5.7 三角函數(shù)的應用（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練（必修一）

5.7三角函數(shù)的應用（精練）1在幾何中的應用1．（2022廣東）如圖，在扇形POQ中，半徑，圓心角，B是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形．其中CD在半徑OQ上，記．（1）當時，求矩形ABCD的面積；（2）求當角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大值．【答案】（1）；（2）當時，矩形ABCD的面積，最大面積為．【解析】（1）在中，，，在中，，所以，所以，設矩形ABCD的面積為S，則.（2）在中，，．在中，，所以，所以，設矩形ABCD的面積為S，則，，由，得，所以當，即時．因此，當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為．2．（2022·江蘇·徐州中學高一開學考試）如圖，正方形ABCD邊長為5，其中AEF是一個半徑為4的扇形，在弧EF上有一個動點Q，過Q作正方形邊長BC，CD的垂線分別交BC，CD于G，H，設，長方形QGCH的面積為S.（1）求關于的函數(shù)解析式；（2）求的最大值.【答案】（1），；（2）5.【解析】⑴，則在豎直方向上的投影的長度為，在水平方向上的投影長度為，故，，，，整理得：，；（2），，令，即，平方可得，當時，可求得.，，根據(jù)二次函數(shù)對稱性可知，當時，.3．（2022·江西省萬載中學高一階段練習）如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費是2萬元/km，水下電纜的修建費是4萬元/km，假設兩岸是平行直線（沒有彎曲），設∠CAD=θ，鋪設電纜總施工費用為y元.(1)求y關于θ的函數(shù)關系式.(2)應該鋪設地下電纜BD多長時方可使總施工費用y達到最小.【答案】(1)，其中(2)【解析】（1）由題可知，，其中（2）由（1）可得因為，所以，設，則，即，因為，所以，解得，，此時，，滿足，故當時，總施工費用y達到最小，所以2在生活中的應用1．（2022廣西）（多選）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉動一圈，如果當水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則（）．A．點第一次到達最高點需要20秒B．當水輪轉動155秒時，點距離水面2米C．當水輪轉動50秒時，點在水面下方，距離水面2米D．點距離水面的高度（米）與（秒）的函數(shù)解析式為【答案】ABC【解析】設點距離水面的高度（米）和時間（秒）的函數(shù)解析式為，由題意得：解得故．故D錯誤；對于A，令，即，解得：，故A正確；對于B，令，代入，解得：，故B正確；對于C，令，代入，解得：，故C正確．故選：ABC2．（2022·廣東清遠·高一期中）（多選）如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距水面2m，已知水輪每分鐘轉5圈，水輪上的點P到水面距離y（m）與時間x（s）滿足關系式，則有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由題意可知，可得，該函數(shù)的周期為，∴.故選：BCD.3．（2021·全國·高一專題練習）游樂場中的摩天輪勻速旋轉，每轉一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑40米．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請解答下列問題：（1）你與地面的距離隨時間的變化而變化，這個現(xiàn)象是周期現(xiàn)象嗎？（2）轉四圈需要多少時間？（3）你第四次距地面最高需要多少時間？（4）轉60分鐘時，你距離地面是多少？【答案】（1）是周期現(xiàn)象；（2）48（分鐘）；（3）42（分鐘）；（4）0.5（米）．【解析】（1）游樂場中的摩天輪勻速旋轉，每轉一圈需要12分鐘，其中心距離地面40.5米，半徑40米，從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，利用三角函數(shù)的周期性得到你與地面的距離隨時間的變化而變化，這個現(xiàn)象是周期現(xiàn)象．（2）每轉一圈需要12分鐘，轉四圈需要分鐘．（3）游樂場中的摩天輪勻速旋轉，每轉一圈需要12分鐘，其中心距離地面40.5米，半徑40米，出發(fā)后6分鐘時，摩天輪第一次到達最高點，你第四次距地面最高需要：分鐘．（4）由已知可設，，由周期為12分鐘可知，當時，摩天輪第一次到達最高點，即函數(shù)第一次取得最大值，所以，即，，轉60分鐘時，你距離地面高度為：（米)．4．（2022·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.(1)求，，，；(2)求這一天時的最大溫差近似值.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)，，，(2)【解析】(1)由圖象可知：，，最小正周期，，，；，，，解得：，又，.(2)由圖象可知：在上單調遞減，在上單調遞增，，，，即這一天時的最大溫差近似值為.5．（2021·陜西師大附中高一期中）如圖，公園摩天輪的半徑為40米，圓心距地面的高度為50米，摩天輪做勻速轉動每2分鐘轉一圈．某人從摩天輪的最低點處登上摩天輪并開始計時，已知經過t分鐘時，此人距離地面的高度為y米，且．(1)求的解析式．(2)當離地面米以上時，可以看到公園的全貌，求轉一圈中此人有多長時間可以看到公園的全貌？【答案】(1)(2)分鐘【解析】(1)由題意可得，所以，又，即，因為，所以，所以；(2)由題可得，即，解得，即，因為，所以轉一圈中此人有分鐘可以看到公園的全貌.3在物理上的應用1．（2021·全國·高一專題練習）如圖所示為一質點做簡諧運動的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．該質點的振動周期為 B．該質點的振幅為C．該質點在和時振動速度最大 D．該質點在和時的振動速度為0【答案】B【解析】由圖象可知周期是，A錯，振幅為，B正確；曲線上各點處的切線的斜率（導數(shù)值）才是相應的速度，質點在和時振動速度為0，C錯，質點在和時的振動速度不為0，D錯．故選：B．2．（2022·湖南·高一課時練習）電流隨時間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時的電流為______．【答案】【解析】由函數(shù)的圖象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案為：.3．（2021·全國·高一專題練習）某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星的亮度與時間之間關系的一個三角函數(shù)為________．【答案】【解析】設所求函數(shù)為，由題意得，即，，，故．故答案為：4．（2022·陜西）如圖，一根長l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個小鋼球，當小鋼球做單擺運動時，離開平衡位置的位移S（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系可近似的表示為，其中.(1)當時，小鋼球離開平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小鋼球擺動的周期是1s，則線的長度l應該為多少cm（精確到0.1cm）？【答案】(1)1.5cm；(2).【解析】(1)在函數(shù)中，當時，，所以當時，小鋼球離開平衡位置的位移S是1.5cm.(2)依題意，，而周期，又，則，即，解得()，所以線的長度l應該為.5（2022·江蘇）若單擺中小球相對靜止位置的位移隨時間的變化而周期性變化，如圖所示，請回答下列問題：(1)單擺運動的周期是多少？(2)從點算起，到曲線上的哪一點表示完成了一次往復運動？如從點算起呢？(3)當時，單擺小球相對于靜止位置的位移是多少？【答案】(1)(2)從點算起，到曲線上的點表示完成了一次往復運動;從點算起，到曲線上的點表示完成了一次往復運動(3)【解析】(1)從題圖可以看出，單擺運動的周期是；(2)若從點算起，到曲線上的點表示完成了一次往復運動；若從點算起，到曲線上的點表示完成了一次往復運動；(3)，所以小球經過相對于靜止位置的位移是．6（2022·河南·高一階段練習）如圖，某個彈簧振子（簡稱振子）在完成一次全振動的過程中，時間（單位：）與位移（單位：）之間的對應數(shù)據(jù)如表所示，其變化規(guī)律可以用來刻畫．t0.000.100.200.300.400.500.60y10.320.010.3(1)試確定位移關于時間的函數(shù)關系式；(2)在理想狀態(tài)下，經過10秒，該彈簧振子的位移和路程分別是多少？（精確到0.1）【答案】(1)(2)彈簧振子的位移是，路程為【解析】(1)由數(shù)據(jù)表可知，．振子的周期為0.60s，所以，解得．所以，因為時，．所以，，，因為，所以．所以位移y關于時間t的函數(shù)解析式為．(2)當時，，所以該彈簧振子的位移是10mm．因為10秒內，該彈簧振子經過了個周期，所以該彈簧振子經過的路程為．7．（2022·湖南·高一課時練習）如圖為某簡諧振動的圖象，它符合（，，）的形式．(1)求該簡諧振動的振幅、周期、頻率和初相；(2)求該簡諧振動的函數(shù)解析式；(3)求該函數(shù)的單調遞增區(qū)間．【答案】(1)振幅，周期，頻率為，初相位為.(2)(3)【解析】(1)由圖象可得振幅，，故周期，所以頻率為，又，故，所以，而，故，故初相位為：.(2)由（1）可得.(3)因為，故令，解得，故該函數(shù)的增區(qū)間為.8．（2021·全國·高一專題練習）用彈簧掛著的小球做上下運動，它在t秒時相對于平衡位置的高度h厘米由下列關系式確定：．以t為橫坐標，h為縱坐標，作出這個函數(shù)在上的圖象，并回答下列問題．(1)小球在開始振動時（即時）的位置在哪里？(2)小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分