【課件】新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)53函數(shù)模型的應(yīng)用課件新人教A版必修第一冊

4．5函數(shù)的應(yīng)用(二)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4．5.3函數(shù)模型的應(yīng)用用函數(shù)模型解應(yīng)用題的四個步驟．(1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步

選擇模型．(2)建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符

號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型．(4)還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題．

判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”).(1)在選擇實際問題的函數(shù)模型時，必須使所有數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型． (

)(2)利用函數(shù)模型求實際問題的最值時要注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符． (

)(3)用函數(shù)模型預(yù)測的結(jié)果必須和實際結(jié)果相符合. (

)(4)數(shù)據(jù)擬合時，得到的函數(shù)必須要進(jìn)行檢驗． (

)【解析】(1)在選擇實際問題的函數(shù)模型時，允許少量數(shù)據(jù)不符合該函數(shù)模型．×√√√

某城市2020年底人口總數(shù)為100萬人，如果年平均增長率為1.2%，試解答以下問題：(1)寫出經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)y(萬人)與x(年)的函數(shù)關(guān)系；(2)計算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)計算經(jīng)過多少年以后，該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬人(精確到1年).(參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.301，lg1.012≈0.005)解：(1)2020年底人口總數(shù)為100萬人，經(jīng)過1年，2021年底人口總數(shù)為100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(萬人)，經(jīng)過2年，2022年底人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2(萬人)，經(jīng)過3年，2023年底人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3(萬人)，……所以經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)x(萬人)，所以y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后該城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)10≈112.7(萬人).(3)由題意得100×(1＋1.2%)x＝120，即lg[100×(1＋1.2%)x]＝lg120，整理得，2＋xlg1.012＝2＋lg1.2，解得x≈16.所以經(jīng)過16年以后，該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬人．[規(guī)律方法]有關(guān)平均增長率的問題，其基本運算方法是：如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值y可用公式y(tǒng)＝N(1＋p)x來表示．解決平均增長率的問題，常用到這個函數(shù)模型．某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f(t)；(2)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時，藥物對治療疾病有效．求服藥一次治療疾病的有效時間．

人們對聲音有不同的感覺，這與它的強(qiáng)度有關(guān)系，聲音的強(qiáng)度用I(W/m2)表示，但在實際測量中常用聲音的強(qiáng)度水平L表示，它們滿足關(guān)系式L＝10·lg(單位為分貝，L≥0，I0＝1×10－12W/m2，I0是人們平均能聽到的最小強(qiáng)度，是聽覺的開端).(1)樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是1×10－12W/m2，耳語的強(qiáng)度是1×10－10W/m2，恬靜的無線電廣播的強(qiáng)度是1×10－8W/m2，試分別求出它們的強(qiáng)度水平；(2)某一新建的安靜小區(qū)規(guī)定小區(qū)內(nèi)公共場所聲音的強(qiáng)度水平必須保持在50分貝以下，求聲音強(qiáng)度I的范圍．某研究小組在一項實驗中獲得一組關(guān)于y，t的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的圖形．下列函數(shù)中，最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是(

)DA．y＝2t

B．y＝2t2C．y＝t3 D．y＝log2t【解析】由圖形知該函數(shù)可能是y＝log2t.

某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷A，B兩種商品的逐月投資金額與所獲純利潤列成下表：該經(jīng)營者準(zhǔn)備第七個月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品，但不知A，B兩種商品各投入多少萬元才合算．請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大純利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者第七個月可獲得的最大純利潤(精確到0.01萬元).解：以投資金額為橫軸，純利潤為縱軸，分別在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象，如圖所示．由圖1可以看出，A種商品所獲純利潤y與投資金額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬．取(4，2)為最高點，則yA＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把點(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以yA＝－0.15(x－4)2＋2；由圖2可以看出，B種商品所獲純利潤y與投資金額x之間的變化規(guī)律是線性的，可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行模擬．此時B商品的投資為9萬元．故該經(jīng)營者第七個月把12萬元中的3萬元投資A種商品，9萬元投資B種商品，可獲得最大利潤，約為4.55萬元．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預(yù)測可知，進(jìn)入21世紀(jì)以來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長．記2016年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(單位：萬件)之間的關(guān)系如表所示．(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2016年和2018年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)因受新冠肺炎疫情的影響，2020年的年產(chǎn)量比預(yù)計減少了30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，求出2020年的年產(chǎn)量．解：(1)最適合的函數(shù)模型為f(x)＝ax＋b，理由如下：若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝2＋a＝4，可知a＝2，即f(x)＝2x＋2，則f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與已知數(shù)據(jù)相差很大，不符合．[規(guī)律方法]1．對于此類實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式，

再解決數(shù)學(xué)問題，最后驗證并結(jié)合問題的實際意義作出回

答，這個過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題．2．函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點圖；(2)通過觀察散點圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合

直線或擬合曲線；(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式；(4)利用函數(shù)解析式，根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測，為決策和管理提供依據(jù)．1．某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)重，最近三年測得

沙漠增加值分別為0.2萬公頃，0.4萬公頃和0.76萬公頃，則

沙漠增加值y(萬公頃)關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為接近的是(

)【解析】當(dāng)x＝1時，排除選項B；當(dāng)x＝2時，排除選項D；當(dāng)x＝3時，排除選項A.故選C.C2．經(jīng)多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q(單位：L)

與速度v(單位：km/h)(40≤v≤120)的數(shù)據(jù)如下表：為描述Q與v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：Q(v)＝0.04v＋3.6，Q(v)＝0.5v＋a，Q(v)＝0.000025v3－0.004v2＋0.25v.選出最符合實際的函數(shù)模型，解決下列問題：某高速公路共有三個車道，分別是外側(cè)車道、中間車道、內(nèi)側(cè)車道，車速范圍分別是[60，90)，[90，110)，[110，120](單位：km/h).為使百公里耗油量W(單位：L)最小，該型號汽車行駛的車道與速度為(

)A．在外側(cè)車道以80km/h行駛B．在中間車道以90km/h行駛C．在中間車道以95km/h行駛D．在內(nèi)側(cè)車道以115km/h行駛A3．我們可以把(1＋1%)365看作每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年

后的值是1.01365，而把(1－1%)365看作每天的“退步”率都是1%，一年后的值是0.99365，照此計算，若“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍，則需經(jīng)過的天數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈－0.00436)(

)A．100 B．108C．115 D．124C(i)調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0，100]；(ii)調(diào)度后每座水庫