專題4.9 導(dǎo)數(shù)綜合練（解析版）

專題4.9導(dǎo)數(shù)綜合練題號(hào)一二三四總分得分練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，求出不等式的解集即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則.令，解得.故選：D2．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校?？计谥校┖瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可得.【詳解】由知故選：B3．（2023春·吉林·高三校聯(lián)考期中）曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可求切線的斜率，從而可得關(guān)于的方程，解出后可得正確的選項(xiàng).【詳解】，所以，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線垂直于直線，故切線的斜率為，故即，故選：D.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意可得，進(jìn)而得到時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，則，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，由，所以，即，所以，解得，則不等式的解集為.故選：D.5．（2023春·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得有三個(gè)不同的零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)和，畫出函數(shù)圖像，利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，進(jìn)而可得切線斜率，結(jié)合圖像關(guān)系即可求解．【詳解】如圖，由有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得有三個(gè)不同的零點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖像，直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)的直線與的切點(diǎn)為，由，得，所以，故切線方程為，把定點(diǎn)代入得：，即，所以，即直線的斜率為，由圖知，當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)交點(diǎn)，所以使有三個(gè)不同的零點(diǎn)的的取值范圍是.故選：C.6．（2023春·廣東茂名·高三廣東高州中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的極小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，求出的值，即可求出，再對(duì)求導(dǎo)，得到單調(diào)性，即可求出答案.【詳解】由，得，又是函數(shù)的極大值點(diǎn)，，，則，，令，得或，令，解得或；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，的極小值為.故選：D.7．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，分別與直線交于點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意，表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)和，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)區(qū)間和最值.【詳解】

由題意，，，其中，且，所以，令，，則時(shí)，解得，所以時(shí)，；時(shí)，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故選：B．8．（2023春·廣東珠海·高三珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】可先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令求出即可.【詳解】由，令得，解得.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，滿足，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，則（

）A． B．C．在處取得極小值 D．無(wú)最大值【答案】AD【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得新函數(shù)的單調(diào)性，解得函數(shù)的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】解：設(shè)，則，可設(shè)，則，解得，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，∴，即，則，A正確；∵，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，在處取得極小值，無(wú)最大值，B、C均錯(cuò)誤，D正確．故選：AD.10．（2023春·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的進(jìn)行求導(dǎo)，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，則，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，利用公式，故D正確.故選：BD.11．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與曲線相切，則下列直線中可能與垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求導(dǎo)，利用基本不等式可得導(dǎo)數(shù)范圍，然后可得垂線斜率范圍，進(jìn)而可得答案.【詳解】的定義域?yàn)?，，即直線的斜率，設(shè)與垂直的直線的斜率為，則，所以，．故選：AB．12．（2023春·湖北·高三宜昌市三峽高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．有三個(gè)零點(diǎn)C．有兩個(gè)極值點(diǎn) D．直線是曲線的切線【答案】CD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，通過(guò)極值判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求已知斜率的切線方程.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)镽，，，解得或；，解得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，極小值為，，，函數(shù)圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)，所以AB選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；曲線切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)切線斜率為2時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，即，D選項(xiàng)正確.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．（2023春·廣東江門·高三新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)題意得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得恒成立，即可求解.【詳解】不妨設(shè)，則由，可得，即，設(shè)，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，則在區(qū)間內(nèi)恒成立，即，也即，因?yàn)槎魏瘮?shù)在單調(diào)遞減，所以，所以，故答案為:.14．（2023春·上海楊浦·高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，以下結(jié)論正確的序號(hào)是______．

（1）是函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）是函數(shù)的極小值點(diǎn)（3）在區(qū)間上嚴(yán)格增；（4）在處切線的斜率大于零；【答案】（1）（3）（4）；【分析】利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系一一判定即可.【詳解】由圖象可得時(shí)，，且時(shí)，時(shí)，即是函數(shù)的極小值點(diǎn)，（1）正確；而時(shí)，，但與時(shí)，，∴不是函數(shù)的極值點(diǎn)，（2）不正確；由圖象可知上，∴在區(qū)間上嚴(yán)格增，（3）正確；處，所以該處切線的斜率大于零，（4）正確；故答案為：（1）（3）（4）；15．（2023春·上海普陀·高三上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)，其中，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，在上的平均變化率為，則與的大小關(guān)系是_________【答案】【分析】根據(jù)平均變化率公式求出與，再比較大小即可；【詳解】依題意，，所以，而，所以.故答案為：16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為_(kāi)_____【答案】【分析】求出曲線的斜率為的切線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，令，解得，則，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，故曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值即為切點(diǎn)到直線的距離，即為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算即可求解.【詳解】（1），所以.（2），所以.（3），所以，.（4），所以.（5），所以.（6），所以.18．（2022·天津·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（其中無(wú)理數(shù)，）．(1)若函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：設(shè)函數(shù)的圖象在處的切線為，證明：的圖象上不存在位于直線上方的點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由單調(diào)性可知在上必存在變號(hào)零點(diǎn)；分別在僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)和兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)的情況下，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造不等式組求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，可得：；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，得到，由此可得結(jié)論.(1)由題意得：，在上不是單調(diào)函數(shù)，在上必存在變號(hào)零點(diǎn)；令，當(dāng)在有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，，解得：；當(dāng)在有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，，不等式組無(wú)解；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)，，又，切線方程為：，即；令，，令，解得：或（舍）；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，的圖象上不存在位于直線上方的點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)圖象之間的關(guān)系；本題證明的關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所構(gòu)造函數(shù)最值的求解問(wèn)題，通過(guò)說(shuō)明得到所求的函數(shù)與直線的位置關(guān)系.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若既有極大值又有極小值，求a的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；極大值為，無(wú)極小值；(2).【分析】（1）由題可得導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值關(guān)系即得；（2）由題可得有兩個(gè)不等正根，進(jìn)而可得有兩個(gè)不等正根，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的大致圖象利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，由，得，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；所以在處有極大值，極大值為，無(wú)極小值；（2）因?yàn)?，所以，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，由，可得，所以有兩個(gè)不等正根，設(shè)，則，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在處有極大值，，又，時(shí)；時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象，由圖象可知要使有兩個(gè)不等正根，則，即a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】函數(shù)由極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.20．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）已知，函數(shù).求在區(qū)間上的最小值．【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】先求導(dǎo)，再對(duì)分三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，x∈．令得x=a.①若a≤0，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)最小值．②若0<a<e，則當(dāng)x∈時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取得最小值lna.③若a≥e，則當(dāng)x∈時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得最小值.綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無(wú)最小值；當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為lna；當(dāng)a≥e時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.21．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）如圖①是一個(gè)仿古的首飾盒，其橫截面是由一個(gè)半徑為r分米的半圓，及矩形ABCD組成，其中AD的長(zhǎng)為a分米，如圖②所示．為了美觀，要求r≤a≤2r．已知該首飾盒的長(zhǎng)為4r分米，容積為4立方分米(不計(jì)厚度)，假設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用只與其表面積有關(guān)，下半部分(箱體)的制作費(fèi)用為每平方分米1百元