同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教案 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教材分析：同角三角函數(shù)基本關(guān)系是學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念后，安排的一節(jié)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式、證明三角恒等式的基本工具，是整個三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在教材中起承上啟下的作用。同時，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法在整個中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起重要作用。教學(xué)目標：（1）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，，體會三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系性；（2）通過運用基本關(guān)系式進行三角恒等變換，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。教學(xué)重點：運用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解三角函數(shù)值。教學(xué)難點：公式及的推導(dǎo),運用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求三角函數(shù)值。教學(xué)過程：探究新知1；1。；猜想：注意：嘗試證明：推廣到任意角后，設(shè)角的終邊與單位圓的交點為P(x,y)，則角的正弦、余弦、正切函數(shù)分別是如何定義的呢？證明：在Rt△OMP中,由勾股定理有思考1：當(dāng)P點在坐標軸上時，OMP還是三角形嗎？那么上式還成立嗎？不是三角形，但上式依然成立思考2：根據(jù)上面的關(guān)系，得到，正確嗎？為什么？答：不正確，不是相同角。證明：思考3：tanα中，α的終邊能否落在y軸上？由此可見α的范圍需要滿足什么條件？不能，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系(1)公式:(2)語言敘述:同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1.2、商數(shù)關(guān)系(1)公式:(2)語言敘述:同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.平方關(guān)系中的角α是任意角，商數(shù)關(guān)系中的角α并非任意角，二、例題講解題型一利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值角度1已知某個三角函數(shù)值，求其余三角函數(shù)值例1（1）已知sinα=，求cosα,tanα的值；（2）已知cosα=，求sinα,tanα的值。分析：已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函數(shù)值，應(yīng)先判斷三角函數(shù)值的符號，然后根據(jù)平方關(guān)系求出該角的正弦值或余弦值，再利用商數(shù)關(guān)系求該角的正切值。反思：已知某個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的步驟：第一步：由已知三角函數(shù)的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限分類討論;第三步：利用同角三角函數(shù)關(guān)系及其變形公式,求出其余三角函數(shù)值。角度2已知tanα，求關(guān)于sinα和cosα齊次式的值（化切求值）例2已知tanα=2,則分析：注意到所求式子都是關(guān)于sinα、cosα的分式齊次式(或可化為分式齊次式)，將其分子、分母同除以cosα的整數(shù)次冪，把所求值的式子用tanα表示，將tanα=2整體代入值。答案(1)-1(2)(3)1反思：已知tanα,求關(guān)于sinα和cosα齊次式的值的基本方法形如的分式可將分子、分母同時除以cosα；形如的分式可將分子、分母同時除以將正、余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值。形如的式子,可將其看成分母為1的分式,再將分母1變形為,轉(zhuǎn)化為形如的分式求解。角度3利用sin+cos,sin-cos與sincos之間的關(guān)系求值例3已知sin+cos=,∈(0，π)求tan的值分析：要求tan的值,只需求得sin,cos的值.而由已知條件sin+cos=，∈(0，π),結(jié)合,求得2sincos的值,進而求得sin-cos的值,從而得到sin,cos的值，問題得解解∵sin+cos=①將其兩邊同時平方,得1+2sincos=∴2sincos=∵∈(0,π),∴cos<0<sin∵(sin-cos)2=1-2sincos=∴sin-cos=②由①②得sin=,cos=反思：sin+cos,sin-cos與sincos之間的關(guān)系求值技巧由(sin+cos)2=1+2sincos,(sin-cos)2=1-2sincos可知sin＋cos，sincos，sin－cos三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”求sin＋cos或sin－cos的值，要注意判斷它們的符號變式訓(xùn)練1(1)若cos+2sin=,則tan=()BA. B.2 C. D.-2(2)已知,則tan=(3)已知,則=題型二應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡與證明例4（1）化簡：，其中是第二象限角解因為是第二象限角，所以sin>0，cos<0故化簡：反思：同角三角函數(shù)關(guān)系化簡常用方法(1)化切為弦，減少函數(shù)名稱；(2)對含根號的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，再去掉根號；(3)對含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系,以降冪化簡例5求證:證明(方法1)切化弦左邊=右邊=即左邊=右邊，所以原等式成立(方法2)由右至左所以原等式成立反思：三角恒等式的證明方法非常多,其主要方法有:(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo),一般由繁到簡；(2)左右歸一,即證明左右兩邊都等于同一個式子；(3)化異為同法,即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對性地變形,以消除差異；(4)變更命題法,如要證明,可證ad=bc或證等；(5)比較法,即設(shè)法證明“左邊-右邊=0”或“”變式訓(xùn)練2．已知為第三象限角，化簡解：因為為第三象限角，所以tan>0，變式訓(xùn)練3證明:三、練習(xí)：教材P184四、小結(jié)：1、知識清單：(1)同角三角函數(shù)基本關(guān)系