【高階微分方程的降階技巧探究4700字（論文）】

高階微分方程的降階技巧研究目錄TOC\o"1-2"\h\u25932高階微分方程的降階技巧研究 13742引言 11521微分方程的一般理論 2264451.2齊次線性微分方程的解 3107391.3非齊次微分方程的解 4142392可降階的一些方程的類型 58176以二階微分方程 5154753降階的方法和技巧 102618即 1030443.1常數(shù)變易法 1118173.2歐拉方程 13189213.3積分因子法 1631326即 1731313例13求方程 189715解現(xiàn)將方程化為 18引言線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)問題理論上已解決的很完善。然而，對于一般的高階微分方程，并沒有一種普遍適用的求解方法，解決這一類型方程的原則就是去降低階數(shù)。因為一般來說，低階的微分方程比高階微分方程更容易求解。特別是對于高階齊次線性微分方程，如果已知它的一個不等于零的特殊的解，則可以通過降階法得到另一個與它線性無關(guān)的特解，從而得到方程的通解。另外，常系數(shù)線性微分方程及可化為這一類型的方程是能夠徹底解決求解問題的一類方程。本篇論文先回顧了課本上的一些基本定理知識，并且對幾類微分方程做了基礎(chǔ)回顧，讓我們對方程的解有一定探究，然后總結(jié)了三類簡單的可降階的一些基本的微分方程，為更深入的探討典型的可降階的高階常微分方程的解法打下基礎(chǔ)。通過分析方程的類型特點，對于不同類型的高階方程選擇適合的方法來進(jìn)行科學(xué)合理的降階，并對前面討論的方法進(jìn)行歸納總結(jié)，隨后分析了一些降階的方法和技巧，通過常數(shù)變易法[1]、變量代換法和積分因子等方法來解高階微分方程，比直接降階更高效，使得研究課題更具有實際應(yīng)用價值和意義。1微分方程的一般理論1.1階齊次線性微分方程嚴(yán)格地說，常微分方程的一般形式是(1)其中是一個元的已知函數(shù)，而是未知函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。我們稱為方程(1)的階，稱方程(1)為階常微分方程。我們討論形如以下的微分方程：(2)其中及都是給定區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果，則方程（2）可以化為(3)我們稱它為階齊次線性微分方程。定理1對于方程（2）來討論，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，有直到階的導(dǎo)數(shù)，而且對所有的（2）恒成立，則稱為方程（2）在區(qū)間上的一個解。把含有個獨立的任意常數(shù)的解稱為階方程（2）的通解。所謂階線性微分方程（2）的初值條件是指如下的個條件：當(dāng)時，這里是給定的個常數(shù)。初值條件上式有時寫為(4)當(dāng)一個方程的定解條件為初始條件時，那么相應(yīng)的定解問題稱為這個方程的初始值問題。滿足初始條件的解稱為這個微分方程的特殊解。不同的初始條件對應(yīng)不同的特殊解。一般來說，可以通過限制初始值條件，從一般解中確定任何一個常數(shù)，從而獲得這個方程的特殊解[2-3]。1.2齊次線性微分方程的解對于齊次線性微分方程我們可以從微分式中求出一個常數(shù)，和一個函數(shù)它和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)之和，通過對這兩個定律結(jié)合與應(yīng)用，我們能夠得到推導(dǎo)出微分方程的一個定理，這個定理就是疊加原理。定理2如果是方程（3）的個解，則它們的線性組合也是（3）的解，這里是任意常數(shù)。特別地，當(dāng)時，即方程（3）有解定理3階齊次線性微分方程一定存在個線性無關(guān)的解，稱為其一組基本解組。定理4如果是齊次微分方程的個線性無關(guān)的解，則該方程的通解可表為其中是任意常數(shù)，而且通解包括了該方程的所有解。1.3非齊次微分方程的解對于非齊次微分方程的解:性質(zhì)1如果是該方程的解，而是方程的解，則也是該方程的解。性質(zhì)2方程的任意兩個解之差必為齊次微分方程的解。定理5設(shè)為齊次微分方程的基本解組，而是非齊次微分方程的某一解，則該方程的通解可表示為其中是任意常數(shù)，而且該通解包含了方程的所有解。2可降階的一些方程的類型以二階微分方程而論，如果能夠利用一些方法作代換把二階微分方程降至一階微分方程，那么就能夠求出它的解了。下面介紹三種容易降階的高階微分方程的求解方法。2.1型微分方程（5）的右端僅含有自變量，容易看出，只要把將其視為一個未知的函數(shù)，那么（5）式就轉(zhuǎn)化為新方程，對新方程兩邊積分，即有階的微分方程，同理可得依照此方法繼續(xù)進(jìn)行，接連積分次，便得方程（5）的含有個任意常數(shù)的通解。例1求微分方程的通解。解對原方程接連三次積分，得這就是所求原方程的通解。例2求解微分方程的通解。解對原方程接連兩次積分，得這就是所求原方程的通解。2.2型此類方程（6）的右端不顯含未知函數(shù)，如果我們設(shè)，那么而方程（6）就變成，這是一個關(guān)于變量的一階微分方程，設(shè)其通解為但是，因此又得到一個一階微分方程對其進(jìn)行積分，可得到原方程的通解為例3求微分方程滿足條件的特解。解設(shè)，代入方程并分離變量后，得兩端積分得即由條件，得,所以，兩端再積分，得又由條件得,于是所求的特解為例4求解微分方程滿足條件的特解。解設(shè)，則，原方程化為分離變量得積分得代入初始條件，得,從而有，即又積分得代入初始條件，得,故所求特解為2.3型此類方程（7）中不顯含有自變量，為了求出它的解，我們令，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則把化為對的導(dǎo)數(shù)，即這樣方程（7）就成為這是一個有關(guān)于變量的一階微分方程，設(shè)它的通解為分離變量并積分，便得方程（7）的通解為例5求微分方程解方程不顯含自變量，令且原方程化為分離變量得,積分得即，分離變量得積分得即通解為例6求解微分方程解方程不顯含自變量令，則且原方程化為分離變量得積分得故分離變量，得由于，故上式兩端積分兩邊平方，得3降階的方法和技巧對于階微分方程一般地可以寫為但是如果當(dāng)方程不顯含自變量時，則可以令，則方程可以降為關(guān)于的階方程再對方程進(jìn)行次積分，可以求出方程的通解為即兩邊同時積分次，得到當(dāng)方程不顯含自變量時，即我們求解一般地，對令，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法得可由來表示，其中，帶入方程可以得到于是我們可以得到關(guān)于的階方程，但是從推導(dǎo)過程我們可以看出應(yīng)用常規(guī)的降階方法解高階微分方程過程比較煩瑣，因此對于常規(guī)的降階方法只是適合應(yīng)用在解決高階微分方程中階數(shù)較低的方程[4]。解高階方程的關(guān)鍵是在降階，對于可以降階的高階方程，我們可以借助常數(shù)變易法、分離變量法和積分因子法等方法做出適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q轉(zhuǎn)換成低階的方程，從而可以簡便運算過程，提高運算效率。3.1常數(shù)變易法在討論非齊次線性微分方程通解的求法時，我們可以明顯的看出齊次線性微分方程，對于這一類方程的其中一種特殊形式就是非齊次線性微分方程，假設(shè)：在微分方程的通解中將常數(shù)變易為的待定函數(shù)令微分之，得到代入有即積分后得到這里為任意常數(shù)。將上式代入方程得到非齊次線性微分方程的通解這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通常稱為常數(shù)變易法[5]。這種方法是解高階線性微分方程的重要方法之一。它更容易理解，因此它的解題思路很清晰，可是在求解高階微分方程中使用這種方法，還有一個特別重要的條件，就是要知道所求的這個方程的基本的解組，這也是這個方法的不足之處[6]。例7求方程的通解[7]。解該方程對應(yīng)的齊次線性微分方程為，通過分離變量和積分可以得到對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為我們應(yīng)用常數(shù)變易法，令,將它代入原來的方程可以得到將上面式子兩邊積分可以得到：所以，原方程的通解為：例8已知是方程的解，求方程的通解。解令，由可得：，其中，為任意常數(shù)。故為該方程的通解。例9求微分方程的通解。解方程的特解,由通解公式得：而,所以方程的通解為：3.2歐拉方程歐拉方程是一種特殊的變系數(shù)線性微分方程，而對于這種特殊的變系數(shù)線性微分方程，也就是歐拉方程。我們就可以用變換法，將其中的一個變量換成另一個含有未知數(shù)的函數(shù)，這樣一來歐拉方程就可以轉(zhuǎn)化為好求解的常系數(shù)線性微分方程，這樣就使得方程的求解更容易。形如（8）的方程（其中為常數(shù)），叫做歐拉方程。做變換或，將自變量換成，則有如果采用記號表示對求導(dǎo)的運算，那么對上述的計算結(jié)果可以表示成一般的，有（9）把(9)式代入歐拉方程（8），便得到一個以為自變量的常系數(shù)線性微分方程，在求出這個方程的解后，把換成，即得原方程的解。例10求歐拉方程的通解。解令，記，則原方程化為（10）所以特征方程為即，有特征根故方程（10）有通解即原方程的通解為例11求方程的通解。解令，記，則方程可化為（11）其特征方程為即有根，故方程（11）的通解為即原方程的通解為例12求解方程的通解。解令，記，則方程可化為即（12）方程(12)對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，有根，故齊次方程的通解為因不是特征方程的根，故可令是（12）的特解，代入方程（12），比較系數(shù)得,即于是方程(12)的通解為即原方程的通解為這里將特殊的變系數(shù)微分方程通過變量代換，令或以及采用記號表示，將原方程用表示出來進(jìn)而求出特征方程的特征根，即可知道原方程的通解。這種方法可以避免通過常用的轉(zhuǎn)化方法下的復(fù)雜繁瑣的運算過程，實際應(yīng)用中例如將二階微分方程通過因式分解法降階化成一階微分方程，就可以不需要再通過常系數(shù)方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這使得歐拉方程的解法顯得非常有意義[8]。3.3積分因子法在介紹積分因子法[9]之前，我們先對幾種常見的微分方程的積分因子做一下總結(jié)：常見類型的微分方程的積分因子：可分離變量的方程有積分因子(2)齊次方程有積分因子(3)齊次方程當(dāng)，有積分因子貝努利方程有積分因子我們可以將一階方程寫成微分的形式或把平等看待，寫成如下具有對稱形式的一階微分方程這里假設(shè)在某矩形域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。如果方程的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即這個方程我們稱之為恰當(dāng)微分方程。用積分可以求得恰當(dāng)微分方程的通解。接下來為了更好的求解這一類方程，使得方程的求解更容易我們加入了一個概念，即積分因子。有一個連續(xù)可微的函數(shù)，使得為一恰當(dāng)微分方程，即存在，使則稱為方程的積分因子。一般情況下積分因子求解的過程相對比較復(fù)雜，我們在本文中討論的是線性微分方程的積分因子。我們令根據(jù)此前所學(xué)知識，積分因子只與有關(guān)，這樣只是求解積分因子的一種特殊情況，我們能夠求出積分因子對于二階微分方程能否找到非零二階可微函數(shù)兩邊同乘以方程后方程轉(zhuǎn)化為如果存在使得以上方程成立，則分別稱為的第一積分因子和第二積分因子。如果存在非零二階可微函數(shù)，使成立，則方程的通解為例13求方程的通解。解現(xiàn)將方程化為由我們可以得到：對方程作變量代換，令，通過化簡整理可得：取，即，由此可得因此可以取由此可以得到通解為：例14解方程解所以原方程的通解為例15解方程解把方程改寫為容易觀察出一個積分因子為，將它乘原方程兩邊，得即從而原方程得通解為雖然對于使用積分因子法求解微分方程時，對于求解的過程中的替換思想可能很難理解。如果利用積分因子法求解時，相對來說求解的過程更注重有較高的技巧性，這種方法也有不好的地方，就是在運用方法過后實際的運算難度就很高。而且在利用方程積分因子求解時，不需要知道變量分離方程與齊次方程的一般解和特殊解之間的關(guān)系和性質(zhì)。在平時的解題中，我們要靈活的應(yīng)用這些方法，尋找適合解題的方法進(jìn)行求解。積分因子法是難理解，可是它能夠很好的讓我們理解求解線性微分方程的思想，不能因為涉及到恰當(dāng)方程，而選擇別的方法。更況且難以理解的方法越用也會越熟練[10]。結(jié)束語在微分方程中，高階微分方程的解法一直是一個學(xué)習(xí)的難點。通過梳理已有的微分方程的理論知識和結(jié)構(gòu)，從對不同方程的特點和解做總結(jié)和探究，使得進(jìn)一步討論高階線性微分方程的解法就顯得比較容易。在探究的過程中，我們還是要做到在大學(xué)課堂學(xué)好教授給我們的數(shù)學(xué)理