2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 39 第五章 第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示考試要求：1．理解平面向量基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示．3．能用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算．4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．自查自測知識點一平面向量基本定理1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一個基底．(√)(2)基底中的向量可以是零向量．(×)(3)平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．(√)(4)e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，若存在實數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.(√)2．在△ABC中，點M，N滿足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB12－16解析：如圖．因為MN＝MC+CN＝1核心回扣平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底注意點：基底{e1，e2}必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量．因為零向量平行于任意向量，所以不能作為基底中的向量．自查自測知識點二平面向量的坐標(biāo)運算1．(教材改編題)設(shè)平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，則2a－3b等于()A．(6，3) B．(－2，－6)C．(2，1) D．(7，2)B解析：2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6)．2．(教材改編題)已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標(biāo)為________．(1，5)解析：設(shè)D(x，y)，則由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即4核心回扣1.向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則有(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)；(3)λa＝(λx1，λy1)；(4)|a|＝x12．向量坐標(biāo)的求法(1)若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)，AB＝自查自測知識點三平面向量共線的坐標(biāo)表示若a＝(6，6)，b＝(5，7)，c＝(2，4)，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)－c與b共線 B．b＋c與a共線C．a(chǎn)與b－c共線 D．a(chǎn)＋b與c共線C解析：a－c＝(4，2)，因為4×7－2×5＝18≠0，所以a－c與b不共線；b＋c＝(7，11)，因為7×6－11×6＝－24≠0，所以b＋c與a不共線；b－c＝(3，3)，因為3×6－3×6＝0，所以a與b－c共線；a＋b＝(11，13)，因為11×4－13×2＝18≠0，所以a＋b與c不共線．核心回扣1.設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.2．當(dāng)x2y2≠0時，a∥b等價于x1【常用結(jié)論】1．如果對于一個基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到λ1＝μ1，λ2＝μ2，即基底給定，同一向量的分解形式唯一．特別地，若λ1e1＋λ2e2＝2．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標(biāo)為x13．已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為x1應(yīng)用1在△ABC中，M為AC的中點，若AB＝λBM+μBC(λ，μ∈RA．λ＋μ＝1 B．λ－μ＝3C．λ＋2μ＝0 D．2λ－μ＝0C解析：因為M為AC的中點，所以BM＝12BA又AB＝λBM+μBC(λ，μ∈R)，所以λ＝－2，μ＝1，所以λ應(yīng)用2已知向量{a，b}是一個基底，實數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y＝________．3解析：因為{a，b}是一個基底，所以a與b不共線．由平面向量基本定理得3x－4y＝6，2x平面向量的坐標(biāo)運算1．已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，則點D的坐標(biāo)為A．(－2，3) B．(2，－3)C．(－2，1) D．(2，－1)D解析：設(shè)D(x，y)，則CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2)．根據(jù)CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2即x＝2所以點D的坐標(biāo)為(2，－1)．2．(2024·溫州模擬)在平行四邊形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，則CO的坐標(biāo)為()A．－12，5C．－12，－C解析：因為在平行四邊形ABCD中，AB+所以CO＝－AO＝－12AD+3．已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底{a，b}表示c，則()A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2bD解析：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，則A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)．設(shè)向量c＝ma＋nb，則c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，則m－2所以c＝3a－2b.平面向量坐標(biāo)運算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的．若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．平面向量共線的坐標(biāo)表示【例1】(1)(2024·臨沂模擬)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若a∥c，則k等于()A．－1 B．0C．1 D．2B解析：因為c＝a＋kb＝(3，1)＋(k，k)＝(k＋3，k＋1)，而a∥c，所以3×(k＋1)－1×(k＋3)＝0，解得k＝0.(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C＝π3，若m＝c－6，a－b，n＝a－b，c+6A．3 B．9C．332 D．C解析：因為m＝c－6，a－b，n＝a所以(a－b)2＝c－6c+6，化為a2＋b2－c2＝所以cosπ3＝a2+b所以S△ABC＝12absinC＝1平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0”解題．(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程(組)，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．1．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，則m等于()A．－2 B．－1C．－1A解析：因為a＝(1，2)，b＝(2，－2)，所以2a＋b＝(4，2)．又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，所以2m＋4＝0，解得m＝－2.2．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三點共線，則k＝________．－23解析：由題意，得AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－因為A，B，C三點共線，所以AB，AC所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23平面向量基本定理的應(yīng)用考向1用已知基底表示向量【例2】如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點．設(shè)AD＝a，AB＝b，試用{a，b解：因為DC∥AB，AB＝2DC，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點，所以DC＝EF＝ED+DA+AF＝－12DC[變式]本例中，若設(shè)BC的中點為G，則AG＝________．12a+3所以AG＝平面向量基本定理的作用以及注意點(1)根據(jù)平面向量基本定理可知，同一平面內(nèi)的任何一個基底都可以表示該平面內(nèi)的任意向量．用基底表示向量，實質(zhì)上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算．(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量．考向2解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用【例3】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點．若CA＝λCE+μDB(λ，μ∈R)，則A．65 B．C．2 D．8B解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，0)．不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，所以CA＝(－2，2)，CE＝(－2，1)，DB＝(1，2)．因為CA＝λCE+μDB，所以(－2，2)＝λ(－2，1)所以－2λ故λ＋μ＝85應(yīng)用平面向量基本定理解題的兩種思路(1)基向量法．(2)坐標(biāo)法．能用坐標(biāo)法解決的問題，一般不用基向量法．考向3利用平面向量基本定理求參數(shù)的值(或范圍)【例4】在△ABC中，點P是AB上一點，且CP＝23CA+13CB，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M.34解析：如圖所示因為A，M，Q三點共線，所以設(shè)CM＝xCQ＋(1－x)CA＝x2CB又因為CP＝所以x2＝13t用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決．(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便．另外，要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理．1．(2024·青島質(zhì)檢)在△ABC中，AN＝14NC，若P是直線BN上的一點，且滿足AP＝mABA．－4 B．－1C．1 D．4B解析：根據(jù)題意，設(shè)BP＝nBN(n∈則AP＝AB+BP＝AB+nBN＝AB＋n(AN又AP＝mAB+22．如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中點，若AD＝λAC+μAE，則λA．3 B．2C．1 D．－3D解析：以AB，AD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)正方形的邊長為1，則A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)，E(12，1)所以AE＝12，1，AC＝(1，1)因為AD＝λAC+μ所以λ+μ2＝0，λ+μ＝課時質(zhì)量評價(二十九)1．如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一個基底的是()A．e1與e1＋e2B．e1－2e2與e1＋2e2C.e1＋e2與e1－e2D．e1－2e2與－e1＋2e2D解析：對于A，設(shè)e1＋e2＝λe1，則λ＝1，1＝0，無解，故e1與e對于B，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則λ＝1，－2＝2λ，無解，故e1－2e2與對于C，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則λ＝1，1＝－λ，無解，故e1＋e2與對于D，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2與－e1＋2e2為共線向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一個基底．2．(2024·南京模擬)設(shè)平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于()A．5 B．6C．17 D．26A解析：由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，所以b＝(－2，－4)．因為3a＋b＝(3，6)＋(－2，－4)＝(1，2)，所以|3a＋b|＝123．已知點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且PA+PB+PC＝0，A．PAB．PAC．PAD．PAD解析：由題意知PA+PB+PC＝0，所以PA＋AB－所以PA＋AB－AP＋BC－整理得3PA+BC－2BA＝0，即34．已知E為△ABC所在平面內(nèi)的點，且BA+12BC＝2BE.若CEA．－3 B．3C．13 D．－A解析：因為BE＝所以BA+12BC所以2CE＝－AB所以CE＝所以m＝14，n＝－345．已知向量a＝12，14，b＝(－2，m)，若a與b共線，則|b5解析：因為向量a＝12，14與b＝(－2，m)共線，所以12×m＝14×(－2)，解得m＝－1.所以b＝(－26．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，則λ＝________．0解析：由題意得，2m＋n＝(3λ＋4，4)，m－2n＝(－λ－3，－3)．因為(2m＋n)∥(m－2n)，所以－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.7．在△AOB中，AC＝15AB，D為OB的中點，若DC＝λ－625解析：因為AC＝15因為D為OB的中點，所以O(shè)D＝所以DC＝DO+OC＝－12所以λ＝45，μ＝－3108．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)AB＝a，BC＝b，CA＝c(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo)．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)(方法一)因為mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m(方法二)因為a＋b＋c＝0，所以a＝－b－c.又a＝mb＋nc，所以mb＋nc＝－b－c，所以m(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點，因為CM＝OM－OC所以O(shè)M＝3c+OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以因為CN＝ON－OC＝－2b，所以O(shè)N＝－2b+OC＝(12，6)＋所以N(9，2)，所以MN＝(9，－18)．9．(多選題)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2，1)，OC＝(t＋3，t－8)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)t可以為()A．－2 B．1C．1 D．－1ABD解析：點A，B，C能構(gòu)成三角形，故A，B，C三點不共線，則向量AB，BC不共線．由于向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2，1)，OC＝(t＋3，t－8)，故AB＝OB－OA＝(－3，4)，BC＝OC－OB＝(t＋5，t－9)．若A，B，C三點不共線，則－3(t－9)－4(t10．(2024·大理模擬)在△ABC中，D是直線AB上的點．若2BD＝CB+λCA，記△ACB的面積為S1，△ACD的面積為S2，則A．λ6 B．C．13 D．D解析：依題意作圖，如圖所示．設(shè)BD＝μBA＝μCA－CB由條件BD＝得μ＝－12所以點D在AB的延長線上，并且AD＝32AB所以S111．(多選題)在△ABC中，D為AC上一點且滿足AD＝13DC，若P