第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末題型歸納總結(jié)（解析版）

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：導(dǎo)數(shù)的計算經(jīng)典題型二：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典題型三：切線方程問題經(jīng)典題型四：距離最值問題經(jīng)典題型五：最值與極值問題經(jīng)典題型六：恒成立問題經(jīng)典題型七：構(gòu)造函數(shù)解不等式問題經(jīng)典題型八：與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實際應(yīng)用問題經(jīng)典題型九：證明不等式問題經(jīng)典題型十：零點問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：導(dǎo)數(shù)的計算例1．（2023·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（

）

A．B．C．D．【答案】B【解析】由圖象可知在上單調(diào)遞增，，故，即．故選：B．例2．（2023·河北廊坊·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】A【解析】．故選：A例3．（2023·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【解析】由已知可得，，所以，，所以，.故選：C.例4．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B．-1 C． D．0【答案】A【解析】，因此有，故選：A例5．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知，，，，求下列函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）設(shè)，則，所以.（2）設(shè)，則，所以（3）設(shè)，則所以（4）設(shè)，則，所以（5）設(shè)，則所以.（6）設(shè)，所以例6．（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有．（2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有．（3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有．例7．（2023·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.經(jīng)典題型二：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)例8．（2023·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【解析】易知的定義域為，則，令，解得；即可知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：例9．（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由題意得，，則由題意可知在上，恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因為在上，，所以．故答案為：例10．（2023·廣東肇慶·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值為.【答案】【解析】由題意得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以，即實數(shù)的最小值為.故答案為：例11．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的增區(qū)間為．【答案】【解析】由函數(shù)，可得，因為，令，即，解得，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為.故答案為：.例12．（2023·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可知在上恒成立，所以在上恒成立，記，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，故當(dāng)取極小值也是最小值，且，故，即，所以，故答案為：例13．（2023·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則的范圍是．【答案】【解析】由函數(shù)，可得，即為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故由可得，即的范圍是，故答案為：例14．（2023·北京通州·高二校考階段練習(xí)）若在上是減函數(shù)，則b的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，所以當(dāng)時，，所以，故答案為：例15．（2023·陜西延安·高二陜西延安中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若的圖象在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；(2)討論在上的單調(diào)性．【解析】（1）已知函數(shù)，則，因為的圖象在處的切線與直線垂直，所以，則有，所以的值為.（2）由（1）知，令，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，則在上有最小值為，所以，當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，在上有唯一零點，即，在上，，在上，，所以在上，在上單調(diào)遞減，在上，在上單調(diào)遞增.例16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.若時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】由題知，①若，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②若，則，，在上單調(diào)遞增；③若，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】，令，則或，①若，則有，所以函數(shù)在R上為增函數(shù)；②若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；③若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時，函數(shù)在R上為增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減.例18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【解析】因為，所以的定義域是，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得或，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.例19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】因為，所以的定義域為，，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.③當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.例20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【解析】由函數(shù)定義域為R，可得，當(dāng)時，恒成立，故在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：時，在R上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.例21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性.【解析】由題意可得：函數(shù)的定義域為，，（i）當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)時，令，解得，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.經(jīng)典題型三：切線方程問題例22．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，切線的斜率為，因為切線與直線垂直，所以，解得．故選：D．例23．（2023·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與平行，則（

）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】B【解析】，因為函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為2，可得，解得.故選：B.例24．（2023·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為1，則實數(shù)的值為（

）A．0或1 B．1或 C．0或 D．或【答案】B【解析】由函數(shù)，可得，則且，所以曲線在處的切線方程為，取，可得；取，可得，因為在處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為1，可得，解得或.故選：B.例25．（2023·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點近似解的另一種方法.若定義是函數(shù)零點近似解的初始值，在點處的切線方程為，切線與軸交點的橫坐標(biāo)為，即為函數(shù)零點近似解的下一個初始值.以此類推，滿足精度的初始值即為函數(shù)零點近似解.設(shè)函數(shù)，滿足，應(yīng)用上述方法，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因為，導(dǎo)數(shù)為，可得，，可得在處的切線的方程為，又因為，滿足切線的方程，可得，解得，由得，，故選：B例26．（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若過點可作曲線的兩條切線，則點可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)，可得，設(shè)切點的坐標(biāo)為，則在切點處的切線方程為，把點代入，可得，整理得，因為過點可作曲線的兩條切線，則方程有兩個不等的實根，所以，即，分別把點代入驗證，可得只有滿足，所以點可以是.故選：D.例27．（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線是，則（

）

A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【解析】由圖象可得切線過點，所以切線的方程為，即，所以切線的斜率為，所以因為點在切線上，所以，所以，所以，故選：C例28．（2023·四川綿陽·高二?？计谥校┤糁本€是曲線的切線，也是曲線的切線，則（

）A．2 B．3 C．1 D．1.5【答案】A【解析】若，則，且，若，則，且，又是、的公切線，設(shè)切點分別為、，則，，則，即.故選：A例29．（2023·陜西西安·高二西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若曲線與曲線在公共點處有相同的切線，則實數(shù)a等于（

）A． B．－ C．－ D．【答案】B【解析】由題設(shè)，的導(dǎo)函數(shù)為；的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)公共點為且m>0，則，，則公共點處的切線為，即；公共點處的切線為，即；因為公共點處切線相同，則，可得，則.故選：B例30．（2023·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若曲線存在垂直于y軸的切線，則a的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，f(x)存在垂直與y軸的切線，即存在切線斜率的切線，又，，∴有正根，即有正根，即函數(shù)y＝－2a與函數(shù)的圖像有交點，令，則g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，∴－2a≥，即a≤.故選：C.例31．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，則實數(shù)（

）A．2 B．0或2 C． D．或0【答案】D【解析】由，則，而，∴處的切線方程為，即.又與有一個公共點，∴，整理得，當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，顯然只有一個解，符合題設(shè)；∴或.故選：D.例32．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知曲線在處的切線經(jīng)過點，則的大致范圍是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．（2，e） B．（e，3） C．（3，4） D．（4，5）【答案】C【解析】∵，∴曲線在處的切線方程是，由切線經(jīng)過點，得．令，顯然單調(diào)遞減，∵，，∴的大致范圍是．故選：C經(jīng)典題型四：距離最值問題例33．（2023·吉林白山·高二校聯(lián)考期末）已知點在函數(shù)的圖象上，點在直線上，則，兩點之間距離的最小值是（

）A． B．4 C． D．8【答案】A【解析】設(shè)，，過點的切線恰好與直線平行，則，即，所以，則，即，此時到直線的距離，所以，兩點之間距離的最小值為.故選：A例34．（2023·貴州黔東南·高二凱里一中校考階段練習(xí)）已知點P（x,y）是曲線上的一動點，則點P（x,y）到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)曲線在點P處的切線與直線平行時，點P到該直線的距離最小，，由直線的斜率，則，得，有，所以，∴到直線距離.故選：C.例35．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若點，，則、兩點間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】點在直線，點在上，，設(shè)的切線的切點為，令，所以在點處的切線為,此時切線與直線平行，直線與之間的距離為的最小值，故選：B例36．（2023·北京西城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)P為曲線上一點，Q為曲線上一點，則|PQ|的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】，，時，，，所以是圖象的一條切線，切點為，，，時，，，所以是的圖象的一條切線，切點為，，這兩條切線平行，兩切點連線恰好與切線垂直，|PQ|的最小值即為兩切點間的距離．所以，故選：C．例37．（2023·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）已知直線與及的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）．A．1 B． C． D．【答案】D【解析】令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即最小值為．故選：D例38．（2023·山西運城·高二康杰中學(xué)校考開學(xué)考試）函數(shù)，的圖象與直線分別交于兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．2【答案】C【解析】設(shè)，則所以，，所以，令，得，此時單調(diào)遞減，令，得，此時單調(diào)遞增，所以，則，則.故選：C例39．（2023·江西南昌·高二校聯(lián)考期末）曲線上的點到直線的距離的最小值是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【解析】因為，所以，設(shè)切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D經(jīng)典題型五：最值與極值問題例40．（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．(1)；(2)．【解析】（1）因為，所以恒為正，在上單調(diào)遞增，因此沒有極值．（2）．令，得或．1和2將區(qū)間分為三個區(qū)間，列表如下：1200遞減極小值0遞增極大值1遞減故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因而極大值為1，極小值為0．例41．（2023·重慶江北·高二重慶十八中校考期中）已知是函數(shù)的極小值點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求的極大值．【解析】（1）因為，令，解得或，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，無極值點，不合題意；當(dāng)，即時，令，解得或；令，解得；則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點，不合題意；當(dāng)，即時，令，解得或；令，解得；則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點，符合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍.（2）由（1）可知：在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為.例42．（2023·甘肅武威·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，且，所以，故在處的切線方程為，即，所以函數(shù)在處的切線方程為：；（2）令，則，解得，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得極大值；當(dāng)時，取得極小值.例43．（2023·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)曲線在點處的切線方程為（其中，a，，是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）由得，依題可得：，所以.又，所以，所以，.（2）由（1）知，則，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，，，故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.例44．（2023·湖北黃岡·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1），則，而，故在點處的切線方程為（2），當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)，最大值為，而，，故最小值為0.例45．（2023·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值.【解析】（1）由已知條件得，其中的定義域為，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）①由恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，所以a的最小值為例46．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)在上的最小值為，求a的值.【解析】由，，得，當(dāng)時，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，解得，不滿足，故舍去；當(dāng)時，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，，所以，滿足題意.綜上所述，.經(jīng)典題型六：恒成立問題例47．（2023·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程.(2)若在定義域上恒成立，則a的取值范圍.【解析】（1）由題得，又所求切線方程為；（2）令解得令解得故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以根據(jù)題意得即的取值范圍為.例48．（2023·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)其中為常數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，則，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，（2）的定義域為，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，（3）由（2）可知當(dāng)取得最大值，因為對任意，不等式恒成立，所以，即，，解得或，即的取值范圍為.例49．（2023·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，（其中）．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意，都有成立，求的取值范圍．【解析】（1）若，則，，令，可得或，令，可得，所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因為對于任意，都有成立，所以對于任意，都有成立,即對于任意，；因為，所以對于任意，.設(shè)，其中，則，因為，所以，所以，因此在單調(diào)遞增，所以，所以，即，故的取值范圍為.例50．（2023·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考期末）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上嚴(yán)格增，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，所以，，即切線的斜率，切點，所以切線方程為：，即，故切線方程為；（2）因為函數(shù)在上嚴(yán)格增，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，所以小于等于的最小值，因為，所以，故的取值范圍為.例51．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對任意的，都有恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）因為，該函數(shù)的定義域為，，由可得，解得或，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、.（2）因為，由可得，因為，列表如下：增減增所以，當(dāng)時，，因為對任意的，都有恒成立，則.因此，實數(shù)的取值范圍是.例52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其圖象在點處的切線方程為．(1)求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對，，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．解得，．，令，解得或；令，解得．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得：，．令，則，所以當(dāng)變化時，的變化情況如下：，02，00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表格可知：當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，，又．函數(shù)在上的最大值為8．由，不等式恒成立，．，解得或．的取值范圍是．例53．（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考期中）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值為M，若存在，使得成立，求實數(shù)b的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)，由，則，當(dāng)變化時、隨的變化情況如下表：1+0-0+增減增所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；（2）由（1）知，時，在上遞增，在上遞減，所以，存在使，只需在上的最大值大于等于，所以有，解得，所以b的取值范圍是．例54．（2023·四川南充·高三四川省南充市高坪中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程;(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，，即切點，，則，所以切線，即.（2）恒成立，所以恒成立，即恒成立.設(shè)，，所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，所以，即.故實數(shù)的取值范圍.經(jīng)典題型七：構(gòu)造函數(shù)解不等式問題例55．（2023·四川眉山·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，因為，所以，又，所以在上單調(diào)遞增，不等式即，所以，所以，即不等式的解集為.故選：A例56．（2023·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意都有，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，所以在R上遞增，又，則不等式等價于，所以，故選：A例57．（2023·湖北武漢·高二武漢市育才高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知定義域為的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，因為定義域為的奇函數(shù)，則過點，且，則過點，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，畫出示意圖如下：或，故選：D.例58．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不等式化為，即，由單調(diào)遞增可得，即.故選:C.例59．（2023·四川涼山·高二寧南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，因為，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，即，所以，即的解集為.故選：D例60．（2023·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）函數(shù)的定義城為，，對任意，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減.又因為，所以即的解集為.故選：D.例61．（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的定義域為R，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得.故選：D.例62．（2023·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，在上單調(diào)遞增，，則不等式，即為，即為，，所以不等式的解集為.故選：B經(jīng)典題型八：與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實際應(yīng)用問題例63．（2023·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)校考階段練習(xí)）某校高二年級某小組開展研究性學(xué)習(xí)，主要任務(wù)是對某產(chǎn)品進(jìn)行市場銷售調(diào)研，通過一段時間的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量單位：千克與銷售價格單位：元千克近似滿足關(guān)系式，其中，，，為常數(shù)，已知銷售價格為元千克時，每日可售出千克，銷售價格為元千克時，每日可售出千克．(1)求的解析式；(2)若該商品的成本為元千克，請你確定銷售價格的值，使得商家每日獲利最大．【解析】（1）由題意可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，解得，所以，，（2）設(shè)每日銷售該商品獲利元，則，則，令，得或舍去，所以時，，為增函數(shù)，時，，為減函數(shù)，所以時，取得最大值，，所以銷售價格定為元千克，商家每日獲利最大．例64．（2023·高二課時練習(xí)）已知某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總成本C（單位：萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足函數(shù)關(guān)系，產(chǎn)品單價P（單位：萬元）和產(chǎn)品件數(shù)x滿足函數(shù)關(guān)系．問：產(chǎn)量為多少件時，總利潤最大？【解析】設(shè)總利潤為，則總銷售量－總成本C(x)＝產(chǎn)品件數(shù)產(chǎn)品單價－C(x)，即，，令，可得，可得，所以在上遞增，在上遞減.當(dāng)時，總利潤最大.例65．（2023·黑龍江綏化·高二?？茧A段練習(xí)）消毒液已成為生活必需品，日常的消費需求巨大．某商店銷售一款酒精消毒液，每件的成本為元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該款消毒液的日銷售量（單位：件）與銷售價格（單位：元/件）滿足關(guān)系式．(1)求該款消毒液的日利潤與銷售價格間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)該款消毒液每件售價為多少元時，每日銷售該款消毒液所獲得的利潤最大，并求出日最大利潤．【解析】（1）由題意知：，即.（2）由（1）得：，令，解得：（舍），，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)該款消毒液每件售價為元時，每日銷售該款消毒液所獲得的利潤最大，最大利潤為元.例66．（2023·高二課時練習(xí)）如圖是一張邊長為3的正方形硬紙板，現(xiàn)把它的四個角上裁去邊長為x的四個小正方形，再折疊成無蓋紙盒．當(dāng)裁去的小正方形邊長x發(fā)生變化時，紙盒的容積V會隨之發(fā)生變化．當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時，容積V隨著x的增大而增大？x在什么范圍內(nèi)變化時，容積V隨著x的增大而減小？當(dāng)x取何值時，容積V最大？最大值是多少？（紙板厚度忽略不計）

【解析】由題意，得，．求導(dǎo)可得，令，得與，令，解得時，；令，解得．因此，當(dāng)時，容積V隨著x的增大而增大；當(dāng)時，容積V隨著x的增大而減??；而當(dāng)時，容積是極大值，也是最大值．例67．（2023·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某企業(yè)有甲、乙、丙三個工廠，甲、乙廠分別位于筆直河岸的岸邊A，B處，丙廠與甲、乙廠在河的同側(cè)，位于C處，CD垂直于河岸，垂足為D，且D與C相距20千米，D與A相距60千米，B與A相距20千米．現(xiàn)要在此岸邊BD（不包括端點）之間建一個物流供貨站E，假設(shè)運輸時從供貨站到甲、乙、丙三廠均沿直線行駛，從供貨站到甲、乙廠的運輸費用均為每千米2a元，從供貨站到丙廠運輸費用是每千米5a元，問：供貨站E建在岸邊何處才能使總運輸費用最??？

【解析】根據(jù)題意設(shè)供貨站E建在與D相距x千米處，．此時，，．設(shè)總運輸費用為y元，則，則．令，解得；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值此時千米，千米．即供貨站E建在岸邊BD之間距乙廠千米處時，總運輸費用最?。?8．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，工廠A到鐵路專用線的距離km，在鐵路專用線上距離B100km的地方有一個配件廠C，現(xiàn)在準(zhǔn)備在專用線的BC段選一處D鋪設(shè)一條公路（向著A），為了使得配件廠到工廠A的運費最省，那么D處應(yīng)如何選址？（已知每千米的運費鐵路是公路的60%）【解析】設(shè)，，設(shè)公路每千米的運費為，則鐵路每千米的運費為，則配件廠到工廠A所需的總運費為令，即，得，解得（不合題意，舍去）當(dāng)時，；當(dāng)時，，即當(dāng)時，函數(shù)取最小值.故處選在距點處km時運費最省.經(jīng)典題型九：證明不等式問題例69．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.【解析】（1）顯然該函數(shù)的定義域為全體正實數(shù)，由，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此；（2）由（1）可知：，即，即，當(dāng)時，.例70．（2023·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）求證：【解析】證明：不妨設(shè)，則若證，只需證即證：設(shè)則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增因為，所以，即所以原不等式成立例71．（2023·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極大值；(2)求證：.【解析】（1）由題意可得的定義域為，且，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為.（2）由（1）可得：對任意恒成立，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立，令，則，故.例72．（2023·湖南·高二南縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)證明：．【解析】（1）∵，∴，∵曲線在點處的切線方程為，∴，解得，．（2）由（1）知，，∴當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，∴的最小值為，∴，即證.例73．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（）．(1)若存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，為的兩個極值點，證明：．【解析】（1）（1），，若存在兩個極值點，則在上有兩個根，所以有兩個根，即與，有兩個交點，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以時，，所以，所以的取值范圍為．（2）證明：由（1）知，且，，所以，所以只需證明，令，故，原不等式等價于對成立，令，，所以單調(diào)遞減，則有（1）．例74．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）證明以下不等式：(1)；(2)；(3).【解析】（1）令，則有.令，即，解得；令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，即.所以.（2）令，則.令，即，解得；令，即，解得，所以在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，即，所以.（3）由（1）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）①.由（2）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）②因為①式與②式取等號的條件不同，所以.經(jīng)典題型十：零點問題例75．（2023·北京大興·高三北京市大興區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，(1)求的極值；(2)若函數(shù)存在兩個零點，求的取值范圍.【解析】（1）令且，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上遞增，上遞減，故的極大值為，無極小值.（2）由題設(shè)，有兩個根，即與有兩個交點，由（1）知：在上遞增，上遞減，在上，在上，且當(dāng)趨向正無窮時趨向于0，綜上，只需，即.例76．（2023·天津濱海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間、最值．(3)設(shè)在上有兩個零點，求的范圍.【解析】（1）由題意知，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由得，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.所以，又，，所以.（3）在上有兩個零點，即有兩個不等根，由（2）知.例77．（2023·西藏林芝·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求的函數(shù)值；(2)若有三個零點，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，,則.（2）,若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)至多有一個零點，不滿足題意；若，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，要使函數(shù)有三個零點，只需，即，解得，綜上，.例78．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，，因為函數(shù)在上有兩個不同的零點，所以，即，解得，即實數(shù)的取值范圍為.例79．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的最值；(2)設(shè)，若恰有個零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題得，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故無最值當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得唯一的極小值，即為最小值，即，綜上所述，當(dāng)時，無最值當(dāng)時，的最小值為，無最大值.（2），函數(shù)恰有個零點，即恰有個不等的實根，即恰有個不等的實根，設(shè)，則，，單調(diào)遞增，有兩個解，即有兩個解.令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又時，，且，，當(dāng)時，，當(dāng)時，僅有一個零點，的取值范圍為.例80．（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點個數(shù).【解析】（1）因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最大值；當(dāng)時，取最小值.（2）先討論在上的零點個數(shù)，由（1）可知，在上遞減，，所以在上遞減，因為，所以在上有唯一零點，又因為，所以是偶函數(shù)，所以在上有兩個零點.例81．（2023·貴州六盤水·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若在上有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以時，函數(shù)取到極小值，無極大值；（2）令，可得，記，原問題等價于的圖象與直線有唯一的交點，，在上單調(diào)遞增，且，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)，做出函數(shù)圖象：由圖可知，當(dāng)或時，的圖象與直線有唯一的交點，故實數(shù)a的取值范圍為.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例82．直線是曲線的一條切線，則實數(shù)（

）A．或1 B．或3 C． D．3【答案】B

【解析】設(shè)切點，，則，解得或；若，則；若，則；綜上所述，或3，故選：例83．若是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】，則，①若，即時，則，則在R上單調(diào)遞增，沒有極值點，不符合條件，舍去；②若，即時，由，得或；由，得，故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，顯然在取得極小值，不滿足條件，舍去；③若，即時，由，得或；由，得，故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，顯然在取得極大值，滿足條件；故a的取值范圍是：例84．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】由題意得，，①當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時，函數(shù)的極值點，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得故本題選例85．已知函數(shù)在處取得極大值，則（

）A．2 B．6 C． D．【答案】B

【解析】求導(dǎo)函數(shù)可得，，解得，或，當(dāng)時，，函數(shù)在處取極小值，不符合題意；當(dāng)時，，函數(shù)在處取極大值，符合題意，故選例86．若經(jīng)過點作曲線的切線，則切線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C

【解析】①易知點在曲線上，當(dāng)點P為切點時，，則，故切線方程為②當(dāng)點不是切點時，設(shè)切點為，由定義可求得切線的斜率為點A在曲線上，，，即，則，解得或舍去，，，此時切線方程為，即故經(jīng)過點P的曲線的切線有兩條，方程為或故選例87．已知函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】，當(dāng)時，，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，不符合，故舍去；當(dāng)時，令得到，因為函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則，解得，，故選：例88．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】①當(dāng)時，只需，當(dāng)時顯然成立；當(dāng)時，，令，，當(dāng)，解得，當(dāng)，解得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故有，解得；②當(dāng)時，，解得，③當(dāng)

時，，解得，故實數(shù)a的取值范圍為故選：②轉(zhuǎn)化與化歸思想例89．已知，則“”是“在內(nèi)單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A

【解析】，且，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立．則可知在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)在內(nèi)單調(diào)遞增時，則可得成立，即，綜上可得“”是“在內(nèi)單調(diào)遞增”的充分不必要條件．故選例90．若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】由題意可知單調(diào)遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，由二次函數(shù)性質(zhì)當(dāng)時，取最小值，故故選：例91．已知函數(shù)的定義域為R，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】設(shè)，所以，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又因為，所以時，，時，，所以時，，所以時，，即，時，，所以，所以恒成立．故選例92．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】令，則，在R上單調(diào)遞減，由，，得，故，解得：故選例93．已知直線與及的圖