考點(diǎn)04 等腰三角形與直角三角形（解析版）

考點(diǎn)四等腰三角形與直角三角形知識(shí)點(diǎn)整合一、等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．二、等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．3．判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．三、直角三角形與勾股定理1．直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．判定：（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．形．考向一等腰三角形的性質(zhì)判定1．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸．2．等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．學(xué)-科網(wǎng)3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a．5．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．6．等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．7．底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．典例引領(lǐng)1．如圖，邊長(zhǎng)為12的等邊，F(xiàn)是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BF上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊，連接CD、CE、EF，下列說(shuō)法正確的有（

）個(gè)．①；②；③；④的周長(zhǎng)最小值為18；⑤的大小隨著點(diǎn)D的移動(dòng)而變化．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等．根據(jù)三線合一定理即可判斷①；證明是線段的垂直平分線，得到，再由等邊三角形的性質(zhì)證明，即可判斷②③；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知當(dāng)即D與F重合時(shí)，最小，即此時(shí)的周長(zhǎng)最小，即可判斷④；證明，得到即可判斷⑤．【詳解】解：∵是等邊三角形，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，∴，故①正確；∴是線段的垂直平分線，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故③正確；∴，故②正確；∵D在線段上，∴當(dāng)即D與F重合時(shí)，最小，即此時(shí)的周長(zhǎng)最小，∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為6，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴的周長(zhǎng)的最小值為，故④錯(cuò)誤；∵都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，故⑤錯(cuò)誤；∴正確的一共有3個(gè)，故選：B．2．如圖，在等腰三角形中，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，，若點(diǎn)P是等腰三角形的邊上的一點(diǎn)，則當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是（

）A． B． C．減 D．或【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)D作，，易證，，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】解：連接，∵，，∴，∵點(diǎn)P是等腰的腰上的一點(diǎn)，，D為的中點(diǎn)，∴，過(guò)D作，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，∴，故選C二、填空題3．如圖，在中，，，D為中點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．有以下結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）【答案】①②③④【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)D為中點(diǎn)，得到垂直平分，即可得到，結(jié)合，即可得到，從而得到，，即可判斷①，結(jié)合內(nèi)外角關(guān)系即可判斷角②，作P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，證明即可判斷③，過(guò)作，在上截取，證明，結(jié)合面積公式即可得到答案；【詳解】解：連接，延長(zhǎng)交于，∵D為中點(diǎn)，，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，故①正確，由①得，，∵，∴為等邊三角形，故②正確，作P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，如圖所示∵為等邊三角形，∴，，∴，∵P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，∴，，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故③正確，過(guò)作，在上截取，連接，∵，，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，故④正確，故答案為：①②③④．4．如圖，在中，與的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，分別交于點(diǎn)．若，則的周長(zhǎng)是．【答案】10【分析】本題考查了角平分線定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性質(zhì)得，，從而得出答案，有效的進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，與的平分線交于點(diǎn)O，，，的周長(zhǎng)為，故答案為：10．5．如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】0.6/【分析】本題主要考查了角平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，，再結(jié)合，可得，然后根據(jù)三角形“三線合一”的性質(zhì)，即可獲得答案．【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如下圖，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，，∴．故答案為：0.6．變式拓展6．（1）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣的問(wèn)題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連結(jié)．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：如圖2，由已知和作圖能得到的理由是選填（SSS，SAS，AAS，ASA）（2）【問(wèn)題解決】根據(jù)圖2，求出中線的取值范圍．【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．（3）【拓展延伸】如圖3，是的中線，交于點(diǎn)E，交于F，且．求證：．【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查全等三角形與等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）由（1）及全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使得，連接，易得，，則有，然后問(wèn)題可求證．【詳解】（1）解：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連結(jié)．∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴；故答案為；（2）由（1）可知：，∴，∴，∴，即，∴；（3）證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使得，連接，如圖所示：同理（1）可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．7．（1）閱讀理解如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)使，連接，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是．這種方法叫做倍長(zhǎng)中線法．（2）問(wèn)題解決：如圖2，，，此時(shí)成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．（3）問(wèn)題拓展：如圖3，已知：，，，，為的中線，反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：．【答案】（1）；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）延長(zhǎng)至，使，連接，由證明，得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，即可得出的取值范圍；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，證明，可得到，，再證明，可得．（3）延長(zhǎng)到，使得．首先證明四邊形是平行四邊形，再證明，推出，由，推出，推出，即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）解：延長(zhǎng)至，使，連接，如圖1所示：，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，；故答案為：；（2）解：成立．理由：延長(zhǎng)至，使，連接，如圖2所示：在和中，，，，，，，，．（3）證明：如圖，延長(zhǎng)到，使得．，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，、分別為、邊的垂直平分線，連接、．

(1)求證：；(2)若，，則的周長(zhǎng)為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)15【分析】本題考查垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形判定及性質(zhì)．（1）根據(jù)題意連接，利用垂直平分線性質(zhì)即可得到本題答案；（2）利用角平分線性質(zhì)可得，利用三角形內(nèi)角和得，再得，可知為等邊三角形，繼而得到本題答案．【詳解】（1）解：連接，

，∵、分別為、邊的垂直平分線，∴，∴；（2）解：∵、分別為、邊的垂直平分線，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴為等邊三角形，∵，∴的周長(zhǎng)：，故答案為：．9．如圖所示，在中，，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且．

求證：(1)；(2)判斷的關(guān)系，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）先判斷為等腰直角三角形得到，然后根據(jù)“”即可證明；由（1）知，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，在和中，，∴；（2），證明：由（1）知，．考向二等邊三角形的性質(zhì)與判定1．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．2．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．典例引領(lǐng)1．如圖，等邊與正方形的重疊，其中、兩點(diǎn)分別在、上，且，若，，則的面積為．

【答案】/【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，含度角的直角三角形的性質(zhì)；過(guò)作于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和正方形的性質(zhì)求出，，，，求出，求出和，即可求出答案．【詳解】解：過(guò)作于，

則，是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，，，，四邊形是正方形，，，，，，的面積，故答案為：．二、解答題2．如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)、重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)求證：是等邊三角形；(3)若改變的位置，其余條件都不變，點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)是否也為的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)是，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，利用“”證明，即可證明結(jié)論；（2）首先證明，再利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，即可證明結(jié)論；（3）首先根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，即，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得，即，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可證明為中點(diǎn)．【詳解】（1）證明：∵和是正三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形；（3）∵為中點(diǎn)，為等邊三角形，∴，∴，由（2）可知，，∴，即，∵為等邊三角形，∴為中點(diǎn)．3．已知：如圖，點(diǎn)D在等邊三角形的邊上，延長(zhǎng)至點(diǎn)E使，連接交于點(diǎn)F．求證：．【答案】見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)H，由題意易得，然后可證，進(jìn)而問(wèn)題可求證．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)H，如圖所示：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴．4．如圖，已知等腰中，，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①補(bǔ)全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)在直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，利用備用圖直接求出的值為_(kāi)_____．【答案】(1)①圖形見(jiàn)詳解，②，理由見(jiàn)詳解(2)或【分析】（1）①根據(jù)題意直接進(jìn)行作圖即可，②連接，由題意可得，進(jìn)而可得，，，證明，最后利用直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出與的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，求得是等腰三角形，求出，，然后進(jìn)行分類求解即可．【詳解】（1）解：①如圖1：

②，連接，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴垂直平分，

∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，又，平分，∴，∴，∴，∴．（2）如圖2，

∵，∴是等腰三角形，∴，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（舍去）．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．在等邊中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊的延長(zhǎng)線上，且．

(1)如圖1，點(diǎn)M在邊上，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)M在邊的延長(zhǎng)線上，試探究，與等邊邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系：【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)：（1）作交于，根據(jù)等邊三角形的判定及性質(zhì)可證得是等邊三角形，再利用證得即可求證結(jié)論；（2）作交于，由（1）同理可證，得出，進(jìn)而可求得，即可求解；根據(jù)相關(guān)知識(shí)證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：作交于，如圖：

是等邊三角形，，，D為邊的中點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，，，，，，，在和中，，，．（2）解：，理由如下：作交于，如圖：

由（1）同理可證，，．變式拓展6．綜合與探究【問(wèn)題情境】在等邊中，是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作等邊，連接．【特例研究】如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．此時(shí)的形狀是；與的數(shù)量關(guān)系是．試猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展探究】（）如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，（）中的猜想是否依然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫出正確的猜想并說(shuō)明理由．【答案】（）等邊三角形，；，理由見(jiàn)解析；（）（）中的猜想不成立，正確的猜想是，理由見(jiàn)解析．【分析】（）由和是等邊三角形可得，由可得，即可得到是等邊三角形，進(jìn)而可得；．由可證，可得CN=MH，利用等量代換即可求證；（）過(guò)點(diǎn)作，交于，先證是等邊三角形，可得，由可證，可得，利用等量代換即可求解；本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵和是等邊三角形，∴，，，∵，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：等邊三角形，；，理由如下：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴即；（）（）中的猜想不成立，正確的猜想是，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于，∵和是等邊三角形，∴，，，∵，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴,在和中，，∴，∴，∴，即．7．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使，連接，．(1)若，則______；(2)求證：是等邊三角形．【答案】(1)2；(2)見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定、垂直平分線的判定及性質(zhì)，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可知，為的斜邊中線，故，所以是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求解；（2）由（1）知是等邊三角形，然后可得，可知是的垂直平分線，即，而，最后問(wèn)題可求證．【詳解】（1）解：，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，是等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故答案為：2；（2）證明：由（1）知，是等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，是的垂直平分線，，，是等邊三角形．8．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求線段的長(zhǎng)．（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得，可得是等邊三角形，易證，即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，即可表示出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如圖所示：在等邊中，，，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，；（2）解：是等邊三角形，且，，，，，，，．9．如圖，中，，是邊上的中線，以為邊向外作等邊，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)；(3)在（）的條件下，若，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)．【分析】（）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求證；（）先由，求出，再根據(jù)是等腰三角形即可求出即可求出；（）在上取一點(diǎn)，使得，即可得出是等邊三角形，易證，，則，由（）知，即可解答；本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，是邊上的中線，∴；（2）∵，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴；（3）在上取一點(diǎn)，使得，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．10．如圖，在等邊中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在、上，且，連接、相交于點(diǎn)F．

(1)求的度數(shù)；(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于；三條邊相等．（1）因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，，又，所以用“”可判定，根?jù)全等三角形的性質(zhì)得出，利用三角形外角性質(zhì)解答即可；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）為等邊三角形，，，在和中，，；，，；（2）延長(zhǎng)至，使，連接、，

由（1）知，，是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，，；又，，，即，，，，，，，，，即的長(zhǎng)為6考向三直角三角形與勾股定理1.在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，這個(gè)性質(zhì)常常用于計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)，也是證明一邊（30°角所對(duì)的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù)．當(dāng)題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時(shí)，我們可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．2．應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．3．如果已知的兩邊沒(méi)有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解．典例引領(lǐng)1．如圖，米長(zhǎng)的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯足到墻底端的距離為米，若梯子的頂端沿墻下滑米，那么梯足將向左移（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用；在直角C中，已知AB，BC根據(jù)勾股定理即可求AC的長(zhǎng)度，根據(jù)即可求得的長(zhǎng)度，在直角中，已知，即可求得的長(zhǎng)度，根據(jù)，即可求得的長(zhǎng)度．【詳解】解：在直角中，已知米，米，則由勾股定理得（米）.∵，∴（米）.∵在直角中，，且為斜邊，∴由勾股定理得（米），∴（米）.故選：C．二、填空題2．如圖，中，，，、分別是、邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，求線段的取值范圍．【答案】【分析】本題考查等腰直角三角形，含角的直角三角形及等腰三角形的知識(shí)．欲求的取值范圍即要找到最小值和最大值時(shí)點(diǎn)的位置，最小值即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大即點(diǎn)在處，關(guān)鍵還要作輔助線構(gòu)造直角三角形，具體見(jiàn)詳解．【詳解】解：如圖，當(dāng)與重合時(shí)，的值最小,過(guò)點(diǎn)作于,，，．故答案為：．3．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面積依次為，，，則正方形的面積為．【答案】【分析】本題考查的是勾股定理，根據(jù)勾股定理可得正方形A、B的面積之和等于正方形E的面積，正方形C、E的面積之和等于正方形D的面積，即可得到結(jié)果．【詳解】由題意得，正方形的面積為，則正方形的面積．故答案為：．4．等腰三角形的腰長(zhǎng)，高是，則這個(gè)三角形的底邊．【答案】12【分析】本題考查等腰三角形的底長(zhǎng)問(wèn)題，勾股定理，掌握等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，同時(shí)注意三線合一．根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理三線合一求出結(jié)果即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，即這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為．故答案為：12．5．如圖，在中，，厘米，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以厘米秒的速度在射線上勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．【答案】或10或16【分析】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)．分，，三種情況討論求解即可．【詳解】解：由，厘米，厘米，由勾股定理，可得（厘米）．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒．①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，．綜上所述，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)秒或10秒或16秒時(shí)，為等腰三角形．故答案為：或10或16．6．如圖，，點(diǎn)P是內(nèi)的定點(diǎn)且，若點(diǎn)M、N分別是射線、上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是．【答案】【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理；作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交，于點(diǎn)M，N，連接，，求出的周長(zhǎng)，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，，最后利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交，于點(diǎn)M，N，連接，，則的周長(zhǎng)，∵，∴由對(duì)稱性可知：，，∴，即周長(zhǎng)的最小值是，故答案為：．變式拓展7．如圖，在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)是．【答案】5或2【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用及等腰直角三角形的性質(zhì)．當(dāng)時(shí)，先求出及的長(zhǎng)，再在中利用勾股定理求出；當(dāng)時(shí)，作，證明出為等腰直角三角形即可求出即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，，由折疊得，，，設(shè)，，在中，，，即；當(dāng)時(shí)，如圖，作，，，，，，．故答案為：5或2．8．如圖，在中，，，，垂直平分，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是．【答案】17【詳解】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理；連接，先由勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則，然后根據(jù)（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、C共線時(shí)取等號(hào)）求出的最小值為的長(zhǎng)，所以周長(zhǎng)的最小值為．【分析】解：連接，如圖，在中，，，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、C共線時(shí)取等號(hào)），∴的最小值為的長(zhǎng)，∴周長(zhǎng)的最小值．故答案為：17．三、解答題9．如圖1，在四邊形中，，分別是上的點(diǎn)，且，探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)提示：探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，先證明，再證明．請(qǐng)根據(jù)提示按照提示的方法完成探究求解過(guò)程．(2)探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)能力提高：如圖，等腰直角三角形中，，點(diǎn)M，N在邊上，，若，則的長(zhǎng)為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)24【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵的通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形．（）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，證明和，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（）（）中的結(jié)論仍然成立．如圖中，延長(zhǎng)至，使，連接，證明和即可求證；（3）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)C，截?。B接、，證明，再