專題09線段上動(dòng)點(diǎn)問題的兩種考法(原卷版+解析)(北師大版)

專題09線段上動(dòng)點(diǎn)問題的兩種考法類型一、線段和差問題例1．已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D，E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．（1）若AB＝15，DE＝6，線段DE在線段AB上移動(dòng)．①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長；②點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線AB上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式＝，求的值．例2．已知線段AB，點(diǎn)C在直線AB上，D為線段BC的中點(diǎn)．(1)若，，求線段CD的長．(2)若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，請(qǐng)寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)位于數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為7，當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，求線段的長；(2)若點(diǎn)，分別表示，6，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(3)若，是數(shù)軸上的一點(diǎn)，且，求的值．【變式訓(xùn)練2】已知點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)D，E在直線上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．(1)若，，線段在線段上移動(dòng)，①當(dāng)點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)時(shí)，求的長；②當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)若，點(diǎn)E在線段上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式，則（直接寫出結(jié)果）．【變式訓(xùn)練3】如圖已知線段、，(1)線段在線段上（點(diǎn)C、A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)）①若線段，，M、N分別為、的中點(diǎn)，求的長．②M、N分別為、的中點(diǎn)，求證：(2)線段在線段的延長線上，M、N分別為、的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形，直接寫出結(jié)論類型二、定值問題例．如圖，點(diǎn)是定長線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上）．（1）若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)說明點(diǎn)在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上），點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．【變式訓(xùn)練】已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點(diǎn)．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點(diǎn)D是射線CB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，求的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是AP中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，下列結(jié)論中：①是定值；②是定值．其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)選擇正確結(jié)論并求出其值．課后訓(xùn)練1．已知，C為線段上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若，，求的長；（2）若，求的值；（3）若，，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則=______（用含a的代數(shù)式表示）．2．已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線段在線段上移動(dòng)．(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)點(diǎn)（異于，，點(diǎn)）在線段上，，，求的長．3．已知線段AB=12，CD=6，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)）．（1）當(dāng)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，AC=_________；（2）點(diǎn)P是線段AB延長線上任意一點(diǎn)，在（1）的條件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，當(dāng)BC=4時(shí)，求MN的長．4．【新知理解】如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“和諧點(diǎn)”．(1)線段的中點(diǎn)

這條線段的“和諧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD＝12cm，點(diǎn)N是線段CD的和諧點(diǎn)，則CN＝

cm；(3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)：點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)直接寫出t為何值時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的和諧點(diǎn)．5．如圖，射線上有三點(diǎn)、、，滿足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、停止運(yùn)動(dòng).(1)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為秒，經(jīng)過多長時(shí)間、兩點(diǎn)相遇?(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段OB的中點(diǎn)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度;(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，分別取和的中點(diǎn)、，求的值.6．已知線段AB=m(m為常數(shù))，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且m=8時(shí)，則MN=______；(2)若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，請(qǐng)判斷CN+2AM-2MN的值是否與m有關(guān)？并說明理由.(3)若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，求MN長度(用含m的代數(shù)式表示).7．已知線段，(，為常數(shù)，且)，線段在直線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)B，M在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè))．P是線段的中點(diǎn)，Q是線段的中點(diǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)，求線段的長度(用含a，b的代數(shù)式表示)；(2)如圖②，當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，M重合時(shí)，求線段，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你畫圖探究線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系．

專題09線段上動(dòng)點(diǎn)問題的兩種考法類型一、線段和差問題例1．已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D，E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．（1）若AB＝15，DE＝6，線段DE在線段AB上移動(dòng)．①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長；②點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線AB上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式＝，求的值．【答案】（1）①AD的長為6.5；②AD的長為或；（2）的值為或【詳解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，∴BC＝5，AC＝10，①∵E為BC中點(diǎn)，∴CE＝2.5，∵DE＝6，∴CD＝3.5，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，∵CF＝3，AC＝10，∴AF＝AC+CF＝13，∵AF＝3AD，∴AD＝；如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，∵AC＝10，CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝7，∴AF＝3AD，∴AD＝＝；綜上所述，AD的長為或；（2）①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時(shí)，如圖4，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝x，∴＝＝；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如圖5，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC+DE＝y(tǒng)+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y(tǒng)+1.5x﹣2x＝y(tǒng)﹣0.5x，∵＝，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y(tǒng)+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y(tǒng)+1.5x+x＝6.5x，∴，③點(diǎn)D、E都在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如圖6，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC-DE＝y(tǒng)-1.5x，∴AD＝DC+AC＝y(tǒng)-1.5x+2x＝y(tǒng)+0.5x，∵＝，BE＝EC-BC＝y(tǒng)-x，∴，∴y＝-4x（舍去）綜上所述的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段的和差，線段的中點(diǎn)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，比較難，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．例2．已知線段AB，點(diǎn)C在直線AB上，D為線段BC的中點(diǎn)．(1)若，，求線段CD的長．(2)若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，請(qǐng)寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)或5(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C在直線AB上，分兩種情況：①C在點(diǎn)A的右側(cè)，②C在點(diǎn)A的左側(cè)，根據(jù)線段的和與差可得結(jié)論；（2）AB＝2DE，分三種情況：根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，當(dāng)C在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，∵，，∴，∵D是線段BC的中點(diǎn)，：∴；如圖2，當(dāng)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，∵，，∴，∵D是線段BC的中點(diǎn)，∴；綜上所述，或5；（2）解：．理由是：如圖3，當(dāng)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間時(shí)，∵E是AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，∴，，∴；如圖4，當(dāng)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，同理可得：；如圖5，當(dāng)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，同理可得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)位于數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為7，當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，求線段的長；(2)若點(diǎn)，分別表示，6，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(3)若，是數(shù)軸上的一點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)(3)或1【分析】（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間可以計(jì)算出C、D運(yùn)行的路程，進(jìn)而求出MD的值，根據(jù)可求；（2）先表示出BD和CD，再根據(jù)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，列方程求解；（3）分在線段上和點(diǎn)在線段的延長線上兩種情況，分別求解．【詳解】（1）解：∵，，又∵點(diǎn)表示，點(diǎn)表示7，∴，∴∴．（2）解：∵點(diǎn)，分別表示，6，所以，，，，，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，即，∴當(dāng)時(shí)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖∵，又∵∴，又∵∴，即②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖∵，又∵∴，即綜上所述或1．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差和中點(diǎn)，及兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程，解題分關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的移動(dòng)路程與線段的關(guān)系．【變式訓(xùn)練2】已知點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)D，E在直線上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．(1)若，，線段在線段上移動(dòng)，①當(dāng)點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)時(shí)，求的長；②當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)若，點(diǎn)E在線段上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式，則（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)①4，②；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，①由線段中點(diǎn)的定義得到，求得，由線段的和差得到；②當(dāng)點(diǎn)C線段的三等分點(diǎn)時(shí)，可求得或（舍去），則，由線段的和差即可得到結(jié)論；（2）①當(dāng)點(diǎn)E在線段之間時(shí)，設(shè)，則，求得、、、，然后根據(jù)可得，，再代入即可解答；②當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，設(shè)，則，求得、、、，然后根據(jù)可得不符題意．【詳解】（1）解：∵，∴，①∵E為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；②∵點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，DE＝16，∴或（不合題意，舍去），∴，∴；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段上，如圖，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴；如圖：當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴不符題意，∴點(diǎn)E不可能在線段AC上．綜上所述的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線上兩點(diǎn)間的距離、線段中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差等知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確識(shí)圖、分類討論DE的位置是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖已知線段、，(1)線段在線段上（點(diǎn)C、A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)）①若線段，，M、N分別為、的中點(diǎn)，求的長．②M、N分別為、的中點(diǎn)，求證：(2)線段在線段的延長線上，M、N分別為、的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形，直接寫出結(jié)論【答案】(1)①10，②見解析(2)不成立，見解析【分析】（1）①利用求出的值，利用中點(diǎn)平分線段，得到，再利用，即可得解；②利用中點(diǎn)平分線段，得到，進(jìn)而得到，再利用，即可得證；（2）分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以及點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，三種情況分類討論，求解即可．【詳解】（1）解：①∵，，∴，∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，∴；②∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；（2）不成立；∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖：或；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖：或；③當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖：或；綜上：或；故結(jié)論不成立．【點(diǎn)睛】本題考查線段之間的和與差．正確的識(shí)圖，理清線段之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．類型二、定值問題例．如圖，點(diǎn)是定長線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上）．（1）若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)說明點(diǎn)在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上），點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】（1）點(diǎn)P在線段AB的處；（2）或；（3）結(jié)論②的值不變正確，.【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用含t的代數(shù)式可表示出線段PD、AC長，根據(jù)，可知點(diǎn)在線段上的位置；（2）由可知，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，等量代換可得，再結(jié)合可得的值；當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長線上時(shí)，可得，易得的值.（3）點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，，可求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系，則PM與PN的值可以含AB的式子來表示，可得MN與AB的數(shù)量關(guān)系，易知的值.【詳解】解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，由得，即，，，即所以點(diǎn)P在線段AB的處；（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，由可知，②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長線上時(shí)，，綜合上述，的值為或；（3）②的值不變.由點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)5秒可得，如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P同側(cè)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以；如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P異側(cè)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以；所以②的值不變正確，.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的相關(guān)計(jì)算，利用線段中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點(diǎn)．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點(diǎn)D是射線CB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，求的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是AP中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，下列結(jié)論中：①是定值；②是定值．其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)選擇正確結(jié)論并求出其值．【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①詳見解析;②詳見解析.【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；（2）分三種情況：①D在BC之間時(shí)②D在AB之間時(shí)③D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)；（3）分三種情況討論：①F、E在BC之間，F(xiàn)在E左側(cè)②F在BC之間，E在CP之間③F、E在BC之間，F(xiàn)在E右側(cè)；【詳解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，∴AB＝30；（2）∵點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD中點(diǎn)，∴BM＝BD，DN＝NC，①D在BC之間時(shí)：BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，∴＝2；②D在AB之間時(shí)：BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，∴＝2；③D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)：BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，∴＝2；故＝2；（3）點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．∴AE＝EP，BF＝CF，①EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，∴＝2．②EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．③EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．【點(diǎn)睛】本題考查線段之間量的關(guān)系，結(jié)合圖形，能夠考慮到所有分類是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．已知，C為線段上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若，，求的長；（2）若，求的值；（3）若，，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則=______（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）的值為或；（3）【分析】（1）由D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)得到DC=AC=2，CE=BC=3，則可計(jì)算出DE=5，再利用F為DE的中點(diǎn)得到DF=DE，然后利用CF=DF-DC求解；（2）根據(jù)線段的中點(diǎn)定義和線段的和差計(jì)算分兩種情況即可求解；（3）如圖，設(shè)AC=x，BC=y，即x-y=a，利用線段中點(diǎn)定義得到DC=，CE=，則，所以，再利用的中點(diǎn)，得到，于是可計(jì)算出，即有．【詳解】解：（1）∵D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴DC=AC=2，CE=BC=3，∴DE=DC+CE=2+3=5，∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=DE=，∴CF=DF-DC=；（2）①當(dāng)AC＞BC，點(diǎn)F在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，如圖所示：

∵D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DC-DF=AC-4CF，∴AC=10CF，∴BC=AB-AC=16CF-10CF=6CF，∴，②當(dāng)AC＜BC，點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，如圖所示：

∵D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DF-DC=4CF-AC，∴AC=6CF，∴BC=AB-AC=16CF-6CF=10CF，∴，綜上所述，的值為或．（3）如圖，

設(shè)AC=x，BC=y，即x-y=a，∵D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴DC=AC=x，CE=BC=y，∵DC的中點(diǎn)為，CE的中點(diǎn)為，∴，∴，∵的中點(diǎn)為，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離．理清線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線段在線段上移動(dòng)．(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)點(diǎn)（異于，，點(diǎn)）在線段上，，，求的長．【答案】(1)7；(2)3或5【分析】（1）根據(jù)，，可求得，，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長．（2）點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，，，確定點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，即可求出AD的長．【詳解】（1），，，，如圖1，為中點(diǎn)，，，∴，∴，（2）Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，如圖2，或∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，或，，∴，∴，．∵，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．本題較難，需要想清楚各種情況是否存在．3．已知線段AB=12，CD=6，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)）．（1）當(dāng)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，AC=_________；（2）點(diǎn)P是線段AB延長線上任意一點(diǎn)，在（1）的條件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，當(dāng)BC=4時(shí)，求MN的長．【答案】（1）6（2）PA+PB–2PC=0；（3）MN=9．【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（2）由（1）得AC=AB，CD=AB，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；（3）需要分類討論：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，根據(jù)“M、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)”，先計(jì)算出AM、DN的長度，然后計(jì)算MN=AD-AM-DN；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長度．【詳解】（1）當(dāng)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，AC=AB﹣CD=6；故答案為6；（2）由（1）得AC=AB，∴CD=AB，∵點(diǎn)P是線段AB延長線上任意一點(diǎn)，∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；（3）如圖1，∵M(jìn)、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，∴AM=AC=（AB+BC）=8，DN=BD=（CD+BC）=5，∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；如圖2，∵M(jìn)、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，DN=BD=（CD﹣BC）=1，∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，比較線段的長短.利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．【新知理解】如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“和諧點(diǎn)”．(1)線段的中點(diǎn)

這條線段的“和諧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD＝12cm，點(diǎn)N是線段CD的和諧點(diǎn)，則CN＝

cm；(3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)：點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)直接寫出t為何值時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的和諧點(diǎn)．【答案】(1)是(2)6或4或8c(3)t為3或或或或或6【分析】（1）若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，則AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；（2）分①當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí)，CN＝＝6cm；②N為CD的三等分點(diǎn)，且N靠近C時(shí)，CN＝＝4cm；③N為CD的三等分點(diǎn)且N靠近D時(shí)，CN＝＝8cm．（3）分P為A、Q的和諧點(diǎn)，Q為A、P的和諧點(diǎn)，兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，滿足AB＝2AM＝2BM，∴線段的中點(diǎn)是這條線段的“和諧點(diǎn)”，故答案為：是；（2）解：①當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí)，CN＝＝6cm；②N為CD的三等分點(diǎn)，且N靠近C時(shí)，CN＝＝4cm；③N為CD的三等分點(diǎn)且N靠近D時(shí)，CN＝＝8cm．故答案為：6cm或4cm或8cm；（3）解：∵AB＝15cm，∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），由題意可知，A不可能為P、Q的和諧點(diǎn)，此情況排除；①P為A、Q的和諧點(diǎn)，有三種情況：1）P為中點(diǎn)，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；2）P為AQ的三等分點(diǎn)，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝3；3）P為AQ的三等分點(diǎn)，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；②Q為A、P的和諧點(diǎn)，有三種情況：1）Q為中點(diǎn)，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝6；2）Q為AP的三等分點(diǎn)，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝；3）Q為AP的三等分點(diǎn)，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝．綜上所述，t為3或或或或或6時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的和諧點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線段中點(diǎn)和三等分點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想求解．5．如圖，射線上有三點(diǎn)、、，滿足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、停止運(yùn)動(dòng).(1)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為秒，經(jīng)過多長時(shí)間、兩點(diǎn)相遇?(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段OB的中點(diǎn)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度;(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，分別取和的中點(diǎn)、，求的值.【答案】（1）45s;（2）或;(3)2【分析】（1）設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相遇，列出方程即可解決問題；（2）分兩種情形求解即可；（3）用t表示AP、EF的長，代入化簡即可解決問題；【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相遇，則t+2t=90+30+15，解得t=45，所以經(jīng)過45秒時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相遇．（2）①當(dāng)P在線段AB上時(shí)，∵AB=90，PA=2PB，∴PA=60，PB=30，∴OP=OA+AP＝30+60＝90，∴點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為90秒，∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ=OB=60，∴點(diǎn)Q的路程為CQ=CB+BQ＝15+60＝75，∴點(diǎn)Q是速度為cm/秒；②點(diǎn)P在線段AB延長線上時(shí)，∵AB=90，PA=2PB，∴BP=90,AP=180,∴OP=OA+AP=30+180=210,∴點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為210秒，∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ=OB=60，∴點(diǎn)Q的路程為CQ=CB+BQ＝15+60＝75，∴點(diǎn)Q是速度為cm/秒；（3）如圖所示：∵E、F分別是OP、AB的中點(diǎn)，∴OE=OP=t，∴OF=OA+AB=30+45=75，∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間距離、路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題.6．已知線段AB=m(m為常數(shù))，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且m=8時(shí)，則MN=______；(2)若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，請(qǐng)判斷CN+2AM-2MN的值是否與m有關(guān)？并說明理由.(3)若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，求