遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE18-遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）第Ⅰ卷選擇題一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C.[0，3] D.[0.1]【答案】C【解析】【分析】解二次不等式，得到集合A,利用被開方數(shù)大于等于0，求得B,然后依據(jù)交集的定義求解.【詳解】，即，解得，,要使有意義，則，,,故選C.【點睛】本題考查集合的交集，涉及一元二次不等式的解法和函數(shù)的定義域，屬基礎(chǔ)題，難度較易.2.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因但．3.已知，則（）A.13 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由于向量的坐標(biāo)已知，所以干脆利用公式求的模.【詳解】解：因為，所以，故選：C【點睛】此題考查的是已知向量的坐標(biāo)求向量的模，屬于基礎(chǔ)題.4.某跨國飲料公司在對全世界全部人均（即人均純收入）在0.5~8千美元的地區(qū)銷售該公司飲料的狀況調(diào)查時發(fā)覺：該飲料在人均處于中等地區(qū)的年人均銷售量最大，然后向兩邊遞減．下列幾個模擬函數(shù)中用哪個模擬函數(shù)來描述人均飲料銷售量與地區(qū)的人均關(guān)系更合適？（表示人均，單位：千美元，表示年人均飲料的銷售量，單位：L）（）A. B.C.且 D.且【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，分析選項四個函數(shù)的單調(diào)性即可推斷.【詳解】解：因為該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷量最多，然后向兩邊遞減，所以用來模擬比較合適，故選項正確.而選項表示的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以不合適.故選：.【點睛】本題考查數(shù)學(xué)建模，理解不同函數(shù)模型的實際含義，解題關(guān)鍵是實際問題數(shù)學(xué)化，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，則下列不等式成立是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】舉特例分析可否定ABC,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判定D成立.【詳解】當(dāng)時，滿意但是,故A錯誤；同時,故B錯誤；無意義，故C錯誤；由于函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù)，時有成立，故D正確.故選D【點睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，比較大小，涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，難度較易.6.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且與軸、軸均無交點，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)可得，且為偶數(shù)，，解出即可．【詳解】由題意可得：且為偶數(shù)，，解得，且為偶數(shù)，，∴．故選：C．【點睛】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個數(shù)與和的大小關(guān)系，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】對數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則，即；指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則；對數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則.因此，.故選：D.【點睛】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來比較，考查推理實力，屬于基礎(chǔ)題.8.某同學(xué)參與數(shù)學(xué)學(xué)問競賽，需回答3個問題，假設(shè)這名同學(xué)答對第一個問題的概率為0.8，答對其次個問題的概率為0.7，答對第三個問題的概率為0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響，則這名同學(xué)至少答對一道題的概率為（）A.0.976 B.0.664 C.0.024 D.0.336【答案】A【解析】【分析】記這名同學(xué)答對第一個問題為事務(wù)，答對其次個問題為事務(wù)，答對第三個問題為事務(wù)，則這名同學(xué)至少答對一道題為事務(wù)，依據(jù)獨立事務(wù)的乘法公式和對立事務(wù)的概率公式可得結(jié)果.【詳解】記這名同學(xué)答對第一個問題為事務(wù)，答對其次個問題為事務(wù)，答對第三個問題為事務(wù)，則這名同學(xué)至少答對一道題為事務(wù)，且事務(wù)、、相互獨立，則，，，所以.故選：A.【點睛】本題考查了獨立事務(wù)的乘法公式和對立事務(wù)的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)（且）在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，可知內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則外層函數(shù)為增函數(shù)，結(jié)合對隨意的恒成立可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，由于且，內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以，外層函數(shù)為增函數(shù)，則有，由題意可知，不等式對隨意的恒成立，，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點睛】本題考查利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，解題時要留意偶次根式被開方數(shù)在所給的區(qū)間上恒為非負(fù)數(shù)的限制，考查計算實力，屬于中等題.10.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過函數(shù)在處函數(shù)有意義，在處函數(shù)無意義，可解除A、D；通過推斷當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)性可解除C，即可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)有意義，可解除A；當(dāng)時，，函數(shù)無意義，可解除D；又∵當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)單調(diào)遞增，可解除C；故選B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，考查同學(xué)們對函數(shù)基礎(chǔ)學(xué)問的把握程度以及數(shù)形結(jié)合與分類探討的思維實力，屬于中檔題.11.已知函數(shù)的值域為，那么實數(shù)的取值范圍是（）A. B.[-1，2） C.（0，2） D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的值域，而的值域為，進(jìn)而得，由此可求出的取值范圍.【詳解】解：因為函數(shù)的值域為，而的值域為，所以，解得，故選：B【點睛】此題考查由分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，分段函數(shù)的值域等于各段上的函數(shù)的值域的并集是解此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12.已知定義在上的奇函數(shù)，滿意，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的全部零點之和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，可得出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象交點橫坐標(biāo)之和，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，可得，則函數(shù)在區(qū)間上的零點之和為函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上圖象交點橫坐標(biāo)之和，如下圖所示：由圖象可知，兩個函數(shù)的四個交點有兩對關(guān)于點對稱，因此，函數(shù)在區(qū)間上的全部零點之和為.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)零點之和，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性來求解是解答的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.第Ⅱ卷非選擇題二、填空題：將答案寫在題中橫線上．13.福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01，02，03，…，32，33，這33個兩位號碼中選取，小明利用如圖所示的隨機數(shù)表選取紅色球的6個號碼，選取方式是從第1行第9個數(shù)字起先，從左到右依次選取2個數(shù)字，則第四個被選中的紅色球號碼是______【答案】16【解析】【分析】從第1行第9個數(shù)字6起先，依次取兩位數(shù)碼，依據(jù)是否在01到33中來推斷是否選中，從而可得第四個被選中的紅色球號碼.【詳解】從第1行第9個數(shù)字6起先依次取兩位數(shù)碼，符合要求的前4個數(shù)碼依次為：17,12,33,16，故第四個被選中的紅色球號為16：故答案為：16.【點睛】本題考查隨機數(shù)表，利用該表進(jìn)行隨機抽樣時，留意按規(guī)則抽取即可，本題屬于基礎(chǔ)題.14.已知，，則的最小值為______【答案】4【解析】【分析】依據(jù)肯定值不等式可求的最小值.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.所以的最小值為4.故答案為：4.【點睛】本題考查肯定值不等式的應(yīng)用，肯定值不等式指及，我們常利用它們求含肯定值符號的代數(shù)式的最值，留意等號成立的條件.15.已知是奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則______【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再由對數(shù)的運算性質(zhì)即可得解.【詳解】因為是奇函數(shù)，當(dāng)時，，，所以，即，所以，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查了對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用及運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.16.設(shè)函數(shù)，對于，不等式恒成立，則實數(shù)取值范圍是______【答案】【解析】【分析】把不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用基本不等式求得的最小值，進(jìn)而得到，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因為對于，不等式恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即，即，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題，一元二次不等式的解法，以及基本不等式求最值的綜合應(yīng)用，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算實力，屬于中檔試題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.在平行四邊形中，，（1）若為上一點，且，用基底表示；（2）若，，且與平行，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)三角形法則和共線定理即可求出結(jié)果；（2）首先依據(jù)坐標(biāo)運算求出與的坐標(biāo)表示，再依據(jù)平面對量平行的坐標(biāo)運算公式，列出關(guān)于方程，即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）（2）因為，所以由于則所以.【點睛】本題主要考查了平面對量的三角形法則、共線定理、以及平面對量坐標(biāo)運算再向量平行中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18.農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢狀況，從種植有甲、乙兩種麥苗的兩塊試驗田中各抽取6株麥苗測量株高，得到的數(shù)據(jù)如下（單位：）：甲：9，10，11，12，10，20乙：8，14，13，10，12，21（1）用莖葉圖表示這些數(shù)據(jù)：（2）分別計算兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)與方差，并由此估計甲、乙兩種麥苗株高的平均數(shù)及方差．【答案】（1）答案見解析；（2）兩組數(shù)據(jù)中甲種麥苗株高的中位數(shù)為，平均數(shù)為12，方差為；乙種麥苗株高的中位數(shù)為，平均數(shù)為13，方差為；由此估計甲種麥苗株高的平均數(shù)為12，方差為，乙種麥苗株高的平均數(shù)為13，方差為．【解析】【分析】（1）干脆由已知數(shù)據(jù)畫莖葉圖即可；（2）由于每組有6個數(shù)，所以中位數(shù)為最中間兩個數(shù)的平均數(shù)，平均數(shù)和方差干脆利用公求解，然后利用樣本估計總體的狀況【詳解】解：（1）莖葉圖如圖所示（2）甲種麥苗株高的中位數(shù)甲種麥苗株高的平均數(shù)甲種麥苗株高的方差乙種麥苗株高的中位數(shù)乙種麥苗株高的平均值乙種麥苗株高的方差由此估計甲種麥苗株高的平均數(shù)為12，方差為，乙種麥苗株高的平均數(shù)為13，方差為【點睛】此題考查了莖葉圖，利用樣本的中位數(shù)、平均數(shù)、方差來估計總體的狀況，屬于基礎(chǔ)題.19.是定義在上奇函數(shù)，且（1）求，的值；（2）推斷函數(shù)的單調(diào)性（不需證明），并求使成立的實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）是定義在上的奇函數(shù)；的取值范圍是[0，1)．【解析】【分析】（1）由于是定義在上的奇函數(shù)，且，可得，從而可求出，的值，或利用奇函數(shù)的定義先求出的值，再用求出的值；（2）由于為奇函數(shù)，所以可化為，利用函數(shù)在上為增函數(shù)可得，再結(jié)合和可求出的取值范圍.【詳解】解：（1）法一：是定義在上的奇函數(shù)，則，得，解得，經(jīng)檢驗，時，是定義在上的奇函數(shù)，法二：是定義在上的奇函數(shù)，則，即，則，所以，又因為，得，所以，.（2）由（1）知，在上是增函數(shù)，又因為是定義在上奇函數(shù)，由，得，所以，即①，又，即②，，即③，由①②③得解得．故的取值范圍是[0，1).【點睛】此題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，利用奇函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.20.某市為了了解校內(nèi)平安教化系列活動的成效，對全市中學(xué)生進(jìn)行一次平安意識測試，依據(jù)測試成果評定“合格”、“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化，現(xiàn)隨機抽取部分中學(xué)生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果如下，對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示．等級不合格合格得分[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）頻數(shù)124824（1）求、的值；（2）估計該市中學(xué)生測試成果評定等級為“合格”的概率；（3）在抽取的答卷中，用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再從這5份答卷中任取2份，求恰有1份評定等級為“不合格”的概率【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）先由圖表求出樣本容量，從而可求出的值，再利用頻率=頻數(shù)/樣本容量，求出[40，60）的頻率，再除以組距20就得到的值；（2）用60分以上的頻數(shù)除以樣本容量可得到等級為“合格”的頻率，用此頻率來估計概率即可；（3）先分層抽樣的性質(zhì)求出評定等級為“合格”和“不合格”的答卷各為3份，2份，然后列出從5份中抽取2份的全部可能，進(jìn)而可求出所求的概率.【詳解】解：（1）由表格可知樣本容量為所以，即由，即（2）（或）由此估計該市中學(xué)生測試成果等級為“合格”的概率是（3）合格的有72人、不合格的有48人抽樣比故從評定等級為“合格”的答卷中抽取的份數(shù)為，記為、、從評定等級為“不合格”的答卷中抽取的份數(shù)為，記為、則從5份答卷中抽取2份，基本領(lǐng)件共10個基本領(lǐng)件記事務(wù)：恰有1份評定等級為“不合格”共6個基本領(lǐng)件則從這5份答卷中抽取2份，恰有1份評定等級為“不合格”的概率為【點睛】此題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，考查了用頻率估計概率，考查了列舉法計算基本領(lǐng)件數(shù)和發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題.21.已知在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（1）求的表達(dá)式；（2）設(shè)，若，不等式成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求出二次函數(shù)的對稱軸方程，然后依據(jù)開口方向探討其單調(diào)性，由最大最小值確定出的值；（2）由（1）結(jié)果先化簡出表達(dá)式，依據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，利用換元法即可求出函數(shù)的最大值，即得到的取值范圍.【詳解】解：（1）的對