九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)-兩圓一線模型

“兩圓一線”專題模型探究---兩圓一線[問(wèn)題描述]有一條線段AB，要在平面內(nèi)找一點(diǎn)C與點(diǎn)A、B構(gòu)成等腰三角形。AB

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，4)，拋物線C的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3，若拋物線C與x軸正半軸的交點(diǎn)記作B，在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。模型應(yīng)用：AB

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，4)，拋物線C的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3，若拋物線C與x軸正半軸的交點(diǎn)記作B，在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。模型應(yīng)用：AB（方法一）解：存在．令y＝0，則－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴B(3，0)，∵A(－1，4)，∴AB2＝32，∴AB=當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：①當(dāng)PA＝AB時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)記作P1、P2P1P2過(guò)點(diǎn)A做AE⊥y軸于點(diǎn)EE∵A(-1,4)∴AE=1∵AP=AB=在Rt??AEP中PE=∴P1（0，4+）P2（0，4-）P3P4②當(dāng)PB＝AB時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)記作P3、P4∵B（3，0）BP=AB=在Rt??BOP中OP=∴P3（0，

）P4（0，

）③當(dāng)PA＝PB時(shí)，作AB的垂直平分線l交y軸于點(diǎn)P，記作P5,交AB于點(diǎn)CP5∵A(-1,4)B(3，0）∴直線AB的表達(dá)式為

y=-x+3C(1,2)∴直線l的表達(dá)式為y=x+1

當(dāng)x=0時(shí)，y=1

所以,P5(0,1)Cl綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)或(0，

)或(0，

)或(0，

)或(0，1)時(shí)，△PAB為等腰三角形．（方法二）解：存在．令y＝0，則－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴B(3，0)，OB＝3，∵A(－1，4)，∴AB2＝32.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，m)，則PB2＝m2＋9，PA2＝(m－4)2＋12＝m2－8m＋17.當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，4)，拋物線C的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3，若拋物線C與x軸正半軸的交點(diǎn)記作B，在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。AB①當(dāng)PA＝AB時(shí)，PA2＝AB2，∴m2－8m＋17＝32，解得m＝

或m＝

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，

)或(0，

)；②當(dāng)PB＝AB時(shí)，PB2＝AB2，∴m2＋9＝32，解得m＝

或m＝

，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，

)或(0，

)；AB③當(dāng)PA＝PB時(shí)，PA2＝PB2，∴m2－8m＋17＝m2＋9，解得m＝1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)或(0，

)或(0，

)或(0，

)或(0，1)時(shí)，△PAB為等腰三角形．第2題圖歸納總結(jié)在平面直角坐標(biāo)系中解決等腰三角形存在性問(wèn)題方法一：幾何方法----兩圓一線利用兩點(diǎn)距離公式表示三邊長(zhǎng)，再分類(lèi)討論方法二：代數(shù)方法牛刀小試：1.如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A′B′C′，并求出點(diǎn)A′、B′、C′的坐標(biāo)．1.如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使得△COD為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)（找出滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)即可）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3）．（1）求AB的長(zhǎng)度．（2）在x軸上是否存一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3.如圖，直線l1的解析表達(dá)式為y=x+1，且l1與x軸交于點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)D．l2與y軸的交點(diǎn)為C（0，﹣3），直線l1、l2相交于點(diǎn)A（2，3），結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：（1）S△ADC=______,直線l2表示的一次函數(shù)的解析式_________；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，l1、l2表示的兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值都大于0．3.如圖，直線l1的解析表達(dá)式為y=x+1，且l1與x軸交于點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸