人教版九年級上冊 21.3實際問題與一元二次方程-傳播問題 教學設計

人教版九年級上冊21.3實際問題與一元二次方程——傳播問題教學設計主備人備課成員設計思路本節(jié)課旨在通過實際問題引入一元二次方程的求解，讓學生理解一元二次方程在解決實際問題中的應用。設計思路如下：首先通過一個生活中的傳播問題激發(fā)學生興趣，引導學生發(fā)現(xiàn)問題的數(shù)學模型，進而引入一元二次方程的概念。接著，通過講解和例題演示，讓學生掌握一元二次方程的解法。最后，設置練習題和拓展題，讓學生在實際問題中運用一元二次方程，提高解決問題的能力。整個教學過程注重理論與實踐相結合，引導學生主動探究，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。核心素養(yǎng)目標1.通過解決實際問題，發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力，使其能夠從復雜的實際問題中抽象出一元二次方程模型。

2.培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)，通過一元二次方程的求解過程，提高學生分析問題和解決問題的邏輯思維能力。

3.增強學生的數(shù)學建模意識，鼓勵學生將所學知識應用于解決實際問題，提升學生的應用意識和創(chuàng)新能力。

4.培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力，確保學生能夠熟練運用數(shù)學運算解決一元二次方程問題，提高運算準確性。學情分析九年級的學生已經具備了一定的數(shù)學基礎知識，對一元一次方程有了較為扎實的掌握。在知識層面，學生對一元二次方程的概念有所了解，但可能對其實際應用感到陌生。在能力方面，學生的邏輯思維和抽象思維能力正在發(fā)展，但解決復雜問題的能力尚需提高。

學生在學習習慣上，多數(shù)能遵循教師的教學步驟，但部分學生可能缺乏主動探究的精神。此外，學生的注意力集中程度和學習動機存在差異，這可能會影響他們對新知識的接受和掌握。

在素質方面，學生的合作意識逐漸增強，但個別學生在團隊活動中可能表現(xiàn)出依賴性?？傮w來看，學生對數(shù)學課程有一定興趣，但需要通過實際問題的引入，激發(fā)其學習熱情，并引導他們將理論知識與實際生活相結合，提高學習的實用性和有效性。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源-人教版九年級上冊數(shù)學教材

-多媒體教學設備（投影儀、電腦）

-PPT教學課件

-一元二次方程相關練習題及答案

-實際傳播問題案例資料

-數(shù)學建模軟件（可選）

-黑板與粉筆

-學生作業(yè)本與文具教學過程1.導入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：通過提出一個關于信息傳播的實際問題，如“一個消息在朋友圈中傳播的速度有多快？”來吸引學生的注意力。

-回顧舊知：簡要復習一元一次方程的解法和應用，為引入一元二次方程打下基礎。

2.新課呈現(xiàn)（約25分鐘）

-講解新知：介紹一元二次方程的定義、標準形式以及求解方法，包括配方法、公式法等。

-舉例說明：通過具體的傳播問題案例，展示如何建立一元二次方程模型，并求解問題。

-互動探究：讓學生分組討論，針對給定的問題情境，嘗試建立一元二次方程模型，并交流解題思路。

3.鞏固練習（約15分鐘）

-學生活動：發(fā)放練習題，讓學生獨立完成，鞏固一元二次方程的建立和求解過程。

-教師指導：在學生練習過程中，教師巡視課堂，對學生的疑問進行解答，提供必要的指導。

4.應用拓展（約20分鐘）

-應用練習：提供一些實際生活中的傳播問題，讓學生運用所學知識解決，如人口增長、物體運動等。

-拓展思考：引導學生思考一元二次方程在解決其他類型問題中的應用，激發(fā)學生的創(chuàng)新思維。

5.總結反饋（約10分鐘）

-總結回顧：教師總結本節(jié)課的主要內容，強調一元二次方程在實際問題中的應用價值。

-反饋評價：教師對學生的課堂表現(xiàn)和練習情況進行評價，鼓勵學生提出疑問，進行課堂小結。

6.作業(yè)布置（約5分鐘）

-布置作業(yè)：根據(jù)課堂學習內容，布置相關的家庭作業(yè)，要求學生在課后進一步鞏固所學知識。

-明確要求：教師說明作業(yè)的完成要求，包括解題步驟、提交時間等，確保學生能夠正確理解和完成作業(yè)。知識點梳理1.一元二次方程的定義：一元二次方程是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程，其一般形式為ax^2+bx+c=0（a≠0）。

2.一元二次方程的解法：包括配方法、公式法（求根公式）和因式分解法。

-配方法：通過移項和配方，將方程轉化為完全平方的形式，進而求解。

-公式法：利用一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)來求解方程。

-因式分解法：將方程左邊進行因式分解，然后令每個因子等于零，求解得到方程的根。

3.一元二次方程的根的判別式：Δ=b^2-4ac，根據(jù)Δ的值可以判斷方程的根的情況：

-當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

-當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

-當Δ<0時，方程沒有實數(shù)根。

4.一元二次方程的圖像：一元二次方程的圖像是一條拋物線，其開口方向和頂點坐標可以通過方程的系數(shù)確定。

5.實際問題與一元二次方程：在解決實際問題時，首先需要根據(jù)問題的情境建立一元二次方程模型，然后求解方程得到問題的答案。常見的實際問題包括物體運動、投資問題、面積問題等。

6.一元二次方程的應用：一元二次方程在現(xiàn)實生活和科學研究中有廣泛的應用，例如：

-投資問題：計算投資收益、貸款利息等；

-物體運動：計算物體的位移、速度等；

-面積問題：計算圖形的面積、體積等；

-生物學：計算種群增長、遺傳概率等。

7.一元二次方程的解題步驟：

-分析問題，確定未知數(shù)和已知數(shù)；

-根據(jù)問題情境建立一元二次方程；

-解方程，求出未知數(shù)的值；

-檢驗解是否符合實際問題的意義。

8.一元二次方程的注意事項：

-確保方程的系數(shù)正確無誤；

-在使用公式法時，注意根的判別式的值；

-在實際應用中，注意單位的統(tǒng)一和精度的控制；

-檢驗解的合理性，確保解符合實際問題的背景。課堂1.課堂評價：

-提問：在講解新知和互動探究環(huán)節(jié)，通過提問檢查學生對一元二次方程概念、解法和應用的理解程度。

-觀察：在學生進行互動探究和鞏固練習時，觀察學生的參與程度、合作情況和解決問題的能力。

-測試：在課堂結束時，進行簡短的小測試，評估學生對本節(jié)課知識點的掌握情況。

-及時反饋：對學生在課堂上的表現(xiàn)給予即時評價和反饋，對存在的問題進行解答和指導。

2.作業(yè)評價：

-批改：認真批改學生的作業(yè)，檢查解題過程是否規(guī)范，答案是否正確。

-點評：在作業(yè)批改后，對學生的作業(yè)進行集中點評，指出普遍存在的問題和個別學生的亮點。

-反饋：及時將作業(yè)評價結果反饋給學生，對學生的進步給予肯定，對需要改進的地方提出建議。

-鼓勵：通過正面的評價和鼓勵，激發(fā)學生的學習積極性，鼓勵學生繼續(xù)努力，克服困難。

3.過程性評價：

-跟蹤：在課程進行中，持續(xù)跟蹤學生的學習和進步情況，記錄學生的成長軌跡。

-溝通：與學生進行定期溝通，了解他們在學習過程中遇到的困難和需求，提供個性化的幫助。

-調整：根據(jù)學生的反饋和學習情況，適時調整教學策略和教學計劃，確保教學效果。

4.綜合性評價：

-綜合考量學生的課堂表現(xiàn)、作業(yè)完成情況以及階段測試成績，進行全面評價。

-對學生的綜合素質進行評估，包括學習態(tài)度、合作精神、創(chuàng)新能力等。

-為學生提供綜合評價報告，幫助家長和學生了解學習情況，為下一階段的學習提供指導。典型例題講解例題1：某學校的學生在一次調查中發(fā)現(xiàn)，如果每個學生都和6個其他學生互發(fā)短信，那么總共會發(fā)送180條短信。求這個學校有多少名學生？

解答：設這個學校有x名學生，每個學生發(fā)送6條短信，總共發(fā)送的短信數(shù)為x*6。因為每條短信都是雙向的，所以實際上每條短信被計算了兩次，所以x*6/2=180。解這個方程得到x=60。答：這個學校有60名學生。

例題2：一個正方形的邊長是x+3，如果它的面積是81平方厘米，求正方形的邊長。

解答：正方形的面積為邊長的平方，所以(x+3)^2=81。解這個方程得到x+3=9或x+3=-9。因為邊長不能是負數(shù)，所以x=6。答：正方形的邊長是9厘米。

例題3：一個拋物線開口向上，其頂點坐標為(-1,4)，且經過點(0,1)。求這個拋物線的解析式。

解答：拋物線的標準形式為y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是頂點坐標。代入已知的頂點坐標得到y(tǒng)=a(x+1)^2+4。將點(0,1)代入方程得到1=a(0+1)^2+4，解得a=-3。所以拋物線的解析式為y=-3(x+1)^2+4。

例題4：一個小球從地面以初速度v0豎直向上拋出，其運動軌跡可以表示為一元二次方程h=-5t^2+v0t，其中h是高度，t是時間。如果小球達到最大高度時的高度是45米，求小球的初速度v0。

解答：小球達到最大高度時，拋物線h=-5t^2+v0t的導數(shù)為0。因為h關于t的導數(shù)是-10t+v0，所以-10t+v0=0，即t=v0/10。將t代入原方程得到最大高度為h=-5(v0/10)^2+v0(v0/10)=v0^2/20。因為最大高度是45米，所以v0^2/20=45，解得v0=±30。因為初速度是向上的，所以v0=30。答：小球的初速度是30米/秒。

例題5：一個投資者將10000元投資于兩個不同的賬戶，其中一個賬戶的年利率是4%，另一個賬戶的年利率是6%。如果一年后兩個賬戶的收益總額為540元，求每個賬戶投資了多少錢。

解答：設投資于4%利率賬戶的金額為x元，則投資于6%利率賬戶的金額為10000-x元。根據(jù)利息計算公式，兩個賬戶的收益分別為0.04x和0.06(10000-x)。所以0.04x+0.06(10000-x)=540。解這個方程得到x=6000。答：投資于4%利率賬戶的金額是6000元，投資