人教A版高中數學必修1《一章-集合與函數概念-1.2-函數及其表示-函數概念的發(fā)展歷程》賽課導學案-28

PAGE§1.2.1函數的一、教材分析本節(jié)課選自《普通高中課程標準數學教科書-必修1》（人教A版）《函數發(fā)展的歷程》共3課時，本節(jié)課是第1課時。托馬斯說：“函數概念是近代數學思想之花”。生活中的許多現象如物體運動，氣溫升降，投資理財等都可以用函數的模型來刻畫，是我們更好地了解自己、認識世界和預測未來的重要工具。函數是數學的重要的基礎概念之一，是高等數學重多學科的基礎概念和重要的研究對象。同時函數也是物理學等其他學科的重要基礎知識和研究工具，教學內容中蘊涵著極其豐富的辯證思想。函數的的重要性正如恩格斯所說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動就進入了數學；有了變數，辯證法就進入了數學”。二、學生學習情況分析函數是中學數學的主體內容，學生在中學階段對函數的認識分三個階段：（一）初中從運動變化的角度來刻畫函數，初步認識正比例、反比例、一次和二次函數；（二）高中用集合與對應的觀點來刻畫函數，研究函數的性質，學習典型的對、指、冪和三解函數；（三）高中用導數工具研究函數的單調性和最值。1．有利條件現代教育心理學的研究認為，有效的概念教學是建立在學生已有知識結構的基礎上的，因此教師在設計教學的過程中必須注意在學生已有知識結構中尋找新概念的固著點，引導學生通過同化或順應，掌握新概念，進而完善知識結構。初中用運動變化的觀點對函數進行定義的，它反映了歷史上人們對它的一種認識，而且這個定義較為直觀，易于接受，因此按照由淺入深、力求符合學生認知規(guī)律的內容編排原則，函數概念在初中介紹到這個程度是合適的。也為我們用集合與對應的觀點研究函數打下了一定的基礎。2．不利條件用集合與對應的觀點來定義函數，形式和內容上都是比較抽象的，這對學生的理解能力是一個挑戰(zhàn)，是本節(jié)課教學的一個不利條件。三、教學目標分析課標要求：通過豐富實例，進一步體會函數概念發(fā)展的過程，激發(fā)學生興趣.1．知識與能力目標：⑴能從集合與對應的角度理解函數的概念，更要理解函數的本質屬性；⑵理解函數的三要素的含義及其相互關系；⑶會求簡單函數的定義域和值域2．過程與方法目標：

⑴通過豐富實例，使學生建立起函數概念的背景，體會函數是描述變量之間依賴關系的數學模型；⑵在函數實例中，通過對關鍵詞的強調和引導使學發(fā)現它們的共同特征，在此基礎上再用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用.3．情感、態(tài)度與價值觀目標：感受生活中的數學，感悟事物之間發(fā)展變化關系。四、教學重點、難點分析1．教學重點：對函數概念變化的理解，現代函數觀點的看法；重點依據：初中是從變量的角度來定義函數，高中是用集合與對應的語言來刻畫函數。二者反映的本質是一致的，即“函數是一種對應關系”。但是，初中定義并未完全揭示出函數概念的本質，對這樣的函數用運動變化的觀點也很難解釋。在以函數為重要內容的高中階段，課本應將函數定義為兩個數集之間的一種對應關系，按照這種觀點，使我們對函數概念有了更深一層的認識，也很容易說明這函數表達式。因此，分析兩種函數概念的關系，讓學生融會貫通地理解函數的概念應為本節(jié)課的重點。突出重點：重點的突出依賴于對函數概念本質屬性的把握，使學生通過表面的語言描述抓住概念的精髓。2．教學難點：第一：通過概念的發(fā)展，理解事物的變化規(guī)律；第二：符號“y=f(x)”的含義的理解.難點依據：數學語言的抽象概括難度較大，對符號y=f(x)的理解會受到以前知識的負遷移。突破難點：難點的突破要依托豐富的實例，從集合與對應的角度恰當地引導，而對抽象符號的理解則要結合函數的三要素和小例子進行說明。五、教法與學法分析1．教法分析本節(jié)課我主要采用教師導學法、知識遷移法和知識對比法，從學生熟悉的豐富實例出發(fā)，關注學生的原有的知識基礎，注重概念的形成過程，從初中的函數概念自然過度到函數的近代定我。2．學法分析在教學過程中我注意在教學中引導學生用模型法分析函數問題、通過自主學習法總結“區(qū)間”的知識。六、教學手段分析PPT課件七、教學過程分析教學環(huán)節(jié)設計意圖（一）創(chuàng)設情境，引出概念1．將函數概念從出現，到出現定義數概念是中學中最重要的概念之一，它既是數學研究的對象，又是解決數學問題的基本思想方法。早在16、17世紀，生產和科學技術的發(fā)展要求數學不僅研究靜止不動的量，而且要研究運動過程中各個量之間的依賴關系，從而促進數學由常量上學時期進入到變量數學時期。函數也為研究變量數學必不可少的概念函數（function）一詞，始用于1692年，見著于微積分創(chuàng)始人之一萊布尼茲G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)則由歐拉（Euler）于1724年首次使用。我國于1859年引進函數的概念，它首次是在清代數學家李善蘭與英國傳教士偉烈亞歷山大合譯的《代微積拾級》中出現。函數在初高等數學中，在物理、化學和其他自然科學中，在經濟領域和社會科學中，均有廣泛的應用，起著基礎的作用。函數的概念隨著數學的發(fā)展而發(fā)展，函數的定義在發(fā)展過程中不斷地精確、完善、抽象，函數的概念也不斷得到嚴謹化、精確化的表達。

牛頓在《自然哲學的數學原理》中提出的“生成量”就是函數概念的雛形。最初，函數是表示代數上的冪（），1673年，萊布尼茲把任何一個隨著曲線上的點變動的幾何量，如切線、法線，以及點的橫坐標都成為函數。從初中的函數概念入手，與學生原有知識對接。事實上，課堂上很多學生都不能較準確地回憶起這個初中的函數概念。反映了學生并未抓住函數概念的“靈魂”。因此，我首先引導學生將初中函數概念的進行概括表述——函數是兩個變量之間的一種對應關系。有什么對應要求呢？每一個，都有唯一的和它對應。2．閱讀課本引例，體會函數概念發(fā)展的思想1718年約翰·貝努利(JohannBernoulli，瑞，1667－1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數，并強調函數要用公式來表示。1755，歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)把函數定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數?！?8世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)給出了定義：“一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式?！彼鸭s翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，并進一步把它區(qū)分為為代數函數和超越函數，還考慮了“隨意函數”。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。十九世紀函數概念──對應關系下的函數1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變量起給出了定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現了自變量一詞，同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。三個引例的作用三：⑴體會函數的模型化思想，⑵感知三種表示方法，全面認識函數；⑶引導學生從集合與對應的角度分析這三個函數模型，體會對應關系的重要性和各種表現形式，完善函數的近代定義。（二）準確定義，分析疑點1．函數概念設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．定義域：自變量x的取值集合，即集合A.值域：函數值y取值集合，通常值域B(這里先讓學生記下，下一節(jié)課再解釋)．2．概念剖析①構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域②函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值，而不是f乘x．③“y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；由于與初中函數概念實現了很好的對接，概念的理解已不是難點，此時對函數符號的理解又上升為主要難點。因此，這里著首剖析了概念的內涵與外延，而值域是B集合的子集這一難點留至下一課時，以突出這節(jié)課的重點，分散難點。（三）介紹區(qū)間，自學歸納1．由學生自己總結函數的變化；向學生指明區(qū)間是表示“數軸上連續(xù)實數”的一種特殊集合，為了簡便而引入的。（四）總結綜上所述可知，函數概念的發(fā)展與生產、生活以及科學技術的實際需要緊密相關，而且隨著研究的深入，函數概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達，這與我們學習函數的過程是一樣的。注意了梯度的拉開和與生活實踐的聯系，帶著理論重新審