4.4.3 不同函數(shù)增長的差異-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版必修第一冊）

4.4.3不同函數(shù)增長的差異【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1．嘗試將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．2．了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異．3．會(huì)根據(jù)函數(shù)的增長差異選擇函數(shù)模型．1.數(shù)學(xué)建模2.數(shù)學(xué)運(yùn)算3.直觀想象【自主學(xué)習(xí)】1.函數(shù)模型一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型.2.三種常見函數(shù)模型的增長差異指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一元一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax(a>1)y＝logax___y＝kx(k>0)單調(diào)性在(0，＋∞)上單調(diào)____圖象(隨x的增大)逐漸與y軸平行逐漸與x軸平行直線逐漸上升增長速度(隨x的增大)y的增長速度越來越____y的增長速度越來越____y值逐漸增加增長關(guān)系存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，ax>kx>logax思考：已知函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x.(1)函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)隨著x的增大，函數(shù)值有什么共同的變化趨勢？(2)函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)增長的速度有什么不同？【小試牛刀】1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是()(1)函數(shù)y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x的衰減速度越來越慢．(2)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．(3)若a>1，n>0，對(duì)于任意x0∈R，一定有ax0>xeq\o\al(n,0).A．0 B．1C．2 D．32．甲、乙兩人在一次賽跑中，路程y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲比乙先出發(fā) B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲先到達(dá)終點(diǎn)【經(jīng)典例題】題型一函數(shù)模型的增長差異三種函數(shù)模型的增長規(guī)律：(1)對(duì)于冪函數(shù)y＝xn，當(dāng)x＞0，n＞0時(shí)，y＝xn才是增函數(shù)，當(dāng)n越大時(shí)，增長速度越快．(2)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的遞增前提是a＞1，又它們的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，從而可知，當(dāng)a越大，y＝ax增長越快；當(dāng)a越小，y＝logax增長越快，一般來說，ax＞logax(x＞0，a＞1)．(3)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，當(dāng)x＞0，n＞0，a＞1時(shí)，可能開始時(shí)有xn＞ax，但因指數(shù)函數(shù)是爆炸型函數(shù)，當(dāng)x大于某一個(gè)確定值x0后，就一定有ax＞xn.例1四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是____.[跟蹤訓(xùn)練]1(1)下列函數(shù)中，增長速度最慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x(2)有一組數(shù)據(jù)如下表：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()A．v＝log2t C．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2題型二函數(shù)模型的選取不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律．(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律．(3)對(duì)數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律．(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律．年份201620172018產(chǎn)量(萬)81830例2某汽車制造商在2019年初公告：公司計(jì)劃2019年生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬輛.已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示：如果我們分別將2016,2017,2018,2019年定義為第一、二、三、四年，現(xiàn)在你有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪個(gè)模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系？[跟蹤訓(xùn)練]2某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在生源利潤達(dá)到5萬元時(shí)，按生源利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過3萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個(gè)模型符合該校的要求？【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1．下圖反映的是下列哪類函數(shù)的增長趨勢()A．一次函數(shù) B．冪函數(shù)C．對(duì)數(shù)函數(shù) D．指數(shù)函數(shù)2.下列函數(shù)中隨x的增長而增長最快的是()A.y＝exB.y＝lnxC.y＝x10D.y＝2x3.能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值區(qū)間是()A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(4，＋∞)4．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()5.下列選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，更為有前途的生意是________.(填序號(hào))①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.6.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到________只.【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】(a>1)遞增快慢思考答案:(1)函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)隨著x的增大，函數(shù)值增大(2)各函數(shù)增長的速度不同，其中f(x)＝2x增長得最快，其次是g(x)＝2x，最慢的是h(x)＝log2x【小試牛刀】1.C[解析]對(duì)于(1)，由函數(shù)y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x的圖象可知其衰減速度越來越慢，正確；對(duì)于(2)，一次函數(shù)的圖象是直線，因此其增長速度不變，正確；對(duì)于(3)，如23<32，錯(cuò)誤．故選C．2.D【經(jīng)典例題】例1y2[解析]以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長速率不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化．[跟蹤訓(xùn)練]1（1）B[解析]對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢．選B.(2)C[解析]從表格中看到此函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，排除B，增長速度越來越快，排除A和D，選C.例2解建立生產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)必過點(diǎn)(1,8)，(2,18)，(3,30).(1)構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得a＝1，b＝7，c＝0，則f(x)＝x2＋7x，故f(4