三等分點，正方形內(nèi)有兩點，點到的距離分別為，點到的距離也是和，其中.將該正方形沿折起，使與重合，則在該空間圖形中，（）A.直線平面B.的最小值為C.線段的中點到的距離不超過D.異面直線與成角時，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得，選項A，先求出平面的一個法向量，利用，即可求解；選項B，因為，利用二次函數(shù)的性質，即可求解；選項C，求出的中點及的坐標，即可求解；選項D，利用線線角的向量法，即可求解.【詳解】如圖，取中點，的中點，連接，因，所以，因為，，又，面，所以面，又，所以面，故，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設于，于，過作于,易知，，又，所以，又，所以，同理可知，所以，對于選項A，易知平面的一個法向量為，因為，顯然平面，所以平面，故選項A正確，對于選項B，因為，令，其中，對稱軸，所以，所以，故選項B正確，對于選項C，因為的中點，，所以，故選項C錯誤，對于選項D，因為，所以，所以，整理得到，解得或（舍），故選項D正確，故選：ABD.【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于建立空間直角坐標系，求出，再利用線面平行的向量法、空間兩點間的距離及線線角的向量法，即可求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，若，則__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】因為隨機變量，，所以又因為，所以由對稱性知，.故答案為：413.已知，則__________，被6除所得的余數(shù)是__________.【答案】①.2②.5【解析】【分析】利用賦值法求出常數(shù)項及所有項系數(shù)和即可得解；求出的表達式，再利用二項式定理求解余數(shù)問題.【詳解】依題意，，，所以；，顯然是6的整數(shù)倍，而除以6余5，所以被6除所得的余數(shù)是5.故答案：2；5.14.已知函數(shù)，若對任意，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】對分類討論，分析結合特值可排除，當時轉化為二次函數(shù)、二次不等式恒成立問題求解即可.【詳解】因為，當時，，，所以不恒成立，故，當時，，顯然不恒成立，（如），當時，由可得，平方可得，由時，恒成立，令，當，即時，，顯然不恒成立，當時，恒成立，需滿足，解得，即，綜上，實數(shù)的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的展開式的各項系數(shù)和為256.（1）求展開式中的常數(shù)項；（2）設，證明：；（3）求證：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意得，求出，再求出二項式展開式的通項公式，令的次數(shù)為0，求出，從而可求出展開式中的常數(shù)項；（2）根據(jù)階乘公式化簡等式右邊即可；（3）根據(jù)（2）的結論，利用裂項相消求和法可證得結論.【小問1詳解】因為的展開式的各項系數(shù)和為256，所以，解得，所以，展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為；【小問2詳解】證明：因為，所以；【小問3詳解】證明：因為由（2）知，所以16.為加快推動旅游業(yè)復蘇，進一步增強市民旅游消費意愿，某景區(qū)推出針對中?高考生的優(yōu)惠活動：憑中?高考準考證可優(yōu)惠購票，并可以八折購買“金榜題名”文創(chuàng)雪糕.該景區(qū)從中?高考生游客中隨機抽取200人了解他們對這項活動的滿意度，統(tǒng)計得到列聯(lián)表如下：不滿意滿意合計高考生6040100中考生3565100合計95105200（1）判斷能否有的把握認為滿意度與考生類型有關？（2）現(xiàn)從高考生的樣本中用分層抽樣的方法選出5人，再從這5人中隨機抽取3人做進一步的訪談，求這3人中不滿意的人數(shù)的概率分布及數(shù)學期望.附：，其中.0050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有的把握認為滿意度與考生類型有關（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)計算，再由所給參考數(shù)據(jù)作出結論；（2）由分層抽樣得出滿意及不滿意人數(shù)，根據(jù)超幾何分布求出概率，得出分布列，求期望即可.【小問1詳解】零假設為滿意度與考生類型相互獨立，即滿意度與考生類型無關.由列聯(lián)表可得：，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，所以有的把握認為滿意度與考生類型有關.【小問2詳解】高考生共有100人，其中不滿意的有60人，滿意的有40人，由分層抽樣，其中抽得不滿意的有3人，滿意的有2人，由題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：123.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，，.（1）若點為棱的中點，求二面角的余弦值；（2）若，設直線與平面，平面所成的角分別為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，證明出為等腰直角三角形，由面面垂直得到線面垂直，得到兩兩垂直，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值；（2）表達出，從而得到，表達出，換元后，求出最值.【小問1詳解】連接，因為，所以，又，，所以四邊形為菱形，又，故菱形為正方形，故，由勾股定理得，因為，所以，由勾股定理逆定理得⊥，故為等腰直角三角形，取的中點，連接，則⊥，因為平面平面，交線為，平面，所以⊥平面，又，所以⊥，，故兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，平面的法向量為，設平面的法向量為，則，令，則，故，故，設二面角的大小為，由圖形可知，為銳角，故二面角的余弦值；【小問2詳解】設，則，解得，故，，，平面的法向量為，平面的法向量為，故，，故，，令，則，故當時，取得最大值，最大值為.18.對于函數(shù)，記.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，其中是給定的正整數(shù)，記集合.（1）當時，求；（2）證明：當時，；（3）求.【答案】（1）（2）證明見解析（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)的值先確定的值，再求；（2）分別取，，，四三種情況證明當時，；（3）首先計算出，然后計算出，最后再證明對于任意且.【小問1詳解】當時，，當時，，所以，則，所以，當時，，所以，則，所以，，；【小問2詳解】設，則，，故設，則，，故；設，則，，故；設，則，，故；綜上，當時，.【小問3詳解】，由（2）知當時，有，故，而，故.當時，，,由上，當且時，；下證：對于任意且.由（2）知，若，則，故；若，則，故；綜上，對于任意