必修二課件第一章立體幾何初步1.3.1

空間幾何體的表面積第1章

1.3

空間幾何體的表面積和體積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的表面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計(jì)算公式；能運(yùn)用柱體、錐體、臺體的表面積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一直棱柱和正棱錐的表面積思考1

直棱柱和正棱錐的特征是什么？答案直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱；正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心.答案思考2

下圖是直六棱柱的展開圖，你能根據(jù)展開圖歸納出直棱柱的側(cè)面面積公式嗎？答案S直棱柱側(cè)面積＝ch，即直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長和高的乘積.答案思考3

下圖是正四棱錐的展開圖，設(shè)底面周長為c，你能根據(jù)展開圖，歸納出正n棱錐的側(cè)面面積公式嗎？答案S正棱錐側(cè)面積＝

nah′＝

ch′，即正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長和斜高乘積的一半.答案思考4

如何求多面體的表面積？答案一般地，我們可以把多面體展開成平面圖形，求出展開圖中各個小多邊形的面積，然后相加即為多面體的表面積.答案梳理(1)直棱柱的側(cè)面積①側(cè)棱和底面

的棱柱叫做直棱柱.②直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個矩形的長等于直棱柱的底面周長c，寬等于直棱柱的高h(yuǎn)，因此，直棱柱的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)＝

.③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.垂直ch(2)正棱錐的側(cè)面積①如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是

，那么稱這樣的棱錐為正棱錐.正棱錐的側(cè)棱長都相等.②棱錐的側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面組成的，展開圖的面積就是棱錐的側(cè)面積.如果正棱錐的底面周長為c，斜高(即側(cè)面等腰三角形底面中心底邊上的高)為h′，它的側(cè)面積是S正棱錐側(cè)＝______.知識點(diǎn)二正棱臺的表面積思考1

什么是正棱臺？正棱臺的側(cè)面展開圖是怎樣的圖形？答案正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺.正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形.答案思考2

如圖是正四棱臺的展開圖，設(shè)下底面周長為c，上底面周長為c′，你能根據(jù)展開圖，歸納出正n棱臺的側(cè)面面積公式嗎？答案思考3

正棱臺的側(cè)面積除了用展開圖的方法求外，你還有其他方法嗎？棱臺的表面積如何求？答案可以用求兩個正棱錐側(cè)面積之差的方法得出.棱臺的表面積等于側(cè)面積與底面積的和.答案梳理正棱錐被

所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺.與正棱錐的側(cè)面積公式類似，若設(shè)正棱臺的上、下底面的周長分別為c′，c，斜高為h′，則其側(cè)面積是S正棱臺側(cè)＝____________.平行于底面的平面知識點(diǎn)三圓柱、圓錐、圓臺的表面積思考1

圓柱OO′及其側(cè)面展開圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).答案思考2

圓錐SO及其側(cè)面展開圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案答案底面周長是2πr，利用扇形面積公式得思考3

圓臺OO′及其側(cè)面展開圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圓臺側(cè)＝π(r＋R)l，S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).梳理

圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝____側(cè)面積：S側(cè)＝

，表面積：S＝________圓錐底面積：S底＝

，側(cè)面積：S側(cè)＝

，表面積：S＝________2πr22πrl2πr(r＋l)πr2πrlπr(r＋l)旋轉(zhuǎn)體圓臺

上底面面積：S上底＝

，

下底面面積：S下底＝

，

側(cè)面積：S側(cè)＝

，

表面積：S＝__________________πr′2πr2π(r′l＋rl)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)題型探究例1

正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(a<b).(1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺的側(cè)面積；類型一求多面體的側(cè)面積和表面積解答解

如圖所示，設(shè)O1、O分別上、下底面的中心，過C1作C1E⊥AC于E，過E作EF⊥BC，連結(jié)C1F，則C1F為正四棱臺的斜高.由題意知∠C1CO＝45°，(2)若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.解答解∵S側(cè)＝S底，S底＝a2＋b2，引申探究若四棱臺的高是12cm，兩底面邊長之差為10cm，表面積為512cm2，求底面的邊長.解答解如圖，設(shè)上底面邊長為xcm，則下底面邊長為(x＋10)cm，在Rt△E1FE中，∵E1F＝12cm，∴斜高E1E＝13cm.S表＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.∵S表＝512cm2，∴2x2＋72x＋360＝512，解得x1＝－38(舍去)，x2＝2.∴x2＋10＝12.∴正四棱臺的上、下底面邊長分別為2cm、12cm.(1)求棱錐、棱臺及棱柱的側(cè)面積和表面積的關(guān)鍵是求底面邊長，高，斜高，側(cè)棱.求解時要注意直角三角形和梯形的應(yīng)用.(2)正棱柱、正棱錐、正棱臺的所有側(cè)面都全等，因此求側(cè)面積時，可先求一個側(cè)面的面積，然后乘以側(cè)面的個數(shù).(3)棱臺是由棱錐所截得到的，因此棱臺的側(cè)面積也可由大小棱錐側(cè)面積作差得到.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

已知正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，高為3，求它的表面積.解答解如圖，設(shè)PO＝3，PE是斜高，∵S側(cè)＝2S底，∴BC＝PE.S側(cè)＝2S底＝2×12＝24，∴S表＝S底＋S側(cè)＝12＋24＝36.例2

圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是________cm2.(結(jié)果中保留π)類型二求旋轉(zhuǎn)體的表面積1100π答案解析解析如圖所示，設(shè)圓臺的上底面周長為c，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故c＝π×SA＝2π×10，所以SA＝20.同理可得SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2).故圓臺的表面積為1100πcm2.引申探究若本例條件改為：圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，求圓臺較小底面的半徑.解設(shè)圓臺較小底面的半徑為r，則另一底面半徑為3r，由題意知母線長l＝3，∵S側(cè)＝π(r＋3r)×3＝84π，∴r＝7.解答(1)求圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面積和表面積，只需求出上、下底半徑和母線長即可，求半徑和母線長時常借助軸截面.(2)解答旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積問題可先把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即在展開圖內(nèi)求母線的長，再進(jìn)一步代入側(cè)面積公式求出側(cè)面積，進(jìn)而求出表面積.(3)旋轉(zhuǎn)體的軸截面是化空間問題為平面問題的重要工具，因?yàn)樵谳S截面中集中體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)體的“關(guān)鍵量”之間的關(guān)系.在推導(dǎo)這些量之間的關(guān)系時要注意比例性質(zhì)的應(yīng)用.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

若圓錐的母線長為2cm，底面圓的周長為2πcm，則圓錐的表面積為____cm2.3π答案解析解析因?yàn)榈酌鎴A的周長為2πcm，所以底面圓的半徑為1cm，所以圓錐的底面積為πcm2，圓錐的側(cè)面積為

×2×2π＝2π(cm2)，所以圓錐的表面積為3πcm2.解答例3

牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示(單位：m)，請你幫助算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少篷布？(精確到0.01m2)類型三簡單組合體的表面積下部分圓柱體的側(cè)面積為S2＝π×5×1.8(m2).(1)組合體的側(cè)面積和表面積問題，首先要弄清楚它是由哪些簡單幾何體組成，然后再根據(jù)條件求各個簡單組合體的基本量，注意方程思想的應(yīng)用.(2)在實(shí)際問題中，常通過計(jì)算物體的表面積來研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在求解時應(yīng)結(jié)合實(shí)際，明確實(shí)際物體究竟是哪種幾何體，哪些面計(jì)算在內(nèi)，哪些面實(shí)際沒有.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

有兩個相同的直棱柱，高為

，底面三角形的邊長分別為3a,4a,5a(a>0).用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個四棱柱，求a的取值范圍.解答解兩個相同的直棱柱拼成一個三棱柱或四棱柱，有四種情況：四棱柱有一種，邊長為5a的邊重合在一起，表面積為24a2＋28.三棱柱有三種，邊長為4a的邊重合在一起，表面積為24a2＋32；邊長為3a的邊重合在一起，表面積為24a2＋36；兩個相同的直三棱柱豎直放在一起，表面積為12a2＋48.最小的是一個四棱柱，即24a2＋28<12a2＋48，當(dāng)堂訓(xùn)練1.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是______.答案23412π5解析解析底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.2.已知一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長為____.答案234154∴S側(cè)＝π(R＋r)l＝2πl(wèi)2＝32π，∴l(xiāng)＝4.解析3.若正三棱錐的斜高是高的

倍，則該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的_____倍.答案234152解析設(shè)底面邊長為a，2341523415則正三棱錐的側(cè)面積與底面積的比為h′∶OM＝2，故該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍.4.已知一個正四棱柱的對角線的長是9cm，表面積等于144cm2，則這個棱柱的側(cè)面積為________cm2.2341答案解析5解析設(shè)底面邊長、側(cè)棱長分別為acm、lcm，112或72∴S側(cè)＝4×4×7＝112(cm2)或S側(cè)＝4×6×3＝72(cm2).5.以圓柱的上底中心為頂點(diǎn)，下底為底作圓錐，假設(shè)圓柱的側(cè)面積為6，圓錐的側(cè)面積為5，求圓柱的底面半徑.2341解答5

23415解如圖所示，設(shè)圓柱底面圓的半徑為R，高為h，則圓錐的底面半徑為R，高為h