第16章《二次根式》知識講練(學生版+解析)

2023-2024學年滬教版數(shù)學八年級上冊章節(jié)知識講練知識點01：二次根式的相關概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.易錯點撥：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.易錯點撥：（1）一個非負數(shù)可以寫成它的算術平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3.最簡二次根式1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.易錯點撥：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.易錯點撥：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點02：二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術平方根化簡公式：易錯點撥：（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.易錯點撥：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）下列各式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2分）（2016秋?閔行區(qū)期末）下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．3．（2分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．4．（2分）（2022秋?寶山區(qū)期末）如果y＝，則x+y的值為（）A． B．1 C． D．05．（2分）（2021秋?金山區(qū)期末）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．6．（2分）（2021秋?寶山區(qū)期末）在下列各組根式中，是同類二次根式的是（）A．和 B．和 C．和 D．和7．（2分）（2022秋?靜安區(qū)校級期中）下列運算正確的是（）（1）＝1.5﹣0.5＝1（2）（3）（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2分）（2022秋?楊浦區(qū)期末）下列二次根式中，與屬同類二次根式的是（）A． B． C． D．9．（2分）（2022秋?黃浦區(qū)月考）下列各式運算正確的是（）A． B． C． D．10．（2分）（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）在式子、、、中，是最簡二次根式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)期末）計算：＝．12．（2分）（2022秋?寶山區(qū)期末）要使式子有意義，x的取值范圍是．13．（2分）（2022秋?閔行區(qū)校級期中）如果＝2﹣a，那么a的取值范圍是．14．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）的一個有理化因式是．15．（2分）不等式x﹣3x＜6的解集是．16．（2分）（2022春?閔行區(qū)校級期中）已知0＜a＜1，且a+＝7，則﹣的值為．17．（2分）（2022秋?嘉定區(qū)校級月考）最簡二次根式與是同類二次根式，則a+b＝．18．（2分）（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）若兩個最簡二次根式與是同類二次根式，則a＝．19．（2分）（2022秋?閔行區(qū)校級期中）不等式的解集是．20．（2分）（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（4分）（2022秋?寶山區(qū)期末）計算：．22．（4分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）計算：．23．（6分）（2021秋?寶山區(qū)校級月考）三角形的周長為（5+2）cm，面積為（10+4）cm2，已知兩邊的長分別為cm和cm，求：（1）第三邊的長；（2）第三邊上的高．24．（8分）（2021秋?普陀區(qū)校級月考）已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡﹣|c﹣a|+（10分）（2022秋?閔行區(qū)期中）（1）計算：；計算：（其中x＞0）．（8分）（2022秋?靜安區(qū)校級期中）（1）計算：；計算：．27．（10分）（2022秋?浦東新區(qū)期中）觀察下列運算：（1）由，得﹣1（2）由，得……問題：（1）通過觀察你得出什么規(guī)律？用含n的式子表示出來；（2）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：．28．（10分）（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）先化簡，再求值：[﹣﹣]÷（﹣）?（+），其中x＝3，y＝2．

2023-2024學年滬教版數(shù)學八年級上冊章節(jié)知識講練知識點01：二次根式的相關概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.易錯點撥：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.易錯點撥：（1）一個非負數(shù)可以寫成它的算術平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3.最簡二次根式1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.易錯點撥：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.易錯點撥：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點02：二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術平方根化簡公式：易錯點撥：（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.易錯點撥：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）下列各式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．解：A、與不是同類二次根式；B、與是同類二次根式；C、與不是同類二次根式；D、與不是同類二次根式；故選：B．2．（2分）（2016秋?閔行區(qū)期末）下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．解：A、原式＝2；B、原式＝；C、原式＝；D、原式＝3．故選：A．3．（2分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．解：因為：A、＝；B、＝2；D、＝|b|；所以這三項都可化簡，不是最簡二次根式．故選：C．4．（2分）（2022秋?寶山區(qū)期末）如果y＝，則x+y的值為（）A． B．1 C． D．0解：∵3﹣2x≥0，2x﹣3≥0，則x≥，x≤，解得：x＝，故y＝0，則x+y＝+0＝．故選：A．5．（2分）（2021秋?金山區(qū)期末）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．解：A、＝3，不符合題意；B、＝a，不符合題意；C、＝，不符合題意；D、是最簡二次根式，符合題意．故選：D．6．（2分）（2021秋?寶山區(qū)期末）在下列各組根式中，是同類二次根式的是（）A．和 B．和 C．和 D．和解：A、＝，故與是同類二次根式，故A符合題意．B、＝，故與不是同類二次根式，故B不符合題意．C、＝2，故與不是同類二次根式，故C不符合題意．D、與不是同類二次根式，故D不符合題意．故選：A．7．（2分）（2022秋?靜安區(qū)校級期中）下列運算正確的是（）（1）＝1.5﹣0.5＝1（2）（3）（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：（1）＝＝，故此選項不合題意；（2）2＝＝，故此選項不合題意；（3）＝|x﹣5|，故此選項不合題意；（4）﹣x＝﹣，故此選項符合題意；故選：A．8．（2分）（2022秋?楊浦區(qū)期末）下列二次根式中，與屬同類二次根式的是（）A． B． C． D．解：A、原式＝3，不符合題意；B、原式＝3|a|，不符合題意；C、原式＝3|b|，不符合題意；D、原式＝3|b|，符合題意．故選：D．9．（2分）（2022秋?黃浦區(qū)月考）下列各式運算正確的是（）A． B． C． D．解：A、與不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、（）＝2﹣1，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選：C．10．（2分）（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）在式子、、、中，是最簡二次根式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：是最簡二次根式，＝0.5，不是最簡二次根式，＝＝|x+1|，不是最簡二次根式，是最簡二次根式，∴最簡二次根式有2個．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)期末）計算：＝．解：＝＝．故答案為：．12．（2分）（2022秋?寶山區(qū)期末）要使式子有意義，x的取值范圍是x≥5．解：要使式子有意義，則x﹣5≥0，解得：x≥5．故答案為：x≥5．13．（2分）（2022秋?閔行區(qū)校級期中）如果＝2﹣a，那么a的取值范圍是a≤2．解：∵＝2﹣a，∴2﹣a≥0，解得：a≤2．故答案為：a≤2．14．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）的一個有理化因式是﹣1．解：∵（﹣1）（+1）＝﹣1＝x﹣1，∴+1的一個有理化因式為﹣1．故答案為：﹣1．15．（2分）不等式x﹣3x＜6的解集是．解：，即∵，∴，∴．故答案為：．16．（2分）（2022春?閔行區(qū)校級期中）已知0＜a＜1，且a+＝7，則﹣的值為﹣．解：∵0＜a＜1，∴＜，∴﹣＜0，∵a+＝7，∴（﹣）2＝a﹣2+＝5，∴﹣＝﹣，故答案為：﹣．17．（2分）（2022秋?嘉定區(qū)校級月考）最簡二次根式與是同類二次根式，則a+b＝2．解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得：，則a+b＝2．故答案為：2．18．（2分）（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）若兩個最簡二次根式與是同類二次根式，則a＝2．解：∵3a﹣1＝11﹣3a，∴6a＝12，∴a＝2．故答案為：2．19．（2分）（2022秋?閔行區(qū)校級期中）不等式的解集是x＜﹣﹣．解：，x﹣x＜﹣1，x＜﹣，x＜﹣﹣．故答案為：x＜﹣﹣．20．（2分）（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為5．解：∵＝＝2，且是整數(shù)；∴2是整數(shù)，即5n是完全平方數(shù)；∴n的最小正整數(shù)值為5．故答案為：5．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（4分）（2022秋?寶山區(qū)期末）計算：．解：原式＝（4）2﹣72++＝48﹣49++＝﹣1++．22．（4分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）計算：．解：＝﹣﹣2（2+）+1＝2﹣﹣4﹣2+1＝﹣．23．（6分）（2021秋?寶山區(qū)校級月考）三角形的周長為（5+2）cm，面積為（10+4）cm2，已知兩邊的長分別為cm和cm，求：（1）第三邊的長；（2）第三邊上的高．解：（1）∵三角形周長為cm，兩邊長分別為cm和cm，∴第三邊的長是：cm；（2）∵面積為（10+4）cm2，∴第三邊上的高為＝（2+4）cm．24．（8分）（2021秋?普陀區(qū)校級月考）已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡﹣|c﹣a|+解：由數(shù)軸可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b25．（10分）（2022秋?閔行區(qū)期中）（1）計算：；（2）計算：（其中x＞0）．解：（1）原式＝﹣2×+＝﹣+2﹣2+1＝3﹣2；（2）原式＝3＝．26．（8分）（2022秋?靜安區(qū)校級期中）（1）計算：；（2）計算：．解：（1）原式＝3﹣2+1﹣2（+1）﹣（3﹣1）＝3