人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二高二數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè) 綜合測(cè)試（提升）（解析版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】高二數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)綜合測(cè)試（提升）一．單選題（每道題目只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）1．（江西省先知高考2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A．0 B．-1 C． D．-2【答案】C【解析】由，得，令，則，解得，所以.故選：C2．（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列，則（

）A．126 B．128 C．254 D．256【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意可得，即，整理得，則，解得，所以.故選：A.3．（2023秋·福建三明）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則有（

）A．為等差數(shù)列 B．為等比數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．為等比數(shù)列【答案】D【解析】由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，可得，即，又由，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以AB錯(cuò).當(dāng)時(shí)，，又由時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為；又由，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，故D正確，C錯(cuò).故選：D.4．（2023秋·陜西商洛）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且是公差為的等差數(shù)列，則的最大值為（

）A．12 B．22 C．37 D．55【答案】B【解析】由題意，且是公差為的等差數(shù)列，可知的首項(xiàng)為，則，故，則數(shù)列為，公差為的等差數(shù)列，且為遞減數(shù)列，令，即等差數(shù)列的前4項(xiàng)為正項(xiàng)，從第5項(xiàng)開始為負(fù)，故的最大值為，故選：B5．（2023秋·湖南長沙）若為等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且為等比數(shù)列，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故，所以，又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，故選：D.6．（廣西壯族自治區(qū)桂林市等3地2024屆高三上學(xué)期跨市聯(lián)合適應(yīng)性訓(xùn)練檢測(cè)（10月月考）數(shù)學(xué)試題）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此可得，即，所以，又指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增，可得，即．因?yàn)?，所以．故選：A7．（2023秋·寧夏銀川）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有3個(gè)極值點(diǎn)，2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)在區(qū)間恰有3極值點(diǎn)，2個(gè)零點(diǎn)，在恰有3個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)在區(qū)間恰有2零點(diǎn)，由于，則，故問題轉(zhuǎn)化為在上有3個(gè)零點(diǎn)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正余弦函數(shù)圖象可得：，故.故選：C.

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.8．（2023秋·山東德州）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．30 B． C． D．41【答案】B【解析】被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排列為：，該數(shù)列即為，被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排列為：，該數(shù)列即為，數(shù)列的第一個(gè)公共項(xiàng)為，由題意被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列所構(gòu)成的數(shù)列也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)即為數(shù)列的第一個(gè)公共項(xiàng)，其公差為數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由等差數(shù)列前項(xiàng)公式得，所以，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.多選題（每道題目至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2023秋·吉林長春）函數(shù)，，下列說法中，正確的是（

）A．B．在單調(diào)遞增C．D．【答案】ABD【解析】，，，，，故A正確；又，在上單調(diào)遞增，故B正確，C錯(cuò)誤；令，，，在上單調(diào)遞減，即，，又，，即，故D正確.故選：ABD.10．（2023秋·河南）已知，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】根據(jù)題意，得.因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，A選項(xiàng)正確；因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，B選項(xiàng)正確；對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以與的大小不確定，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，即，設(shè)，，則，令，得.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，的大小不確定，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：AB.11．（2022秋·福建莆田·高二?？计谥校┮阎菙?shù)列的前n項(xiàng)和，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列C． D．【答案】ACD【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，可得且，解得，所以A正確；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前4項(xiàng)為，則，所以數(shù)列不是得出數(shù)列，所以B不正確；因?yàn)?，可得，所以C正確；由且，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，又由且，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以，則，，所以，所以D正確.故選：ACD.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，.給出下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．B．C．的值是中最大的D．的值是中最大的【答案】ABD【解析】對(duì)于A，∵，，即，，又，又，，且，，故A正確；對(duì)于B，，，即，故B正確；對(duì)于C，由于，而，故有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題可知，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正確.故選：ABD.填空題（每題5分，4題共20分）13．（2023秋·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意都有，若，則的值為.【答案】【解析】當(dāng)，則，即，又，則，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，則，即，，可得.故答案為：14．（2023秋·陜西）已知函數(shù)的定義域是（-5，5），其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集是.【答案】【解析】設(shè)，則.因?yàn)椋裕瑒t是上的增函數(shù).不等式等價(jià)于，，即，則解得.故答案為：15．（2023秋·河南）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是.【答案】【解析】令且，則，又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，由為偶函數(shù)，則，故為奇函數(shù)，所以在上遞增，且，作出函數(shù)g(x)的示意圖：又等價(jià)于，等價(jià)于或，等價(jià)于或，所以或，故.故答案為：.16．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，且（且），若的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為.【答案】【解析】因?yàn)椋ㄇ遥?，所以，所以，，，，所以，即，又，所以，所以，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，所以，則最小正整數(shù)的值為.故答案為：解答題（17題10分，18-22題每題12分，6題共70分）17．（2023秋·遼寧沈陽）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）得，，，所以.即，即.18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)數(shù)列的公差不為0時(shí)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)或(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，，成等比數(shù)列，得，即，即，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，或.（2）由（1）可知，當(dāng)數(shù)列的公差不為0時(shí)，，，則，，所以，又，所以.19．（2023秋·江蘇）某企業(yè)計(jì)劃對(duì)甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目共投資200萬元，且每個(gè)項(xiàng)目至少投資10萬元.依據(jù)前期市場調(diào)研可知，甲項(xiàng)目的收益（單位：萬元）與投資金額t（單位：萬元）滿足關(guān)系式；乙項(xiàng)目的收益（單位：萬元）與投資金額t（單位：萬元）滿足關(guān)系式.設(shè)對(duì)甲項(xiàng)目投資x萬元，兩個(gè)項(xiàng)目的總收益為（單位：萬元），且當(dāng)對(duì)甲項(xiàng)目投資30萬元時(shí)，甲項(xiàng)目的收益為180萬元，乙項(xiàng)目的收益為120萬元.(1)求的解析式.(2)試問如何安排甲?乙這兩個(gè)項(xiàng)目的投資金額，才能使總收益最大？并求出的最大值.【答案】(1)(2)對(duì)甲項(xiàng)目投資18萬元，對(duì)乙項(xiàng)目投資182萬元，才能使總收益取得最大值453.6萬元【解析】（1）由題意可得，解得.當(dāng)對(duì)甲項(xiàng)目投資30萬元時(shí)，對(duì)乙項(xiàng)目投資170萬元，則，解得.設(shè)對(duì)甲項(xiàng)目的投資金額為x萬元，則對(duì)乙項(xiàng)目的投資金額為萬元，則解得.故.（2）設(shè)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.故，即對(duì)甲項(xiàng)目投資18萬元，對(duì)乙項(xiàng)目投資182萬元，才能使總收益取得最大值453.6萬元.20．（2023秋·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若時(shí)，求在區(qū)間上的最大值與最小值.(2)若存在實(shí)數(shù)，使得不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【解析】（1）由題意得.當(dāng)時(shí)，，.由，解得；由，解得.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.故又，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（2）存在實(shí)數(shù)，使不等式的解集恰好為，等價(jià)于函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).，i）當(dāng)時(shí)，由，解得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；由，解得或，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又只需要，解得.ii）當(dāng)時(shí)，顯然只有一個(gè)零點(diǎn)成立.iii）當(dāng)時(shí)，由，解得，即在區(qū)間上單調(diào)遞減；由，解得或，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；又只需要，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．（2023·重慶）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，故?shù)列是以12為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，則.（2）解：由（1）知，所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)槭菃握{(diào)遞減的，所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又是單調(diào)遞增的，因?yàn)?，所?要使存在，使，只需，即，故的取值范圍是.22．（2023·廣東揭陽）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性并求極值.(2)設(shè)函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上