湖南省長(zhǎng)沙市2025屆高三8月入學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬參考答案

湖南省長(zhǎng)沙市2025屆高三8月入學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬參考答案1．A【分析】根據(jù)求出1+iz，求出iz，求出，求出.【詳解】由，有1+iz∴iz=∴z故選：B．2．B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合N，進(jìn)而求交集.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.3．A【分析】利用二倍角的余弦公式計(jì)算得解.【詳解】由，得.故選：A4．C【分析】結(jié)合百分位數(shù)的定義，直接求解即可.【詳解】將此組數(shù)據(jù)從小到大排列：14,16,17,18,19,20,21,21,22,23，且共有10個(gè)數(shù)，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為.故選：C.5．D【分析】由條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)求.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，又，所以，所以，又，所以.故選：D.6．B【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得解.【詳解】對(duì)于AC，，AC不是；對(duì)于BD，，B是，D不是.故選：B7．D【分析】根據(jù)線(xiàn)面角以及線(xiàn)線(xiàn)角的定義可得，即可由銳角三角函數(shù)表示結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由于平面，故,故由于的大小不確定，所以無(wú)法確定的大小，故的大小不確定，A錯(cuò)誤，由于,故，由于均為銳角，所以也是銳角，故，即.故選：D8．D【分析】由已知結(jié)合直線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)先求出，然后結(jié)合拋物線(xiàn)的定義即可求解.【詳解】曲線(xiàn)表示拋物線(xiàn)與，由得，因?yàn)?，所以，可得拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，曲線(xiàn)與直線(xiàn)有3公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，把代入得，則，解得，由對(duì)稱(chēng)性可知，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則，若為定值，則為定值，則點(diǎn)分別為拋物線(xiàn)與的焦點(diǎn)，此時(shí)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到軸距離與其焦點(diǎn)距離差的2倍，即.故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．9．AD【分析】通過(guò)計(jì)算找到數(shù)列的周期即可得出所求的答案．【詳解】由，，得：，，，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，所以，故選：AD．10．ACD【分析】由的范圍可得的取值范圍，然后對(duì)其分類(lèi)可得方程所表示的曲線(xiàn)．【詳解】解：是任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，方程所表示的曲線(xiàn)是圓；當(dāng)且不等于1時(shí)，方程所表示的曲線(xiàn)是橢圓；當(dāng)時(shí)，方程所表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，方程所表示的曲線(xiàn)是兩條直線(xiàn)．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)與方程，考查了圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題．11．ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：設(shè)，可得，結(jié)合錐體的體積公式運(yùn)算求解；對(duì)于C：分析可知為正八面體的外接球的球心，且半徑，進(jìn)而可得表面積；對(duì)于D：分析可知為正八面體的內(nèi)切球的球心，內(nèi)切球的半徑即為點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法求半徑，即可得體積.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知：正八面體的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以其表面積為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)，則為的中點(diǎn)，且平面，可知，可得，所以正八面體的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B可知：，即為正八面體的外接球的球心，且半徑，所以正八面體的外接球的的表面積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：為正八面體的內(nèi)切球的球心，則內(nèi)切球的半徑即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，因?yàn)?，即，解得，所以正八面體的內(nèi)切球的體積為，故D正確；故選：ACD.12．2【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式即可代入求解.【詳解】由，得，將，代入得，解得.故答案為：213．14【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出.【詳解】由的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第8項(xiàng)，得的展開(kāi)式共有15項(xiàng)，所以.故答案為：1414．【分析】由題意可知，若，當(dāng)為最大值時(shí)，即在的切點(diǎn)處的切線(xiàn)與平行，因此求出時(shí)，在處的導(dǎo)數(shù)，即可求出，根據(jù)，求出，最后根據(jù)，即可求解.【詳解】令，，令，得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，，，所以的另一個(gè)根在，因?yàn)?，若的最大值?，則和不能同時(shí)大于0，令，在上單調(diào)遞增，設(shè)，，的最大值為5，即時(shí)，上的一點(diǎn)切線(xiàn)和平行，此時(shí)這一切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，而，因此，由此可得，解得，故，，即，得，，解得：，或，因?yàn)椋?故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是確定最大時(shí)，是與平行時(shí)，的切線(xiàn)的切點(diǎn)，從而可以求出.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和得到，由輔助角公式得到，求出；（2）由基本不等式求出，得到面積的最大值.【詳解】（1），由正弦定理得，其中，故，故，因?yàn)椋?，故，由輔助角公式得，即，因?yàn)?，所以，所以，解得；?），，由余弦定理得，即，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，解得，僅當(dāng)時(shí)取等，故的面積，最大值為.16．(1)或(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出即可得解；（2）由題意可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值即可.【詳解】（1）∵的周長(zhǎng)為8，的最大面積為，∴，解得，或，．∴橢圓C的方程為或等．（2）

由（1）及易知F21,0不妨設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，，Mx1,y1聯(lián)立，得．則，，若的內(nèi)心在x軸上，則，∴，即，即，可得．則，得，即．當(dāng)直線(xiàn)MN垂直于x軸，即時(shí)，顯然點(diǎn)也是符合題意的點(diǎn)．故在x軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在x軸上.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線(xiàn)面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則，又，則，四邊形為平行四邊形，于是，平面平面，平面平面，則平面，所以平面，而平面，因此，由四邊形為菱形，得，又平面，所以平面.（2）依題意，為等邊三角形，連接，，平面平面，平面平面，平面，則平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.18．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）首先求出樣本中從卡拉旺站上車(chē)的乘客到德卡魯爾站下車(chē)的概率，即可得到，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列，再計(jì)算其期望即可；（2）記事件：該乘客來(lái)自地；記事件：該乘客在哈利姆站上車(chē)；記事件：該乘客在卡拉旺站上車(chē)，依題意得到，，，，再由概率乘法公式得到，從而得到.【詳解】（1）從卡拉旺站上車(chē)的乘客到德卡魯爾站下車(chē)的概率，根據(jù)頻率估計(jì)概率，從卡拉旺站上車(chē)的乘客中任選3人，則這3人到德卡魯爾站下車(chē)的人數(shù)，即的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列如下：0123則；（2）由表中數(shù)據(jù)可知，在高鐵離開(kāi)卡拉旺站時(shí)，在哈利姆站上車(chē)的有35人，在卡拉旺站上車(chē)的有30人.記事件：該乘客來(lái)自地；記事件：該乘客在哈利姆站上車(chē)；記事件：該乘客在卡拉旺站上車(chē)；，，，，從哈利姆站上車(chē)的乘客中是來(lái)自地的概率為，從卡拉旺站上車(chē)的乘客中是來(lái)自地的概率為，，，，，，在高鐵離開(kāi)卡拉旺站時(shí)，所求概率的比值為.19．(1)(2)【分析】（1）首先求處的切線(xiàn)方程，求得，再求處的切線(xiàn)方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化簡(jiǎn)不等式，，再構(gòu)造函數(shù)，并求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論和兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，并結(jié)合最值的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)為，且曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)為，且故，用牛頓迭