2025屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題34線性規(guī)劃含解析

PAGEPAGE1專題34線性規(guī)劃一．學(xué)習(xí)目標(biāo)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組，了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會從實(shí)際情境中抽象出一些簡潔的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．2．駕馭確定平面區(qū)域的方法；理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，留意線性規(guī)劃問題與其他學(xué)問的綜合．二．學(xué)問點(diǎn)總結(jié)【學(xué)問要點(diǎn)】1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的全部點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面)，不包括邊界直線．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)包括邊界直線．(2)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線Ax＋By＋C＝0(B不為0)及點(diǎn)P(x0，y0)，則①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，則點(diǎn)P(x0，y0)在直線的上方，此時不等式Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0的上方的區(qū)域．②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，則點(diǎn)P在直線的下方，此時不等式Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0的下方的區(qū)域．③若是二元一次不等式組，則其平面區(qū)域是全部平面區(qū)域的公共部分．2．線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿意的不等式組線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式可行解滿意線性約束條件的解可行域全部可行解組成的集合線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值3.常見簡潔的二元線性規(guī)劃實(shí)際問題一是在人力、物力、資金等資源肯定的條件下，如何運(yùn)用它們完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理支配和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù)．解線性規(guī)劃問題的一般步驟：審題、設(shè)元——列出約束條件(通常為不等式組)——建立目標(biāo)函數(shù)作出可行域求最優(yōu)解．三．解題方法總結(jié).二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域確定的方法第一種：若用y＝kx＋b表示的直線將平面分成上下兩部分不等式區(qū)域y＞kx＋b表示直線上方的半平面區(qū)域y＜kx＋b表示直線下方的半平面區(qū)域其次種：用Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直線將平面分成上下兩部分(B＝0讀者完成)不等式B＞0B＜0Ax＋By＋C＞0表示直線上方的半平面區(qū)域表示直線下方的半平面區(qū)域Ax＋By＋C＜0表示直線下方的半平面區(qū)域表示直線上方的半平面區(qū)域聯(lián)系：將Ax＋By＋C＝0表示的直線轉(zhuǎn)化成y＝kx＋b的形式即是第一種.第三種：選特殊點(diǎn)判定(如原點(diǎn))，取一點(diǎn)坐標(biāo)代入二元一次不等式(組)，若成立，則平面區(qū)域包括該點(diǎn)，反之，則不包括.2.線性規(guī)劃問題求解策略(1)解決線性規(guī)劃問題時，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，一般步驟如下：①作：確定約束條件，并在坐標(biāo)系中作出可行域；②移：由z＝ax＋by變形為y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，所求z的最值可以看成是求直線y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)在y軸上的截距的最值(其中a，b是常數(shù)，z隨x，y的改變而改變)，將直線ax＋by＝0平移，在可行域中視察使eq\f(z,b)最大(或最小)時所經(jīng)過的點(diǎn)；③求：求出取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)，并將其代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值和最小值；④答：寫出最終結(jié)論.(2)可行域可以是一個一側(cè)開放的平面區(qū)域，也可以是一個封閉的多邊形，若是一個多邊形，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在多邊形的某個頂點(diǎn)處取得.(3)若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而通過圖象求得的是非整數(shù)解，這時應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的距離為依據(jù)，在直線的旁邊尋求與此直線最近的整點(diǎn)，或者用“調(diào)整優(yōu)值法”去尋求最優(yōu)解.四.命題陷阱類型分析1.簡潔的線性規(guī)劃例1．若實(shí)數(shù)滿意條件，則的最大值為（）A.21B.17C.14D.5【答案】B練習(xí)1．已知實(shí)數(shù)，滿意，則的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】作出可行域，如圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時，最大，即，故選：B2．已知實(shí)數(shù)滿意，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A.B.3C.2D.【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)的最大值為故選。【方法總結(jié)】本題主要考查的是線性規(guī)劃的基本應(yīng)用的問題。由約束條件作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義是解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)即可求解2.與斜率有關(guān)的線性規(guī)劃例2已知實(shí)數(shù)、滿意，求的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由線性約束條件作出可行域如圖，練習(xí)1．設(shè)變量x，y滿意約束條件，則的最大值為（）A.6B.3C.D.1【答案】A【解析】畫出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示）．表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率．結(jié)合圖形可得，可行域內(nèi)的點(diǎn)A與原點(diǎn)連線的斜率最大．由，解得，故得．所以．選A．練習(xí)2.實(shí)數(shù)滿意，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)=k，即kx?y=0，故選：C.【方法總結(jié)】：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值。留意解答本題時不要忽視斜率不存在的情形.3.已知實(shí)數(shù)滿意，求的取值范圍__________．【答案】【解析】作出可行域如圖所示：所以.故答案為：.【方法總結(jié)】：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡潔題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最終通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.3.與距離有關(guān)的線性規(guī)劃例3.關(guān)于、的不等式組所表示的平面區(qū)域記為，不等式所表示的平面區(qū)域記為，若在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】的面積為，半圓的面積為，故概率為.練習(xí)1.設(shè)點(diǎn)是平面區(qū)域內(nèi)的隨意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】作可行域如圖，,其中M（2,0），因?yàn)榈淖钚≈禐?-4=1,選B練習(xí)2.在不等式組所表示的平面區(qū)域上，點(diǎn)在曲線上，那么的最小值是（）A.B.C.D.1【答案】D【解析】如圖,畫出平面區(qū)域(陰影部分所示),由圓心向直線作垂線,圓心到直線的距離為,又圓的半徑為1,所以可求得的最小值是1．故選D.【方法總結(jié)】利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.留意解答本題時不要忽視斜率不存在的情形.3.若實(shí)數(shù)滿意不等式組，且的最大值為，則等于（）A.B.C.D.1【答案】A=3x+2y+2﹣3a的最大值為：5，由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a，經(jīng)過A時，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，解得a=2．故選：A．【方法總結(jié)】：本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想.須要留意的是：一，精確無誤地作出可行域;二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要留意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避開出錯;三，一般狀況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.4.對于實(shí)數(shù)，定義是不超過的最大整數(shù)，例如：．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若滿意，則的最小值為__________．【答案】2【解析】∵∴或者，即或∴表示的可行域如圖所示：∵可以看作可行域內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方∴由圖可知，可行域內(nèi)的點(diǎn)到到點(diǎn)的距離的平方最小∴的最小值為2故答案為2.【方法總結(jié)】：本題考查線性規(guī)劃，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式以及新定義問題，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目供應(yīng)的信息，聯(lián)系所學(xué)的學(xué)問和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到敏捷解題的目的.解答本題的關(guān)鍵是理解新定義，畫出正確的可行域.5．滿意，則的最小值為__________．【答案】【解析】作出可行域：【方法總結(jié)】：線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最終結(jié)合圖形確定目4.可行域含參數(shù)例4.若實(shí)數(shù)，滿意且的最小值為4，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】作出不等式組對于的平面區(qū)域如圖：∵z=2x+y的最小值為4，即2x+y=4，且y=﹣2x+z，則直線y=﹣2x+z的截距最小時，z也取得最小值，【方法總結(jié)】：線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最終結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.練習(xí)1設(shè)不等式組，所表示的區(qū)域面積為.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如圖：當(dāng)與交點(diǎn)為時面積為，此時，若則故選練習(xí)2.已知不等式組表示平面區(qū)域的面積為4，點(diǎn)在所給的平面區(qū)域內(nèi)，則的最大值為（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】作可行域如圖,可得,所以直線過點(diǎn)A(2,2)時取最大值6,選C.3.設(shè)滿意約束條件，且目標(biāo)函數(shù)的最大值為16，則（）A.10B.8C.6D.4【答案】A5.目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)例5.設(shè)，滿意約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】依據(jù)不等式組得到可行域是一個封閉的四邊形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)化為當(dāng)直線過點(diǎn)時，有最大值，將點(diǎn)代入得到故答案為：A.練習(xí)1.若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線：分為面積相等的兩部分，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可畫出可行域?yàn)槿鐖D△ABC及其內(nèi)部所表示的區(qū)域，聯(lián)立可行域邊界所在直線方程，可得A(－1，1)，B，C(4，6)．因?yàn)橹本€l：y＝m(x＋1)＋1過定點(diǎn)A(－1，1)，直線l平分△ABC的面積，所以直線l過邊BC的中點(diǎn)D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故選A.練習(xí)2.已知實(shí)數(shù)滿意約束條件，若的最大值為4，則（）A.2B.C.3D.4【答案】C【解析】由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，解得，由圖得化目標(biāo)函數(shù)為當(dāng)直線過或時，直線在軸上的截距最小，有最大值．

把代入，得，符合題意；

把代入得．故選C.練習(xí)3.設(shè)，滿意線性約束條件若目標(biāo)函數(shù)（）取得最大值的最優(yōu)解有多數(shù)個，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題可知約束區(qū)域如圖所示：由得∵4.設(shè)變量滿意約束條件若目標(biāo)函數(shù)取得最大值時的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為_______________.【答案】【解析】可行域如圖所示，當(dāng)，因取最大值時的最優(yōu)解不唯一，故取最大值時動直線與直線重合，此時；當(dāng)時，因取最大值時的最優(yōu)解不唯一，故取最大值時動直線與直線重合，此時，填或.5.當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿意時，ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】由約束條件作可行域如圖聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，在中取得，由得，要使恒成立，則平面區(qū)域在直線的下方，若，則不等式等價為，此時滿意條件，若，即，平面區(qū)域滿意條件，若，即時，要使平面區(qū)域在直線的下方，則只要B在直線的下方即可，即，得，綜上，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.6.含肯定值得線性規(guī)劃問題例6.已知實(shí)數(shù)x、y滿意：，z＝|2x－2y－1|，則z的取值范圍是()A.[，5]B.[0,5]C.[0,5)D.[，5)【答案】C【解析】畫出x，y約束條件限定的可行域?yàn)槿鐖D陰影區(qū)域，令u＝2x－2y－1，則y＝x－，先畫出直線y＝x，再平移直線y＝x，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，B(，)時，可知－≤u<5，∴z＝|u|∈[0,5)，故選C．練習(xí)1.實(shí)數(shù)，滿意，目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【方法總結(jié)】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡潔題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最終通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.練習(xí)2已知實(shí)數(shù)滿意，則的最小值是（）A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，4），z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化為y=2x+z﹣4．由圖可知，當(dāng)直線y=2x+z﹣4過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為4．故選：C．3．已知實(shí)數(shù)滿意，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D4．若滿意約束條件，則的最大值為（）A.3B.7C.9D.10【答案】C【解析】畫出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示），由可行域可知，，∴，∴，設(shè)，則．平移直線，由圖形可得，當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)A時，直線在y軸上的截距最大，此時z取得最大值．由解得．故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）．∴．選C．5．若對圓上隨意一點(diǎn)，的取值與無關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，則等價于的值與無關(guān)，所以，即，所以圓的區(qū)域位于兩平行線區(qū)域之間，所以，所以，故選B。6．變量滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】不等式表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分,三個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為.目標(biāo)函數(shù),即∴目標(biāo)函數(shù)過(2,0)時,取得最大值為9,過時,取得最小值為，∴目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是，則的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).7.設(shè)滿意約束條件，則的最大值是__________．【答案】2【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示．由圖形得，當(dāng)時，，且當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時有最大值2，故可得的最大值為2．答案：27.其它的非線性規(guī)劃例7.．已知直線過點(diǎn)，若可行域的外接圓直徑為20，則_____．【答案】【解析】練習(xí)1．設(shè)實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最小值為.__________．【答案】1【解析】畫出可行域如圖所示，取等號.【方法總結(jié)】：線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最終結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.練習(xí)2.)已知log(x＋y＋4)<log(3x＋y－2)，若x－y≤λ恒成立，則λ的取值范圍是______________．【答案】[10，＋∞)【解析】由log(x＋y＋4)<log(3x＋y－2)得，x＋y＋4>3x＋y－2>0，可行域如圖中陰影部分所示，不包括邊界．而x－y≤λ恒成立等價于(x－y)max≤λ，由可行域知，z＝x－y過點(diǎn)A(3，－7)時取得最大值10，而點(diǎn)A不在可行域內(nèi)，所以λ的取值范圍是[10，＋∞)．【方法總結(jié)】：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.須要留意的是：一，精確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要留意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避開出錯；三，一般狀況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.3．已知實(shí)數(shù)滿意，且，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】，令，則，由圖可知，當(dāng)時，，當(dāng)過時，，所以原式的取值范圍是。4．已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿意則的取值范圍為________.【答案】【解析】作出滿意條件的可行域如圖中陰影部分所示，設(shè)A(1，1)，P(x，y)為可行域內(nèi)的一動點(diǎn)，向量，的夾角為θ，∵||＝，·＝x＋y，∴cosθ＝【方法總結(jié)】：線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最終結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.5．已知函數(shù)．（1）若，且，求的最大值；（2）當(dāng)時，恒成立，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由可得，利用基本不等式即可求得的最大值；（2）當(dāng)時，恒成立等價于，利用線性規(guī)劃求解，畫出可行域，要求的范圍，先依據(jù)可行域以及經(jīng)過兩點(diǎn)的斜率公式求經(jīng)過兩點(diǎn)與的直線的斜率的取值范圍是，從而可得結(jié)果.試題解析：（1）∵，，∴，即，∴，，，∵，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即．（2）∵當(dāng)時，恒成立，且，∴，且，即，滿意此不等式組的點(diǎn)構(gòu)成圖中的陰影部分，由圖可得，經(jīng)過兩點(diǎn)與的直線的斜率的取值范圍是，∴的取值范圍是．五.高考真題演練1.【2017課標(biāo)II，理5】設(shè)，滿意約束條件，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：繪制不等式組表示的可行域，目標(biāo)函數(shù)即：，其中表示斜率為的直線系與可行域有交點(diǎn)時直線的截距值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，故選A。【考點(diǎn)】應(yīng)用線性規(guī)劃求最值【名師點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當(dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大。2.【2017天津，理2】設(shè)變量滿意約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（A）（B）1（C）（D）3【答案】【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題有三類:（1）簡潔線性規(guī)劃，包括畫出可行域和考查截距型目標(biāo)函數(shù)的最值，有時考查斜率型或距離型目標(biāo)函數(shù)；（2）線性規(guī)劃逆向思維問題，給出最值或最優(yōu)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍；（3）線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，本題就是第三類實(shí)際應(yīng)用問題.3.【2017山東，理4】已知x,y滿意，則z=x+2y的最大值是（A）0（B）2（C）5（D）6【答案】C【考點(diǎn)】簡潔的線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值．4.【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)椋?，所以，所以選B.【考點(diǎn)】1.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2.基本不等式.【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的學(xué)問點(diǎn)較多，需敏捷利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出推斷.5.【2017課標(biāo)3，理9】等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為A． B． C．3 D．8【答案】A【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由a2，a3，a6成等比數(shù)列可得：，即：，整理可得：，公差不為，則，數(shù)列的前6項(xiàng)和為.故選A.【考點(diǎn)】等差數(shù)列求和公式；等差數(shù)列基本量的計(jì)算【名師點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.6.【2017北京，理4】若x，y滿意則x+2y的最大值為（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】試題分析：如圖，畫出可行域，表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D.【考點(diǎn)】線性規(guī)劃7.【2017浙江，4】若，滿意約束條件，則的取值范圍是A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，【答案】D【解析】試題分析：如圖，可行域?yàn)橐婚_放區(qū)域，所以直線過點(diǎn)時取最小值4，無最大值，選D．【考點(diǎn)】簡潔線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最終結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍．8.【2017天津，理8】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】不等式為(*)，當(dāng)時，(*)式即為，，又（時取等號），（時取等號），所以，當(dāng)時，(*)式為，，又（當(dāng)時取等號），（當(dāng)時取等號），所以，綜上．故選A．【考點(diǎn)】不等式、恒成立問題【名師點(diǎn)睛】首先滿意轉(zhuǎn)化為去解決，由于涉及分段函數(shù)問題要遵循分段處理原則，分別對的兩種不同狀況進(jìn)行探討，針對每種狀況依據(jù)的范圍，利用極端原理，求出對應(yīng)的的范圍.9.【2017課標(biāo)3，理13】若，滿意約束條件，則的最小值為__________.【答案】【解析】【考點(diǎn)】應(yīng)用線性規(guī)劃求最值【名師點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當(dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.10.【2017天津，理12】若，，則的最小值為___________.【答案】【考點(diǎn)】均值不等式【名師點(diǎn)睛】利用均指不等式求最值要敏捷運(yùn)用兩個公式，（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；（2），，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；首先要留意公式的運(yùn)用范圍，其次還要留意等號成立的條件；另外有時也考查利用“等轉(zhuǎn)不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.11.【2017課標(biāo)1，理13】設(shè)x，y滿意約束條件，則的最小值為.【答案】【解析】試題分析：不等式組表示的可行域如圖所示，易求得，由得在軸上的截距越大，就越小所以，當(dāng)直線直線過點(diǎn)時，取得最小值所以取得最小值為【考點(diǎn)】線性規(guī)劃.【2016年，2015年】1.【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則()（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】試題分析：用特殊值法,令,,得,選項(xiàng)A錯誤,,選項(xiàng)B錯誤,,選項(xiàng)C正確,,選項(xiàng)D錯誤,故選C．考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.2.【2015高考北京，理2】若，滿意則的最大值為（）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】如圖，先畫出可行域，由于，則，令，作直線，在可行域中作平行線，得最優(yōu)解，此時直線的截距最大，取得最小值2.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為線性規(guī)劃的基本方法【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃解題的基本方法，本題屬于基礎(chǔ)題,要求依據(jù)二元一次不等式組精確畫出可行域，利用線性目標(biāo)函數(shù)中直線的縱截距的幾何意義，令，畫出直線，在可行域內(nèi)平移該直線，確定何時取得最大值，找出此時相應(yīng)的最優(yōu)解，依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)求出最值，這是最基礎(chǔ)的線性規(guī)劃問題.3.【2015高考廣東，理6】若變量，滿意約束條件則的最小值為（）A．B.6C.D.4【答案】．【解析】不等式所表示的可行域如下圖所示，由得，由上圖結(jié)合題意可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線：經(jīng)過時，取得最小值即，故選【考點(diǎn)定位】二元一次不等式的線性規(guī)劃．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生利用二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域解決線性規(guī)劃的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和運(yùn)算求解實(shí)力，本題關(guān)鍵在于正確作出二元一次不等式組所表示的可行域和精確推斷目標(biāo)函數(shù)直線出取得最小值的可行解，屬于簡潔題．4.【2016高考浙江理數(shù)】在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影．由區(qū)域中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（）A．2B．4C．3D．【答案】C【解析】考點(diǎn)：線性規(guī)劃．【思路點(diǎn)睛】先依據(jù)不等式組畫出可行域，再依據(jù)題目中的定義確定的值．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要留意通過特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯誤．5.【2015高考山東，理5】不等式的解集是（）（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【答案】A【解析】原不等式同解于如下三個不等式解集的并集;解（I）得：,解（II）得：,解（III）得：,所以，原不等式的解集為.故選A.【考點(diǎn)定位】含肯定值的不等式的解法.【名師點(diǎn)睛】本題考查了含肯定值的不等式的解法，重點(diǎn)考查學(xué)生利用肯定值的意義將含肯定值的不等式轉(zhuǎn)化為不含肯定值的不等式（組）從而求解的實(shí)力，本題屬中檔題.6.【2015高考山東，理6】已知滿意約束條件，若的最大值為4，則（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3【答案】B【解析】不等式組在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分所示，若的最大值為4，則最優(yōu)解可能為或，經(jīng)檢驗(yàn)，是最優(yōu)解，此時；不是最優(yōu)解.故選B.【考點(diǎn)定位】簡潔的線性規(guī)劃問題.【名師點(diǎn)睛】本題考查了簡潔的線性規(guī)劃問題，通過確定參數(shù)的值，考查學(xué)生對線性規(guī)劃的方法理解的深度以及應(yīng)用的敏捷性，意在考查學(xué)生利用線性規(guī)劃的學(xué)問分析解決問題的實(shí)力.7.【2016年高考北京理數(shù)】若，滿意，則的最大值為（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】試題分析：作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】可行域是封閉區(qū)域時，可以將端點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)，求出最大值與最小值，從而得到相應(yīng)范圍.若線性規(guī)劃的可行域不是封閉區(qū)域時，不能簡潔的運(yùn)用代入頂點(diǎn)的方法求最優(yōu)解.如變式2，需先精確地畫出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線在可行域上移動，視察z的大小改變，得到最優(yōu)解.8.【2015高考陜西，理9】設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【考點(diǎn)定位】1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性．【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是基本不等式和基本初等函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡潔題．解題時肯定要留意檢驗(yàn)在運(yùn)用基本不等式求最值中是否能夠取得等號，否則很簡潔出現(xiàn)錯誤．本題先推斷和的大小關(guān)系，再利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小．9.【2015高考陜西，理10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，假如生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）A．12萬元B．16萬元C．17萬元D．18萬元甲乙原料限額（噸）（噸）【答案】D【解析】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為、噸，則利潤由題意可列，其表示如圖陰影部分區(qū)域：當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最大值，所以，故選D．【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃．【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線性規(guī)劃，屬于簡潔題．線性規(guī)劃類問題的解題關(guān)鍵是先正確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)何時取得最值．解題時要看清晰是求“最大值”還是求“最小值”，否則很簡潔出現(xiàn)錯誤；畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要通過特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯誤．是平面區(qū)域必需作正確，且要有肯定的精度；二是目標(biāo)函數(shù)的幾何意義必需理解正確才能正確作出答案.10.【2016高考浙江理數(shù)】已知實(shí)數(shù)a，b，c（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，則a2+b2+c2<100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，則a2+b2+c2<100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，則a2+b2+c2<100【答案】D【解析】試題分析：舉反例解除法：A.令，解除此選項(xiàng)，B.令，解除此選項(xiàng)，C.令，解除此選項(xiàng)，故選D．考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)．【方法點(diǎn)睛】對于推斷不等式恒成立問題，一般采納舉反例解除法．解答本題時能夠?qū)λ膫€選項(xiàng)逐個利用賦值的方式進(jìn)行解除，確認(rèn)成立的不等式．11.【2015高考四川，理9】假如函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（）（A）16（B）18（C）25（D）【答案】B【解析】時，拋物線的對稱軸為.據(jù)題意，當(dāng)時，即..由且得.當(dāng)時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即..由且得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.所以，所以最大值為18.選B..【考點(diǎn)定位】函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】首先弄清拋物線的開口方向和對稱軸，結(jié)合所給單調(diào)區(qū)間找到m、n滿意的條件，然后利用基本不等式求解.本題將函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式結(jié)合考查，檢測了學(xué)生綜合運(yùn)用學(xué)問解題的實(shí)力.在學(xué)問的交匯點(diǎn)命題，這是高考的一個方向，這類題往往以中高檔題的形式出現(xiàn).12.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿意，q：實(shí)數(shù)x，y滿意則p是q的()（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：畫出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤內(nèi)，故選A.考點(diǎn)：1.充分條件、必要條件的推斷；2.線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性的推斷問題，首先是分清條件和結(jié)論，然后考察條件推結(jié)論，結(jié)論推條件是否成立.這類問題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學(xué)學(xué)問結(jié)合起來考，本題條件與結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的關(guān)系，利用充分性、必要性和集合的包含關(guān)系得結(jié)論．13.【2015高考天津，理2】設(shè)變量滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為()（A）3（B）4（C）18（D）40【答案】C【解析】不等式所表示的平面區(qū)域如下圖所示，當(dāng)所表示直線經(jīng)過點(diǎn)時，有最大值【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃與二元一次不等式的幾何意義，將二元一次不等式（組）的幾何意義與求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題結(jié)合在一起，考查線性相關(guān)問題和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時考查學(xué)生的作圖實(shí)力與運(yùn)算實(shí)力.本題中不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)椴环忾]區(qū)域，與平常教學(xué)中的練習(xí)題有出入，是易錯問題.14.【2015高考湖北，理10】設(shè)，表示不超過的最大整數(shù).若存在實(shí)數(shù)，使得，，…，同時成立，則正整數(shù)的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【考點(diǎn)定位】函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】這類問題一般有兩種：表示不超過的最大整數(shù)；表示不小于的最大整數(shù).應(yīng)留意區(qū)分.15.【2015高考福建，理5】若變量滿意約束條件則的最小值等于()A．B．C．D．2【答案】A【解析】畫出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)最小時，直線的縱截距最大，故將直線經(jīng)過可行域，盡可能向上移到過點(diǎn)時，取到最小值，最小值為，故選A．【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃．【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，要正確作圖，首先要對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析，什么時候目標(biāo)函數(shù)取到最大值，解該類題目時候，往往還要將目標(biāo)直線的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則很簡潔出錯，屬于基礎(chǔ)題．16.【2015湖南理2】若變量，滿意約束條件，則的最小值為（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.【解析】試題分析：如下圖所示，畫出線性約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線：，平移，從而可知當(dāng)，時，的最小值是，故選A.【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡潔題，在畫可行域時，首先必需找準(zhǔn)可行域的范圍，其次要留意目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線斜率的大小，從而確定目標(biāo)函數(shù)取到最優(yōu)解時所經(jīng)過的點(diǎn)，切忌順手一畫導(dǎo)致錯解.17.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿意則的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】試題分析：不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,表示點(diǎn)（x,y）到原點(diǎn)距離的平方,最大值必在頂點(diǎn)處取到,閱歷證最大值為,故選C.考點(diǎn)：簡潔線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡潔線性規(guī)劃的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，簡潔線性規(guī)劃問題，是不等式中的基本問題，往往圍繞目標(biāo)函數(shù)最值的確定，涉及直線的斜率、兩點(diǎn)間距離等，考查考生的繪圖、用圖實(shí)力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的實(shí)力.18.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿意約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）（A） （B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最終結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.19.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若滿意約束條件QUOTE則的最大值為_____________.【答案】【解析】試題分析：作出不等式組滿意的平面區(qū)域，如圖所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時取得最大值，即．考點(diǎn)：簡潔的線性規(guī)劃問題．【技巧點(diǎn)撥】利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：(1)作出可行域．將約束條件中的每一個不等式當(dāng)作等式，作出相應(yīng)的直線，并確定原不等式的區(qū)域，然后求出全部區(qū)域的交集；(2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線(等值線是指目標(biāo)函數(shù)過原點(diǎn)的直線)；(3)求出最終結(jié)果．20.【20