初中幾何導角問題

幾何導角基礎技巧

常見幾何導角模型

1.外角性質（小旗模型）

如圖（a）：NBCD=ZA+NB

由ZA+ZB+ZACB=180和ZBCD+ZAC8=180得:

NBCD=NA+NB

2.“飛鏢”模型

如圖（b）：ZBDC=ZABD+ZA+ZACD

證明思路：

延長BD交AC于點E,在ACDE和\ABE中，

由ZABD+ZA=ZBEC和NBEC+ZACD=ZBDC得:

NBDC=ZABD+NA+ZACD

3.“8”字模型

如圖（c）：ZA+ZB=ZC+ZD

證明思路：由NA+N8+NA08=180,

ZC+ZD+ZCOD=180,ZAOB=ZCOD

可得，ZA+ZB=ZC+ZD?

4.“內角平分線”模型

點P是NABC和NACB的角平分線的交點。

如圖（d）：ZP=90c+-ZA

2

證明思路：由“飛鏢”模型可得：

ZP=ZA+NABP+NACP

再利用角平分線的性質可得:

ZABP+ZACP=-(180°-ZA),進而可得：ZP=90°+-ZA

22

5.“內外平分線”模型

點P是ZABC和外角ZACD的角平分線的交點

如圖（e）：ZP=-ZA

2

證明思路：由“小旗”模型可得：

NPCD=NPBC+NP,

2ZPCD=ZABC+ZA=2ZPBC+ZA

即可得出：

ZP=-ZA

2

6.“外角平分線”模型

點P是外角NCBF和外角NBCE的角平分線的交點

如圖(f)：NP=90°—工/A

2

證明：NP=18(1—(NP3C+ZPCB)

=180°-1(ZFBC+ZECB)

=180°-1(2ZA+ZABC+ZACB)

=180,—g(NA+180°)

=90」NA

2

技巧與方法

三角形中倒角技巧及角分線重要結論

幾何倒角技巧：

1.三角形內角和：三角形的內角和為180°

2.三角形外角定理：三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角之和

3.角平分線：角的角平分線把這個角分為兩個完全相等的角

4.直角三角形：直角三角形兩銳角互余

5.平行線：平行線的性質

6等腰三角形：三角形等邊對等角，底角相等

7.四邊形內角和：四邊形內角和為360°

8.三角形兩大基本模型：“8字”模型和“飛鏢”模型的角度關系

9.方程思想：設角度為未知數(shù)，利用上述倒角技巧找出等量關系

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c=a+bc

A

知識點：三角形的高、中線和角平分線

1三角形的高

從AABC的其中一個頂點向它所對的邊畫垂線，交點作為垂足，

連接頂點到垂足的線段叫做AABC的高.每個三角形都有3條高.

(1)線段垂直(2)角度相等

知識點：三角形的高、中線和角平分線

2三角形的中線

連接AABC其中一個頂點和它所對的邊的中點的線段叫做

△ABC的中線.

知識點：三角形的高、中線和角平分線

3三角形的角平分線

把AABC任意一個內角平分為兩個相等的小角的線段叫做

MBC的角平分線。

(1)角度相等

題型：三角形的高、中線和線段的應用

題型典例

1、如圖，在aABC中，CE1AB,AD1BC,且AB=3,BC=6,則CE和AD有

怎樣的數(shù)量關系。

解：根據(jù)SAABC=*DXBC=[CEXAB,得:

題型典例

2、康樂村張大爺?shù)膬蓚€兒子都長大成人了，準備分家。于是張大爺準

備把如圖的?塊三角形宅基地平均分給兩個兒廣，兩個兒上要求分成

的兩塊宅基地仍然是:角形,請你梢助張大爺提出種平分的方案。

BDC

題型：三角形的高、中線和線段的應用

題型典例

3、如圖,已知AE是4ABD的角平分線，AF是AACD的角平分線，則下

列結論不正確的是（C）。

A.乙EAF=；UAB

K.4IMF=十""：

B

DFC

C.LDAF^-LEAF

I）.乙￡"）二+乙HI。

士維：三角形的角平分現(xiàn)平分三角形的一個內角，運用三

向形的角平分線判斷用的關系時會結合圖形的A觀性A晚宴.

三角形中倒角技巧及角分線重要結論

幾何倒角技巧：

1、三角形內角和：三角形的內角和為180。.

2、三角形外角定理：三角形的外角等于與之

不相鄰的兩個內角之和.

3、角平分線：角的角平分線把這個角分成兩

個完全相等的角.

4、直角三角形：直角三角形兩銳角互余.

5、平行線：平行線的性質.

■

6、等腰三角形：三角形等邊對等角，底角

=90°-；頂角，頂角=180。-2底角.

7、四邊形內角和：四邊形內角和360。.

8、三角形兩大基本模型：”8字”模型和“飛鏢”

模型的角度關系.

9,方程思想：設角度為未知數(shù)，利用上述倒

角技巧找出等量關系.

10、三角形常見倒角構圖：

題型一：三角形中角的關系問題及角分線性質

【例I】⑴已知，如圖，在△/1"，中，

^C=ZABC=2ZA,BDLAC,

則NDBC=

D

BC

⑵等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角

為3。，則頂角的度數(shù)為

⑶如圖，在△T5C中,點/)是5c上一點

NB4O=80。，AB=AD=DC,則

ZC=______度.

1)

(4)如圖，〃處在.4處的南偏西57的方向，C

處在A處的南偏東15°方向，C

■處在/，處的北偏東82方向.求NC的度數(shù).

1

⑸如圖，把AzlH紙片沿/）￡折疊，當點.4落

在四邊形。（?！陜炔繒r，則44與N1+N2

之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，你發(fā)

現(xiàn)的規(guī)律是（

BEA.ZL4=Z1+Z2

B.2Z4=Z1+Z2

C.3zi4=2Zl+Z2

DD.3乙1=2（NI+N2）

【例2】如下圖，△48(.是等邊三角形，

Z.CBF：Z/1CO:NBAE=1：2：2,

NDEF-NDFE=38°.求出△D￡T的每個

內角度數(shù).

A

⑵若點M在射線8r上運動（不與點。重

合），其它條件不變，NOME的大小是

否隨點M的位置變化而變化？清畫出圖

形，給出你的結論，并說明理由.

:-

【例4】如圖，點￡在C4延長線上OE、.48交于廠,

ZBDE=Z.AEF.ZB=ZC.

⑴說明.18與CD的位置關系，并予以證明:

⑵NE4尸與N3O尸的平分線交于點G,若

的補角比NF"的余角小10。，

求NG的度數(shù)

?蕤簿修藪一藪I

⑶在⑵的條件下，若M為線段。尸上一點,

戶為線段OC上一動點，0為射線PC上

一點，且滿足NWQP=N0MP,MN為

NFMP的平分線，當尸點在線段(7)上運

動時，求NN31。的度數(shù).

【例5】(2)如圖，△48C中,N48c的角平分線與外

角乙1(7)的角平分線交于4.

①請推導出N4與乙之間的數(shù)量關系，

并分別計算出當N.4分別為70。，8()。時乙4

的度數(shù)：

②NJ0C的角平分線與41。的角平分線

交于4,乙1/C與乙I?。)的平分線交于.

如此收續(xù)木去可得,4..........A,,謂直接

寫出乙1“與乙d的數(shù)量關系.

【例5】③如圖，對于任意若￡為84延長線

上一動點，連￡（144￡C與N4CE的角平

分線交于Q,當￡滑動時請說明+