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文檔簡介

§1.4標量場的梯度一、等值面1、等值面標量場:用一個標量函數(shù)來表示，在直角坐標系中表示為：標量場中量值相等的點構(gòu)成的面，稱為標量場的等值面。例如，在溫度場中，由溫度相同的點構(gòu)成等溫面；在電位場中，由電位相同的點構(gòu)成等位面。2、等值面方程

常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族，等值面族充滿整個場空間，且不同的等值面互不相交。二、方向?qū)?shù)1、方向?qū)?shù)的定義

考慮標量場中兩個等值面標量函數(shù)沿給定方向的變化率：稱為標量函數(shù)在P沿方向的方向?qū)?shù)。2、方向?qū)?shù)在直角坐標系中的表示其中，是的方向余弦：3、方向?qū)?shù)的性質(zhì)方向?qū)?shù)是標量場在點P處沿方向?qū)嚯x的變化率。標量場中，在給定點P處沿不同方向的方向?qū)?shù)不相同。二、梯度

1、梯度的定義標量場的梯度：是一個矢量，其方向為標量場變化率最大的方向、大小則等于其最大變化率，即2、梯度在坐標系下的表示記為在直角坐標系中的表示在圓柱坐標系中的表示在球坐標系中的表示3、梯度的性質(zhì)標量場的梯度是一個矢量場。標量場在給定點處沿某方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。標量場中某點處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向增加的方向。4、梯度運算的基本公式【例題1】求證【證明】在球坐標系下：所以【例題2】求無界空間中的點電荷q所產(chǎn)生的電位的梯度。【解】無界空間中的點電荷q所產(chǎn)生的電位為：所以【例題3】求數(shù)量場φ=(x+y)2-z通過點M(1,0,1)的等值面方程。

【解】點M的坐標是x0=1,y0=0,z0=1，則該點的數(shù)量場值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為【解】l方向的方向余弦為

【例題4】求數(shù)量場在點M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。

而數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為在點M處沿l方向的方向?qū)?shù)

【例題5】設(shè)標量函數(shù)r是動點M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，證明：【證】因為同理所以

【例題6】求r在M(1，0，1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)?！窘狻奎cM處的坐標為x=

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