專題08直接開平方法和配方法解一元二次方程之五大考點(原卷版+解析)

專題08直接開平方法和配方法解一元二次方程之五大考點【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一解一元二次方程——直接開平方法】 1【考點二配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程】 3【考點三配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程】 4【考點四用配方法解一元二次方程錯解復(fù)原】 6【考點五利用配方法求多項式的最值問題】 9【過關(guān)檢測】 12【典型例題】【考點一解一元二次方程——直接開平方法】例題：（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）解關(guān)于的方程：．【變式訓(xùn)練】1.（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）解關(guān)于的方程：．2.（2023·上海·八年級假期作業(yè)）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【考點二配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）用配方法解關(guān)于的方程：．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解方程：．2.（2023秋·廣東東莞·九年級校聯(lián)考期末）解方程：．【考點三配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）用配方法解．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·八年級單元測試）用配方法解一元二次方程：．2.（2023春·江蘇南通·八年級?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【考點四用配方法解一元二次方程錯解復(fù)原】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程的過程：解：移項得配方：開平方得：移項：所以：，圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·河北滄州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問題：佳佳解一元二次方程的過程如下：解：①②③④．問題：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接開平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答過程中，從______步開始出現(xiàn)了錯誤（填序號），發(fā)生錯誤的原因是______；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．2.（2023春·八年級單元測試）用配方法解一元二次方程：．小明同學(xué)的解題過程如下：解：，小明的解題過程是否正確？若正確，請回答“對”；若錯誤，請寫出你的解題過程．【考點五利用配方法求多項式的最值問題】例題：（2023秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫作“配方法”．運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進(jìn)行因式分解，例如．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)分解因式：．(2)求多項式的最小值．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．52.（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因為，所以當(dāng)時，M有最小值5請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學(xué)考試）一元二次方程的根是（）A． B． C．， D．，2．（安徽省淮北市2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解關(guān)于x的一元二次方程時，配方后正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）下列配方有錯誤的是（）A．，化為B．，化為C．，化為D．，化為4．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）關(guān)于的一元二次方程的一個根是1，則的值是（

）A．4 B．2或 C．4或 D．5．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負(fù)責(zé)完成一個步驟，如圖所示，老師看后，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)所負(fù)責(zé)的步驟是錯誤的，則這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題6．（2023春·上海長寧·八年級上海市延安初級中學(xué)校考期中）方程的解是_________．7．（2023春·八年級課時練習(xí)）______________．8．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校⒎匠袒傻男问剑瑒t的值為________．9．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，則代數(shù)式的最小值等于__________．10．（2022秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若規(guī)定兩數(shù)x、y通過運算得，即；現(xiàn)已知，則_______．三、解答題11．（北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解方程：(1)；(2)12．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．13．（2023春·四川廣安·九年級四川省武勝烈面中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）根據(jù)要求解下列方程：(1)（直接開平方法）．(2)（配方法）．14．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）配方法解方程：．15．（2023春·安徽·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程：16．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）用配方法解方程：(1)；(2)．17．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料，并回答問題：小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時，解方程的過程如圖：

解決問題：(1)上述過程中，從第步開始出現(xiàn)了錯誤（填序號）；(2)發(fā)生錯誤的原因是：；(3)用你喜歡的方法寫出正確的解答過程．18．（2023春·福建寧德·八年級?？茧A段練習(xí)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．如：用配方法分解因式：解：原式請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)用配方法因式分解：．(2)若，求M的最小值．

專題08直接開平方法和配方法解一元二次方程之五大考點【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一解一元二次方程——直接開平方法】 1【考點二配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程】 3【考點三配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程】 4【考點四用配方法解一元二次方程錯解復(fù)原】 6【考點五利用配方法求多項式的最值問題】 9【過關(guān)檢測】 12【典型例題】【考點一解一元二次方程——直接開平方法】例題：（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】利用直接開方法求解即可．【詳解】解：整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：∴方程兩根為，．【點睛】本題考查直接開方法求解一元二次方程，理解并熟練運用直接開方法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】整理方程，得，進(jìn)而根據(jù)直接開平方法解一元二次方程JK【詳解】整理方程，得，直接開平方法解方程，得：，即方程兩根為，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2.（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）由，得或者，再解一次方程即可；（2）由，得，可得，再解一次方程即可；（3）由，得，從而可得答案；（4）由，得，即，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴或者，∴原方程的解為：，；（2）∵，∴，∴，解得：或，所以原方程的解為：，；（3）∵，∴，解得：．∴原方程的解為：；（4）∵，∴，∴，∴原方程的解為：．【點睛】本題主要考查利用因式分解法與直接開平方法求解一元二次方程，熟記因式分解法與直接開平方法解一元二次方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．【考點二配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）用配方法解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】先移項后，再配方得，再直接開方即可求解．【詳解】解：，移項得：，配方得：，即，，解得：，．【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)校考開學(xué)考試）解方程：．【答案】【分析】利用配方法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2.（2023秋·廣東東莞·九年級校聯(lián)考期末）解方程：．【答案】，【分析】根據(jù)配方法先配成：，然后解一元二次方程即可方法不唯一．【詳解】解：，，，，，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【考點三配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）用配方法解．【答案】【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，移項得，二次項系數(shù)化成1得，配方得，即∴，解得，．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·八年級單元測試）用配方法解一元二次方程：．【答案】，【分析】根據(jù)完全平方公式的形式進(jìn)行配方，由此即可求解．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，移項，得，配方，得，即，開平方，得，∴，，∴原方程的根是，．【點睛】本題主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·江蘇南通·八年級校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）先去括號，再利用配方法解一元二次方程即可得．【詳解】（1）解：，，，，即，，，所以方程的解為，．（2）解：，，，，，即，，，所以方程的解為，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的常用方法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法、換元法等）是解題關(guān)鍵．【考點四用配方法解一元二次方程錯解復(fù)原】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程的過程：解：移項得配方：開平方得：移項：所以：，圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．【答案】有錯誤，過程見解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法進(jìn)而分析得出答案．【詳解】解：圓圓的解答過程有錯誤，正確的解答過程如下：移項得：，配方：，，開平方得：，移項：，所以：，．【點睛】此題主要考查了解一元二次方程，正確掌握配方法解方程的步驟是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·河北滄州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問題：佳佳解一元二次方程的過程如下：解：①②③④．問題：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接開平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答過程中，從______步開始出現(xiàn)了錯誤（填序號），發(fā)生錯誤的原因是______；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．【答案】(1)B(2)②，等號右邊沒有加9(3)，．【分析】（1）利用配方法解方程的方法進(jìn)行判斷；（2）第2步方程兩邊都加上4，則可判斷從②步開始出現(xiàn)了錯誤；（3）利用配方法解方程的基本步驟解方程．【詳解】（1）解：佳佳解方程的方法為配方法；故選：B；（2）解：上述解答過程中，從②步開始出現(xiàn)了錯誤，發(fā)生錯誤的原因是方程右邊沒有加上9；故答案為：②；等號右邊沒有加9；（3）解：正確解答為：解：，移項得，配方得，即，∴，∴或，所以，．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．2.（2023春·八年級單元測試）用配方法解一元二次方程：．小明同學(xué)的解題過程如下：解：，小明的解題過程是否正確？若正確，請回答“對”；若錯誤，請寫出你的解題過程．【答案】錯誤，見解析【分析】運用配方法解答該方程即可判定正誤．【詳解】解：錯誤，正確解法如下：解得，．【點睛】本題主要考查了運用配方法解一元二次方程，掌握配方法成為解答本題的關(guān)鍵．【考點五利用配方法求多項式的最值問題】例題：（2023秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫作“配方法”．運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進(jìn)行因式分解，例如．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)分解因式：．(2)求多項式的最小值．【答案】(1)(2)-23【分析】（1）先利用完全平方公式進(jìn)行配方，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行配方，根據(jù)平方的非負(fù)性即可得出答案．【詳解】（1）解：原式．（2）解：，，，多項式的最小值為．【點睛】本題考查利用完全平方公式進(jìn)行配方以及利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握兩個公式及其特點是本題解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．5【答案】A【分析】利用配方法對代數(shù)式做適當(dāng)變形，通過計算即可得到答案．【詳解】代數(shù)式∵，∴即代數(shù)式，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質(zhì)，從而完成求解．2.（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因為，所以當(dāng)時，M有最小值5請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次項系數(shù)一半的平方即可；（2）利用配方法分解因式即可；（3）利用配方法得到，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定M的最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：16；（2）解：；（3）解：∵，∴當(dāng)時，M有最小值．【點睛】本題考查了因式分解?配方法等，熟練掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學(xué)考試）一元二次方程的根是（）A． B． C．， D．，【答案】B【分析】利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：，解得：．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙鉀Q此題的關(guān)鍵．2．（安徽省淮北市2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解關(guān)于x的一元二次方程時，配方后正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用完全平方公式進(jìn)行配方即可得．【詳解】解：，，，故選：A．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）下列配方有錯誤的是（）A．，化為B．，化為C．，化為D．，化為【答案】D【分析】根據(jù)配方法的一般步驟對各選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、由可化為，所以A選項的計算正確，不合題意；B、由可化為，所以B選項的計算正確，不合題意；C、先化為，則可化為，所以C選項的計算正確，不合題意；D、先化為，則可化為，所以D選項的計算錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．4．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）關(guān)于的一元二次方程的一個根是1，則的值是（

）A．4 B．2或 C．4或 D．【答案】C【分析】將方程的根代入求解即可得到答案；【詳解】解：∵的一個根是1，∴，解得：，故選C．【點睛】本題考查根據(jù)一元二次方程的根求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是將根代入列式求解．5．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負(fù)責(zé)完成一個步驟，如圖所示，老師看后，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)所負(fù)責(zé)的步驟是錯誤的，則這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟即可得出結(jié)果．【詳解】解：∴解得：,丁同學(xué)是錯的，故選：D．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·上海長寧·八年級上海市延安初級中學(xué)?？计谥校┓匠痰慕馐莀________．【答案】【分析】先將原方程變形為，再降次求解即可．【詳解】解：方程即為，∴或（此方程無解，舍去），∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了解高次方程，掌握降次解答的方法是關(guān)鍵．7．（2023春·八年級課時練習(xí)）______________．【答案】【分析】運用完全平方公式進(jìn)行配方即可解答．【詳解】．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了配方法，正確運用完全平方公式進(jìn)行配方是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校⒎匠袒傻男问?，則的值為________．【答案】5【分析】利用解一元二次方程配方法，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：，∴，∴，∴，∴，，∴故答案為：5．【點睛】本題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，則代數(shù)式的最小值等于__________．【答案】【分析】將代入代數(shù)式，根據(jù)配方法即可求解．【詳解】解：∵∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若規(guī)定兩數(shù)x、y通過運算得，即；現(xiàn)已知，則_______．【答案】7【分析】先由解出m的值，代入所求式子計算可得結(jié)果．【詳解】解：解得，故答案為：7【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，把新定義運算轉(zhuǎn)化為常規(guī)運算是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解方程：(1)；(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用直接開平方法，即可解方程；（2）利用配方法，即可解方程．【詳解】（1）解：，移項得，系數(shù)化為1得解得，（2）解：，移項得，配方得，即，開方得，解得，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練挑選正確地方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先方程兩邊同時乘以3，變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．（2）先把方程變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：或，，；（2）解：或，．【點睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開平方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·四川廣安·九年級四川省武勝烈面中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）根據(jù)要求解下列方程：(1)（直接開平方法）．(2)（配方法）．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)平方根的定義，原方程變形求解；（2）根據(jù)完全平方公式，將原方程變形為形式，開方求解．【詳解】（1）解：∴，（2）解：∴或∴，【點睛】本題考查直接開平方法，配方法求解一元二次方程，熟練完全平方公式是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）配方法解方程：．【答案】，【分析】方程移項變形后，利用完全平方公式化簡，開方即可求出解．【詳解】解：，∴，∴，∴，∴，解得：，．【點睛】此題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握配方法的依據(jù)：完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15．（2023春·安徽·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練