專題10.4 二項(xiàng)式定理（解析版）

專題10.4二項(xiàng)式定理題型一利用二項(xiàng)展開式求指定項(xiàng)題型二利用二項(xiàng)展開式求有理項(xiàng)題型三兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的指定項(xiàng)題型四三項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)題型五整除和余數(shù)問題題型六二項(xiàng)式系數(shù)之和及系數(shù)之和題型七奇（偶）項(xiàng)系數(shù)之和及絕對值型系數(shù)之和題型八二項(xiàng)式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值題型九二項(xiàng)式與導(dǎo)數(shù)的交匯題型一 利用二項(xiàng)展開式求指定項(xiàng)例1．二項(xiàng)式展開式中的含項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】-40【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出展開式通項(xiàng)，利用賦值法，可得答案.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，則.故答案為：.例2．已知多項(xiàng)式，則.【答案】16【分析】令，運(yùn)用換元法將等式變成，結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、賦值即可求得結(jié)果.【詳解】令，則，因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，，所以令可得的展開式中一次項(xiàng)為，令可得的展開式的常數(shù)項(xiàng)為1，又因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，，所以令可得的展開式中一次項(xiàng)為，令可得的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，所以.故答案為：16.練習(xí)1．已知的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得，再根據(jù)二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)即可求得指定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以．則又因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，所以展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為．故選：B.練習(xí)2．的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可得出答案．【詳解】解：，令，得，故，由題意知，即，解得.故答案為：.練習(xí)3．已知多項(xiàng)式，則.【答案】74【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分別求得和的展開式的項(xiàng)，進(jìn)而求得的值.【詳解】對于，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，故，對于，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，故，所以.故答案為：74.練習(xí)4．若，則.【答案】【分析】將化為，后由二項(xiàng)式定理可得答案.【詳解】，設(shè)展開式通項(xiàng)為，令，則.設(shè)展開式通項(xiàng)為，令，則.則.故答案為：練習(xí)5．已知二項(xiàng)式展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則滿足條件的一個(gè)n的值為．【答案】6（答案不唯一）【分析】寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，根據(jù)已知列式，求解即可．【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，∵展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，∴有解，∴，當(dāng)時(shí)，．故答案為：6（答案不唯一）．題型二 利用二項(xiàng)展開式求有理項(xiàng)例3．已知的展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于16.(1)求的值；(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).【答案】(1)5(2)，，【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解的值；（2）求得展開式的通項(xiàng)，結(jié)合題意確定的值，即可求解.【詳解】（1）解：由的展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，可得，即，解得或（舍）所以的值為.（2）解：由（1）知，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)展開式得到的為有理項(xiàng)，所以展開式中所有的有理項(xiàng)為，，.例4．在的展開式中，第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列．(1)證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中所有的有理項(xiàng)．【答案】(1)證明見解析(2)和【分析】（1）先根據(jù)第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列列方程求出，再寫出展開式的通式，令的次數(shù)為計(jì)算即可；（2）求出使的次數(shù)為整數(shù)的，然后代入展開式的通式計(jì)算即可.【詳解】（1）由第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列得解得（舍去）或的展開式的通式為令，得故展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（2）令，則，，展開式中的有理項(xiàng)為和練習(xí)6．的展開式中所有有理項(xiàng)系數(shù)之和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的展開式的通項(xiàng)，要使為有理項(xiàng)，需，又因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，則兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)相等，所以問題可以轉(zhuǎn)化為求的展開式的所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和，然后利用賦值法求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，要使為有理項(xiàng)，需，又因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，則兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)相等，所以問題可以轉(zhuǎn)化為求的展開式的所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和，令，令，則①，令，則②，則①+②可得：，則的展開式中所有有理項(xiàng)系數(shù)之和為.故選：C．練習(xí)7．已知的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)．【答案】（或，或，寫出其中一個(gè)即可）【分析】由二項(xiàng)式定理求解【詳解】由題意知展開式中共有9項(xiàng)，所以，所以的展開式的通項(xiàng)為，，．若為有理項(xiàng)，則，所以，4，8，故展開式中所有的有理項(xiàng)為，，．故答案為：（或，或，寫出其中一個(gè)即可）練習(xí)8．（多選）二項(xiàng)式的展開式中的有理項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】先得到通項(xiàng)公式，當(dāng)或或時(shí)為有理項(xiàng)，求出答案.【詳解】的通項(xiàng)公式，當(dāng)或或時(shí)，為有理項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，D正確；當(dāng)時(shí)，，C正確；當(dāng)時(shí)，，A正確.故選：ACD練習(xí)9．（多選）展開式的有理項(xiàng)為（

）A． B．80 C． D．【答案】AD【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后由的次數(shù)為整數(shù)可求出的值，從而可求出展開式中的有理項(xiàng).【詳解】展開式的通項(xiàng)，由，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故選：AD．練習(xí)10．在的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為.(1)求的值；(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).【答案】(1)(2)所有的有理項(xiàng)為，，，【分析】（1）寫出展開式的通項(xiàng)，求出其第4項(xiàng)系數(shù)和倒數(shù)第4項(xiàng)系數(shù)，列出方程即可求出n的值；（2）令的指數(shù)為整數(shù)，由此求出展開式的有理項(xiàng)．【詳解】（1）由題意知：，則第4項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為，則有，即；（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，所有的有理項(xiàng)為，即，.題型三 兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的指定項(xiàng)例5．已知的所有項(xiàng)的系數(shù)和為3，則的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意令中即可求得的值，進(jìn)一步若要得到，由分類加法以及分步乘法計(jì)數(shù)原理再結(jié)合組合數(shù)即可求解.【詳解】由題意令中即可得到，解得，此時(shí)變?yōu)榱?，若要得到這一項(xiàng)分以下兩種情形：情形一：第一步若取中的,則第二步只能取1個(gè)中的，取3個(gè)中的，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形一所對應(yīng)的的系數(shù)為；情形二：第一步若取中的,則第二步能取2個(gè)中的，取2個(gè)中的，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形二所對應(yīng)的的系數(shù)為.因此由分類加法計(jì)數(shù)原理可知的展開式中的系數(shù)為.故選：D.例6．的展開式中的系數(shù)是.【答案】【分析】寫出的展開式的通項(xiàng)，然后對分類求得答案．【詳解】展開式的通項(xiàng)為，，①令，則；②令，則；綜上可得：展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：．練習(xí)11．展開式中的系數(shù)是（

）A． B． C．24 D．9【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】依題意，展開式中含的項(xiàng)為：，所以的系數(shù)是.故選：A練習(xí)12．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開式中的系數(shù)為.【答案】【分析】令，求得a，再利用二項(xiàng)展開通項(xiàng)公式即可求得含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，所以令，得，解得，所以，因?yàn)榈亩?xiàng)展開通項(xiàng)公式為，，則展開式中含的項(xiàng)為，故該展開式中的系數(shù)為，故答案為：.練習(xí)13．的展開式常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）【答案】7【分析】根據(jù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】展開式第項(xiàng)，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)是：，所以的展開式常數(shù)項(xiàng)是7.故答案為：7練習(xí)14．已知的展開式中x的系數(shù)為2，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】10【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘法，展開式中含有x的一次項(xiàng)為，求其系數(shù)即可.【詳解】的展開式中含有x的一次項(xiàng)為，其系數(shù)為，解得.故答案為：10.練習(xí)15．若的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】由于的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，所以的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，也沒有含的項(xiàng)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，所以且，所以且，即被除時(shí)，余數(shù)為，所以AD選項(xiàng)正確，BC選項(xiàng)錯(cuò)誤.故答案為：AD題型四 三項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)例7．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】-160【分析】變形為，寫出通項(xiàng)公式，求出，得到答案.【詳解】變形為，故通項(xiàng)公式得，其中的通項(xiàng)公式為，故通項(xiàng)公式為，其中，，令，解得，故.故答案為：-160例8．的展開式中的系數(shù)為．【答案】92【分析】由于，根據(jù)二項(xiàng)式定理分別求得和的展開式的通項(xiàng)，從而分析可得的系數(shù).【詳解】，又展開式的通項(xiàng)，展開式的通項(xiàng)，所以含的項(xiàng)為則含的系數(shù)為.故答案為：.練習(xí)16．展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘積的性質(zhì)即可求解．【詳解】由于表示5個(gè)因式的乘積，故其中有2個(gè)因式取，2個(gè)因式取，剩余的一個(gè)因式取，可得含的項(xiàng)，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：．練習(xí)17．的展開式的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】30【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘積的性質(zhì)分別進(jìn)行討論求解即可．【詳解】每個(gè)括號內(nèi)有，，，若的5項(xiàng)式乘積中先選，顯然不會(huì)超過2項(xiàng)．①，顯然不可能出現(xiàn)的項(xiàng)；②再考慮，展開式中，唯有取會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，為．③而，不可能出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)．故答案為：30．練習(xí)18．在的展開式中，形如的所有項(xiàng)系數(shù)之和是．【答案】320【分析】由二項(xiàng)式定理求解三項(xiàng)展開式中的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)為．令，得．令，得所求系數(shù)之和為．故答案為：320練習(xí)19．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024，則展開式中不含的所有項(xiàng)系數(shù)和等于.【答案】213【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式和項(xiàng)的系數(shù)及賦值法的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024，令，整理得，解得；故的展開式滿足，令時(shí)，的展開式滿足，令，解得，故含的所有項(xiàng)系數(shù)為，由于的所有項(xiàng)的系數(shù)和滿足當(dāng)，時(shí)，所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故不含的所有項(xiàng)系數(shù)和等于．故答案為：213．練習(xí)20．已知常數(shù)，的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是780，則m的值為．【答案】3【分析】轉(zhuǎn)化為，利用展開式的通項(xiàng)公式討論計(jì)算即可.【詳解】=，設(shè)其通項(xiàng)為，設(shè)的通項(xiàng)為，要求項(xiàng)的系數(shù)，只有為偶數(shù)，當(dāng)，此時(shí)項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)，此時(shí)項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)，此時(shí)項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)，不合題意，故項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：3題型五 整除和余數(shù)問題例9．若，且（，且），則（

）A．1 B．2 C．15 D．16【答案】D【分析】根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得，然后結(jié)合條件可得可以被17整除，即可得到結(jié)果.【詳解】，因?yàn)槟鼙?7整除，所以可以被17整除，即能被17整除，因?yàn)榍?，所?故選：D.例10．若，則被5除所得的余數(shù)為．【答案】1【分析】取，可以求得，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)式定理展開，判斷被5除得的余數(shù).【詳解】由題知時(shí)，，，故所以被5除得的余數(shù)是1.故答案為：1練習(xí)21．除以1000的余數(shù)是．【答案】24【分析】由題意可得，展開，結(jié)合二項(xiàng)式定理即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋猿?000的余數(shù)是：.故答案為：24練習(xí)22．除以所得的余數(shù)是.【答案】22【分析】由，利用二項(xiàng)式定理展開，注意有余數(shù)的項(xiàng)，即可得余數(shù).【詳解】法一：由，前9項(xiàng)可以被整除，而，故余數(shù)為.法二：由，而，故余數(shù)為.故答案為：練習(xí)23．被4除的余數(shù)為.【答案】1【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得答案.【詳解】因?yàn)?，?024可以被4整除，所以余數(shù)為1.故答案為：1.練習(xí)24．若能被13整除，則m的最小正整數(shù)取值為．【答案】12【分析】由于，利用二項(xiàng)式定理展開可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槟鼙?3整除，所以是13的倍數(shù)時(shí)，能被13整除，所以m的最小正整數(shù)取值為12，故答案為：12練習(xí)25．被除的余數(shù)是.【答案】【分析】依題意可得原式，再根據(jù)二項(xiàng)式的展開式計(jì)算可得.【詳解】.所以被除的余數(shù)是.故答案為：題型六 二項(xiàng)式系數(shù)之和及系數(shù)之和例11．已知，，若，則該展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出，，根據(jù)求出n的值，從而可求解.【詳解】，，∴，解得，∴該展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.故選：D例12．在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為64，則的系數(shù)為.【答案】135【分析】根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)和和二項(xiàng)式系數(shù)和的關(guān)系建立方程求出的值，然后求出展開式的通項(xiàng)公式令的次數(shù)等于3進(jìn)行求解即可．【詳解】令，得各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和為，則，得，展開式的通項(xiàng)公式為，由，得，則，則的系數(shù)為135，故答案為：135．練習(xí)26．已知，二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．36 B．30 C．15 D．10【答案】C【分析】先根據(jù)“所有項(xiàng)的系數(shù)和”求得，然后利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】令，則可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為且，解得，∵的展開式中的通項(xiàng)，∴當(dāng)時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C練習(xí)27．若，則．【答案】64【分析】賦值令，即可求解．【詳解】令，則.故答案為：64．練習(xí)28．（多選）已知的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則（

）A． B．展開式中的系數(shù)為C．展開式中常數(shù)項(xiàng)為16 D．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1【答案】ABD【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和求，利用展開式的通項(xiàng)求的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，令求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】由二項(xiàng)式系數(shù)之和為，可得，A選項(xiàng)正確；展開式的通項(xiàng)為，時(shí)，，展開式中的系數(shù)為，B選項(xiàng)正確；時(shí)，，展開式中常數(shù)項(xiàng)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；中，令，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD練習(xí)29．（多選）在的展開式中，下列說法正確的有（

）A．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128 B．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為 D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第四項(xiàng)【答案】AC【分析】選項(xiàng)A：利用二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)即可求解；選項(xiàng)B：令x＝1即可求解；選項(xiàng)C：根據(jù)二項(xiàng)式定理即可求解；選項(xiàng)D：根據(jù)n＝8以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】選項(xiàng)A：展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，故A正確；選項(xiàng)B：令，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：展開式的通項(xiàng)為，則展開式中含的系數(shù)為，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)閚＝8，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第5項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：AC．練習(xí)30．的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是，各項(xiàng)系數(shù)和是．【答案】1【分析】用二項(xiàng)式系數(shù)和公式可求二項(xiàng)式系數(shù)之和；用賦值法，令變量為1，可求得系數(shù)之和.【詳解】中,二項(xiàng)式系數(shù)之和為,中，令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為.故答案為：1024；1.題型七 奇（偶）項(xiàng)系數(shù)之和及絕對值型系數(shù)之和例13．若，則.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用賦值法求解即可.【詳解】因?yàn)?，令，則，令，則，兩式相加得：，則.故答案：.例14．若，請分別求出下列的值(1)(2)(3)【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）令，即可求出答案；（2）把求和問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開式的各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)和，令即可求解；（3）利用導(dǎo)數(shù)及賦值法即可得解.【詳解】（1）由，令得，所以.（2）因?yàn)榈暮蜑槎?xiàng)式的展開式的各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)和，令則；（3）令，則，且，令，則，且，所以.練習(xí)31．（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理以及賦值法相關(guān)知識直接計(jì)算求解即可.【詳解】對于A，令，得到，故A正確；對于B，的通項(xiàng)公式為，令，得到，令，得到，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，令，得到，故C正確；對于D，令，則，又因?yàn)椋瑑墒较鄿p得，則，故D正確.故選：ACD練習(xí)32．（多選）若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令，可判定A正確；求得展開式的通項(xiàng)，令，可判定B錯(cuò)誤；由，令，可判定C正確；兩邊求導(dǎo)數(shù)得到，令，進(jìn)而可判定以D錯(cuò)誤.【詳解】由，對于A中，令，可得，所以A正確；對于B中，由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，可得，所以B錯(cuò)誤；對于C中，由展開式的通項(xiàng)知：當(dāng)時(shí)，可得展開式的系數(shù)為正值，當(dāng)時(shí)，可得展開式的系數(shù)為負(fù)值；所以，令，可得，即，所以C正確；對于D中，由，兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得，令，可得，又由，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.練習(xí)33．（多選）設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)求得判斷A；賦值法令、且求部分項(xiàng)系數(shù)和判斷B、C；確定各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)，去絕對值符號求判斷D.【詳解】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，所以，時(shí)，時(shí)，故，A對；又，即，令，即，則①，B錯(cuò)；令，即，則②，由①②得：，則，C對；由知：展開式奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正，所以，而，故，即，D對.故選：ACD練習(xí)34．若，則.【答案】【分析】利用賦值法令、分別求出、，再解得即可.【詳解】因?yàn)?，令可得，令可得，所?故答案為：練習(xí)35．設(shè)．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，由求出的值，求出的值，即可求出的值；（2）由求出的值，由求出的值，兩式相減即可求出的值；（3）根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式知，結(jié)合展開式的各項(xiàng)系數(shù)，即可求出的值．【詳解】（1）由，令，得，則；令，得，則，所以；（2）令，得①，令，得②，①②得，，所以；（3）根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式知，，為負(fù)，，為正；令，所以．題型八 二項(xiàng)式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值例15．的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的為，則不可能為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的概念和組合數(shù)的運(yùn)算公式求解.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的對稱關(guān)系，當(dāng)時(shí)，所有二項(xiàng)式系數(shù)中，最大；當(dāng)時(shí)，所有二項(xiàng)式系數(shù)中，，且均為最大；當(dāng)時(shí)，所有二項(xiàng)式系數(shù)中，最大；當(dāng)時(shí)，所有二項(xiàng)式系數(shù)中，，且均為最大；故選:A.例16．在的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)．【答案】(1)(2)、【分析】（1）由二項(xiàng)式判斷二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用展開式通項(xiàng)公式求對應(yīng)項(xiàng)；（2）利用不等式法求出系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)，利用展開式通項(xiàng)公式求系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；【詳解】（1）由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式共有項(xiàng)，故第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，又展開式通項(xiàng)為，，則.（2）系數(shù)絕對值最大，只需，且，所以，則，所以，可得，故或3時(shí)系數(shù)絕對值最大，即對應(yīng)展開式中的第3和4項(xiàng)，則，.練習(xí)36．（多選）關(guān)于的說法正確的是（

）．A．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024 B．展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C．展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最小 D．展開式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大【答案】ABC【分析】由二項(xiàng)式直接求二項(xiàng)式系數(shù)之和及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用展開式通項(xiàng)分析并求出最小項(xiàng)，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為，正確；由題設(shè)，展開式共有11項(xiàng)，故第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，B對，D錯(cuò)；C：由且，顯然奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，所以，第6項(xiàng)系數(shù)最小為，正確.故選：ABC練習(xí)37．（多選）已知為滿足能被9整除的正整數(shù)的最小值，則的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．第7項(xiàng)系數(shù)最小 B．第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大C．第7項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．第6項(xiàng)系數(shù)最小【答案】BD【分析】由已知可得，則可得，可求得，然后利用二項(xiàng)式的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)橐驗(yàn)椋許能被9整除的正整數(shù)a的最小值是，得，所以，所以的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，的展開式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈?項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以第6項(xiàng)系數(shù)最小，故選：BD．練習(xí)38．已知展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.(1)求展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；(3)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知求參數(shù)n，進(jìn)而求二項(xiàng)式系數(shù)和.（2）利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；（3）根據(jù)項(xiàng)數(shù)直接寫出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】（1）由題意，展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.二項(xiàng)式定理展開前三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為：，解得：或（舍去），即的值為，故有展開式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為.（2）由通項(xiàng)公式，，令，可得：.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；（3）是偶數(shù)，展開式共有項(xiàng)，則第四項(xiàng)最大，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.練習(xí)39．在的展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于.(1)求的值；(2)若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，試求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得的值；（2）求出的通項(xiàng)為根據(jù)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為解得，再列不等式組求解即可.【詳解】（1）解：由題意可知，展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，整理可得，因?yàn)?，解?（2）解：的展開式通項(xiàng)為，令，可得，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，解得，由不等式組，解得.因?yàn)?，所以，，因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.練習(xí)40．已知二項(xiàng)式．(1)求展開式中的有理項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】(1)，，，，，，，，.(2)，【分析】（1）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由的指數(shù)為有理數(shù)求得的值，即可得答案；（2）直接由（1）中求得的項(xiàng)得結(jié)論．【詳解】（1）的展開式的通項(xiàng)為，，展開式中的每一項(xiàng)都是有理項(xiàng)，分別為：，，，，，，，，.（2）由（1）可知，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)與第四項(xiàng)，分別為，．題型