4.1 數(shù)列的概念-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第二冊(cè))第四章：數(shù)列4.1數(shù)列的概念【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一數(shù)列及其有關(guān)概念1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示……，第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}．考點(diǎn)二數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列考點(diǎn)三函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．考點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列考點(diǎn)五通項(xiàng)公式1．如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．考點(diǎn)六數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．考點(diǎn)七數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系重難點(diǎn)大規(guī)律歸納1．把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．(2)可以利用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到數(shù)列的最小項(xiàng)．【題型歸納】題型一:數(shù)列的有關(guān)概念和分類1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)；②數(shù)列若用圖像表示，從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn)；③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的；④數(shù)列通項(xiàng)的表達(dá)式是唯一的．其中正確的是（）．A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列敘述正確的是（）A．?dāng)?shù)列1，3，5，7與7，5，3，1是相同的數(shù)列B．?dāng)?shù)列0，1，2，3，…可以表示為{n}C．?dāng)?shù)列0，1，0，1，…是常數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列3．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（）①數(shù)列1，2，3與數(shù)列3，2，1是同一數(shù)列；②數(shù)列{an}與{a2n－1}表達(dá)同一數(shù)列；③數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項(xiàng)公式不唯一；④數(shù)列－1，1，3，5，8，…的通項(xiàng)公式為an＝2n－3，n∈N*.A．①④ B．②③ C．③ D．①②題型二：判斷或者寫出數(shù)列的項(xiàng)4．（2021·河北·衡水市第十四中學(xué)高二月考）已知數(shù)列－1，，－，…，，…，則它的第6項(xiàng)的值為（）A． B． C． D．5．（2021·江西·新余四中高二月考（理））以下通項(xiàng)公式中，不可能是數(shù)列3，5，9，…的通項(xiàng)公式的是（）A． B．C． D．6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，則an·an＋1·an＋2等于（）A． B． C． D．題型三：根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)數(shù)7．（2021·江蘇省阜寧中學(xué)高二月考）在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A．107 B． C． D．1088．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，，則該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是（）A． B．C． D．9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項(xiàng)是（）A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng)C．第4項(xiàng)或第5項(xiàng) D．第5項(xiàng)或第6項(xiàng)題型四：由遞推公式求數(shù)列的指定項(xiàng)10．（2021·河南洛陽(yáng)·高二期中（文））數(shù)列滿足，且，，則（）A．1 B．2 C．5 D．811．（2021·江西九江·高二期中（理））若數(shù)列滿足，且，則的前100項(xiàng)和為（）A．67 B．68 C．134 D．16712．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則（）A．-2 B．-1 C．1 D．2題型五：由遞推公式求通項(xiàng)公式13．（2021·廣西師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二月考）數(shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式是（）A．B．C．D．14．（2021·天津市南倉(cāng)中學(xué)高二期末）已知數(shù)列，滿足，若，則（）A． B．2 C．1 D．15．（2020·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（）A． B．n C． D．題型六：利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式16．（2021·河南·高二月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則的最小值為（）A． B． C． D．17．（2021·江蘇·常熟中學(xué)高二月考）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）A． B． C． D．18．（2021·寧夏·六盤山高級(jí)中學(xué)高二月考（文））數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列2，4，6，8，10，…的遞推公式是（）A．a(chǎn)n＝an－1＋2(n≥2)B．a(chǎn)n＝2an－1(n≥2)C．a(chǎn)1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D．a(chǎn)1＝2，an＝2an－1(n≥2)20．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若數(shù)列{an}滿足an＝3n，則數(shù)列{an}是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列21．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）給出以下通項(xiàng)公式：①；②；③，其中可以作為數(shù)列，，，，，，…的通項(xiàng)公式的是（）A．①② B．②③C．①③ D．①②③22．（2021·河南洛陽(yáng)·高二期中（理））數(shù)列滿足，，且，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．23．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高二月考）數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)積為，則等于（）A． B． C． D．24．（2021·河南·高二月考）已知在數(shù)列中，，，且，則（）A．3 B．15 C．37 D．6325．（2021·江蘇·高二單元測(cè)試）在數(shù)列中，，則（）A．25 B．32 C．62 D．7226．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．27．（2021·河南·高二月考（文））猜想數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．【高分突破】一：?jiǎn)芜x題28．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝若數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．29．（2021·寧夏·六盤山高級(jí)中學(xué)高二月考（理））對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，定義為數(shù)列的“勻稱值”.已知數(shù)列的“勻稱值”為，則該數(shù)列中的等于（）A． B． C． D．30．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知下列命題：①已知數(shù)列{an}，(n∈N*)，那么是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第1項(xiàng)；②數(shù)列，－，2，－，…，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝(－1)n＋1；③已知數(shù)列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，則a17＝29；④已知an＋1＝an＋3，則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．其中命題正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題31．（2021·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)選項(xiàng)中，不正確的是（）A．?dāng)?shù)列，的一個(gè)通項(xiàng)公式是B．?dāng)?shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)C．?dāng)?shù)列1，，1，，與數(shù)列，1，，1，是同一數(shù)列D．?dāng)?shù)列，，是遞增數(shù)列32．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．33．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理?準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)，化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用.則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．34．（2021·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，下列命題正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定有最大項(xiàng)C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列D．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)三、填空題35．（2021·安徽·六安一中高二期中）已知在數(shù)列中，，，，則________．36．（2021·廣西·崇左高中高二月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________．37．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足若，則________.38．（2021·全國(guó)·高二）如圖，根據(jù)下列圖形及相應(yīng)圖形中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，找出其中的一種規(guī)律，寫出第n個(gè)圖形中共有___________個(gè)頂點(diǎn).四、解答題39．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，．（1）求證：數(shù)列先遞增后遞減；（2）求數(shù)列的最大項(xiàng)．40．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式．（1）；（2）；（3）．41．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）在數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.42．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；（2）是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？為什么？（3）在區(qū)間內(nèi)是否有數(shù)列中的項(xiàng)？若有，求出有幾項(xiàng)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案詳解】1．A【詳解】數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無(wú)限的．?dāng)?shù)列作為一個(gè)函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的有限子集，數(shù)列通項(xiàng)的表達(dá)式可以不唯一，例如，數(shù)列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通項(xiàng)可以是，也可以是．故①②正確，③④錯(cuò)誤．故選：A．2．D【詳解】A由數(shù)列的概念可知數(shù)列1，3，5，7與7，5，3，1是不同的數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B因?yàn)槭醉?xiàng)是0，所以不能表示為{n}，故B錯(cuò)誤；C根據(jù)常數(shù)列的概念可知數(shù)列0，1，0，1，…不是常數(shù)列，故C錯(cuò)誤；D由數(shù)列的通項(xiàng)an＝知，an＋1－an＝－＝>0，即數(shù)列{}是遞增數(shù)列，故D正確；故選：D．3．C【詳解】①是錯(cuò)誤的，數(shù)列各項(xiàng)順序不同，即表示不同的數(shù)列；②是錯(cuò)誤的，數(shù)列{an}表達(dá)數(shù)列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而數(shù)列{a2n－1}表達(dá)數(shù)列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一數(shù)列；③是正確的，數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項(xiàng)公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是錯(cuò)誤的，顯然當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝7，不是數(shù)列中的項(xiàng)．故選：C.4．D【詳解】由題設(shè)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴當(dāng)n＝6時(shí)，該項(xiàng)為.故選：D.5．D解：對(duì)A.，可能是數(shù)列3，5，9，…的通項(xiàng)公式；對(duì)B.，可能是數(shù)列3，5，9，…的通項(xiàng)公式；對(duì)C.，可能是數(shù)列3，5，9，…的通項(xiàng)公式；對(duì)D.，不可能是數(shù)列3，5，9，…的通項(xiàng)公式；故選：D.6．B【詳解】.故選：B.7．D解：，因?yàn)?，且，所以此?shù)列最大項(xiàng)為.故選：D.8．C【詳解】由，所以當(dāng)且時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)且時(shí)，單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的圖象，如圖所示可得當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.故選：C.9．A解：，因?yàn)?，且，所以?shù)值最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)．故選：A．10．C解：因?yàn)椋遥裕?，故選：C11．B【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋詳?shù)列的項(xiàng)依次為2，1，1，0，1，1，0，…，所以從第2項(xiàng)起，3項(xiàng)一個(gè)循環(huán)，所以的前100項(xiàng)的和為，故選：B．12．B【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，，，所以，所以.故選：B13．B【詳解】設(shè)數(shù)列1，3，6，10，15，…為，所以，，所以.故選：B.14．A【詳解】由，且則，，所以，即數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列所以故選：A15．D【詳解】由題意，數(shù)列滿足，所以，所以．故選：D．16．C【詳解】∵，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.∴，記，則在與上都是增函數(shù)，∴數(shù)列的最小項(xiàng)是第6項(xiàng)，值為.故選：C17．C【詳解】時(shí)，,時(shí)，，所以，而，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以.故選：C.18．D【詳解】當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，由，①可得，②①②可得，所以，，滿足.故對(duì)任意的，.故選：D.19．C解：A，B中沒(méi)有告訴某一項(xiàng)的值，無(wú)法遞推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝6，不合題意．只有選項(xiàng)C符合題意.故選：C20．A【詳解】an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列．故選：A.21．D對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)分別為：，，，，，，故①正確；對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)分別為：，，，，，，故②正確；對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)分別為：，，，，，，故③正確；所以①②③的通項(xiàng)公式都符合題意，故選：D.22．C【詳解】因?yàn)?，，且，，所以；；；；；；同理遞推可得：；；；；；；；；；；；.所以=2.故選：C23．D【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，.故選：D.24．C【詳解】因?yàn)榍?，則.故選：C.25．B解：令函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增數(shù)列，所以所以故選：B26．B【詳解】由題意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故選：B.27．D【詳解】根據(jù)數(shù)列可得，分母3，5，7，9，…滿足，分子2，8，26，80，…滿足，又?jǐn)?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以可得.故選：D.28．C【詳解】由題意得即解得故選：C29．D【詳解】解：，數(shù)列的“勻稱值”為，，①時(shí)，，②①②，得，，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，，．故選：D30．A【詳解】①an＝＝?n＝10，易知最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，故①正確；對(duì)于②，聯(lián)想數(shù)列，，，，…，則an＝(－1)n＋1·，故②正確；對(duì)于③，an＝kn－5，且a8＝11?k＝2?an＝2n－5?a17＝29，故③正確；對(duì)于④，由an＋1－an＝3>0，易知④正確．故選：A31．ACD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)通項(xiàng)公式為時(shí)，，不符合題意，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由數(shù)列的通項(xiàng)公式以及可知，數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由于兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)排列的次序不同，因此不是同一數(shù)列，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，數(shù)列，，是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ACD．32．ABCD【詳解】對(duì)于A：寫出數(shù)列的前6項(xiàng)為1，1，2，3，5，8，故A正確.對(duì)于B：，故B正確.對(duì)于C：由，，，…，，可得，故C正確.對(duì)于D：斐波那契