專題9 導數中的同構問題2023-2024學年新教材高中數學選擇性必修第二冊同步教學設計 (北師大版2019)

專題9導數中的同構問題2023-2024學年新教材高中數學選擇性必修第二冊同步教學設計(北師大版2019)主備人備課成員教學內容分析1.本節(jié)課的主要教學內容為北師大版2019年高中數學選擇性必修第二冊“專題9導數中的同構問題”，主要涉及導數的應用，以及如何利用同構思想解決導數問題。

2.教學內容與學生已有知識的聯系主要體現在：本節(jié)課是在學生已經學習了導數的定義、性質、求導法則以及導數在函數研究中的應用等知識的基礎上，進一步探討導數中的同構問題。教材中涉及到的同構思想有助于學生深化對導數概念的理解，提高解決實際問題的能力。核心素養(yǎng)目標1.理解導數中的同構問題，提升邏輯思維與數學抽象能力。

2.通過解決同構問題，培養(yǎng)數學建模與數學運算技能。

3.增強問題解決意識，提高分析問題和解決問題的能力。學習者分析1.學生已經掌握了導數的基本概念、求導法則，以及導數在函數圖像分析中的應用等相關知識。

2.學習興趣：學生對導數在解決實際問題中的應用表現出較高的興趣，對于同構問題可能較為陌生，但好奇心驅使他們愿意探索新方法。

學習能力：學生在數學邏輯思維和抽象思維方面具備一定的基礎，能夠理解并應用導數的基本概念。

學習風格：學生習慣通過例題和練習來鞏固知識，喜歡在探究中發(fā)現問題并解決問題。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：對同構概念的理解可能存在障礙，將同構思想應用于導數問題的過程中可能會感到困惑，以及解決復雜同構問題時可能缺乏有效的策略和方法。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源-教科書：北師大版2019年高中數學選擇性必修第二冊

-教學PPT

-黑板與粉筆

-計算器

-數學軟件（如GeoGebra）

-白板與白板筆

-實物模型（如有需要）

-課程教學平臺（如學校指定的在線學習系統(tǒng)）教學過程設計1.導入環(huán)節(jié)（用時5分鐘）

-教師通過展示一個生活中的實際問題，例如物體的運動速度與時間的關系，引導學生思考如何利用導數來描述這種變化。

-提出問題：“在研究物體運動時，我們如何通過導數來找到物體在某一時刻的速度？”

-學生思考并回答，教師總結并引出本節(jié)課的主題“導數中的同構問題”。

2.講授新課（用時20分鐘）

-教師首先解釋同構的概念，并通過幾個簡單的例子讓學生直觀感受同構思想在數學中的應用。

-接著，教師通過具體例題，展示如何將同構思想應用于導數問題的解決過程中。

-例題1：給定函數f(x)，求f'(x)的同構函數。

-例題2：利用同構思想求極值問題。

-在講解過程中，教師引導學生積極參與，通過提問和解答問題來檢查學生對新知識的理解程度。

3.鞏固練習（用時10分鐘）

-教師給出幾個練習題，要求學生在紙上獨立完成，并及時給出答案和解析。

-練習題1：給定一個復雜的導數問題，要求學生利用同構思想簡化問題并求解。

-練習題2：討論同構思想在解決實際問題中的應用。

-教師選取幾名學生上黑板展示解題過程，其他學生進行評價和討論。

4.課堂提問與師生互動（用時5分鐘）

-教師提問：“通過今天的學習，你們認為同構思想在數學中有什么重要作用？”

-學生回答，教師總結并強調同構思想在數學問題解決中的價值。

-教師再次提問：“在解決導數問題時，你們認為還有什么方法可以簡化問題？”

-學生分享自己的想法，教師進行點評和指導。

5.總結與拓展（用時5分鐘）

-教師總結本節(jié)課的主要內容，強調同構思想在導數問題解決中的應用。

-提出拓展性問題，鼓勵學生在課后進行思考和探索。

-布置作業(yè)：要求學生在課后完成幾道與同構問題相關的練習題，并準備在下節(jié)課上分享解題思路。

整個教學過程注重學生的參與和互動，通過實例和練習，幫助學生理解同構思想在導數問題中的應用，培養(yǎng)學生的邏輯思維和問題解決能力。教學資源拓展1.拓展資源：

-《高等數學》中關于導數和微分方程的章節(jié)，以加深對導數概念的理解。

-《數學分析》中涉及到的極限、連續(xù)性和導數理論，為同構問題的深入理解提供理論基礎。

-數學科普書籍，如《數學之美》中關于數學思想的探討，幫助學生從更廣泛的角度理解同構思想。

-在線教育平臺上的相關課程和教學視頻，如KhanAcademy、Coursera等，提供額外的學習資源。

-學術論文和期刊文章，特別是那些探討導數在物理學、工程學等領域應用的論文。

2.拓展建議：

-鼓勵學生閱讀《高等數學》的相關章節(jié)，特別是關于導數的應用和微分方程的初步知識，以加深對導數本質的理解。

-建議學生自學《數學分析》中關于極限、連續(xù)性和導數的基本理論，這有助于他們在遇到更復雜的同構問題時，能夠從理論上進行分析和解決。

-推薦學生閱讀數學科普書籍，特別是關于數學思想和方法的部分，這有助于他們拓寬視野，理解同構思想在數學中的廣泛應用。

-建議學生利用在線教育平臺，如KhanAcademy和Coursera，觀看相關的教學視頻，以鞏固和拓展課堂所學知識。

-鼓勵學生查閱相關的學術論文和期刊文章，了解導數在物理學、工程學等領域的應用，從而加深對數學知識的實際應用的理解。

-建議學生參與數學競賽或數學建?；顒?，這些活動能夠提供實際問題的解決經驗，并鍛煉他們運用同構思想解決問題的能力。

-鼓勵學生組建學習小組，共同探討和解決同構問題，通過合作學習，互相啟發(fā)思維，提高問題解決能力。

-建議學生在日常生活中留意與導數相關的現象，如物體的運動、溫度變化等，嘗試用數學知識解釋這些現象，從而增強對數學的興趣和應用意識。課堂1.課堂評價：

-提問：在課堂教學中，教師通過提問的方式檢查學生對同構問題的理解和掌握程度。問題設計應涵蓋基礎知識、應用能力和思維拓展等方面。例如，教師可以提問：“如何將一個復雜的導數問題轉化為同構問題？”或“你能給出一個同構思想解決導數問題的實例嗎？”

-觀察：教師在課堂上觀察學生的參與度、反應和合作情況，以及他們在解決同構問題時的思維過程。教師應注意學生在解題過程中是否能夠正確應用同構思想，以及他們是否能夠有效地與他人合作交流。

-測試：在課程結束時，教師可以安排一個小測驗，以評估學生對課堂內容的掌握情況。測試題應包括選擇題、填空題和解答題，旨在檢測學生對同構概念的理解和運用能力。

-及時解決問題：在評價過程中，教師應及時發(fā)現學生的問題，并提供個性化的指導和建議。對于普遍存在的問題，教師應適時調整教學策略，確保學生能夠克服困難。

2.作業(yè)評價：

-批改：教師應認真批改學生的作業(yè)，不僅關注答案的正確性，還要關注解題過程和思路的合理性。批改作業(yè)時，教師應記錄下學生的常見錯誤和不足之處，以便在課堂上進行針對性的講解。

-點評：在作業(yè)批改后，教師應選擇具有代表性的作業(yè)進行點評，指出學生的優(yōu)點和需要改進的地方。點評可以是全班性的，也可以是個別性的，旨在幫助學生認識到自己的進步和不足。

-反饋：教師應及時向學生反饋作業(yè)評價結果，鼓勵他們繼續(xù)努力。反饋可以包括書面的評語，也可以是面對面的交流。教師應鼓勵學生針對評價結果進行反思，并提出改進措施。

-鼓勵：對于在作業(yè)中表現出色的學生，教師應給予表揚和鼓勵，以激發(fā)他們的學習動力。同時，教師也應鼓勵那些在作業(yè)中遇到困難的學生，幫助他們建立信心，克服挑戰(zhàn)。重點題型整理題型一：求導數同構函數

題目：已知函數f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的同構函數。

解答：首先求出f(x)的導數f'(x)=3x^2-6x。同構函數是原函數導數的形式，因此f'(x)的同構函數可以表示為g(x)=3x^2-6x+c，其中c為任意常數。

題型二：利用同構思想求極值

題目：函數f(x)=x^4-4x^3+6x^2-6x+1在x∈[0,3]區(qū)間內求極值。

解答：首先求出f(x)的導數f'(x)=4x^3-12x^2+12x-6。令f'(x)=0，得到x的值。通過分析f'(x)的符號變化，確定極值點。解得x=1和x=2，計算f(1)和f(2)的值，比較大小，得到極大值和極小值。

題型三：導數同構在物理中的應用

題目：一個物體做直線運動，其位移函數s(t)=t^3-6t^2+9t+1（t為時間，單位：秒，s為位移，單位：米）。求物體在t=2秒時的速度和加速度。

解答：首先求出位移函數s(t)的導數s'(t)=3t^2-12t+9，這是物體在任意時刻t的速度函數v(t)。再求v(t)的導數a(t)=6t-12，這是物體的加速度函數。將t=2代入v(t)和a(t)，得到物體在t=2秒時的速度v(2)=-3米/秒，加速度a(2)=-6米/秒^2。

題型四：導數同構在函數圖像分析中的應用

題目：分析函數f(x)=x^3-3x在區(qū)間(-∞,+∞)內的單調性和凹凸性。

解答：首先求出f(x)的導數f'(x)=3x^2-3。令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，函數在這兩個區(qū)間內單調遞增。令f'(x)<0，解得-1<x<1，函數在這個區(qū)間內單調遞減。接著求二階導數f''(x)=6x，令f''(x)>0，解得x>0，函數在x>0時凹。令f''(x)<0，解得x<0，函數在x<0時凸。

題型五：綜合應用題

題目：已知函數g(x)=x^2+bx+c在x=1時取得極值，且g'(1)=3。求b和c的值，并求出g(x)在x∈[-2,3]區(qū)間內的最大值和最小值。

解答：首先求出g(x)的導數g'(x)=2x+b。由于g'(1)=3，代入得b=1。又因為g(x)在x=1時取得極值，所以g'(1)=0，解得b=-2。因此，b=-2，c的值未知。接著求二階導數g''(x)=2，由于g''(x)>0，函數在整個定義域內凹。最后，通過計算g(-2)、g(1)和g(3)的值，比較大小，得到函數在x∈[-2,3]區(qū)間內的最大值和最小值。教學反思與總結在整個教學過程中，我圍繞“導數中的同構問題”這一主題，力求通過多種教學手段和方法，幫助學生理解和掌握相關知識?，F在，我對這次教學進行反思和總結。

教學反思：

在教學方法上，我嘗試通過創(chuàng)設情境、提出問題的方式激發(fā)學生的興趣和求知欲，但在實際操作中，我發(fā)現部分學生對情境的遷移能力較弱，難以將情境與導數同構問題聯系起來。這提示我在今后的教學中，需要更加深入地了解學生的認知特點，設計更加貼近學生生活經驗的情境。

在教學策略上，我注重了知識的系統(tǒng)性和連貫性，但在講解同構思想的應用時，可能過于側重理論，導致一些學生在實際操作中仍然感到困惑。今后，我需要更多地結合具體實例，讓學生在實踐中理解和掌握同構思想。

在課堂管理上，我努力營造了一個輕松、自由的學習氛圍，鼓勵學生提問和表達自己的觀點。但我也注意到，一些學生在討論時可能會偏離主題，需要我更加細致地引導和調控課堂節(jié)奏。

教學總結：

本節(jié)課在知識傳授方面，我認為學生已經較好地掌握了導數的基本概念和求導法則，對同構思想也有了一定的認識。在技能培養(yǎng)方面，學生通過練習鞏固了對同構問題的解決方法，提高了分析問題和解決問題的能力。在情感態(tài)度方面，學生對數學學習的興趣有所提高，對同構問題的好奇心也明顯增強。

然而，我也發(fā)現了一些不足之處。例如，部分學生在面對復雜的同構問題時，仍然感到困難重