24完整版本.1.2-垂徑定理-人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件

24.1.2垂直于弦的直徑葫蘆島第六初級(jí)中學(xué)垂徑定理及其推論★垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE，⌒⌒AC

=BC，⌒⌒AD=BD.★推導(dǎo)格式注意

垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理，三種語言要相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直是不是，因?yàn)镃D沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂徑定理的幾個(gè)基本圖形ABOCDEABOEDABO

DCABOC

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？思考探索如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？

DOABEC舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：①CD是直徑②CD⊥AB，垂足為E

③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒證明猜想如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD交AB于點(diǎn)E，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒證明舉例（1）連結(jié)AO，BO，則AO=BO.又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.★垂徑定理的推論⌒⌒CD⊥AB,AC=BC,⌒⌒AD=BDCD是直徑，

AE=BE★推導(dǎo)格式ＤＣＡＢＥＯ思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.·OABE解析：連結(jié)OA.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴（cm）.

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.例1·OABECD解：連結(jié)OA.

∵

CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm，則OD=（x-2）cm.根據(jù)勾股定理，得解得x=5.即半徑OC的長(zhǎng)為5cm.x2=42+(x-2)2，.

如圖，⊙O的弦AB＝8cm

，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長(zhǎng).例2.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?。?/p>

AM－CM＝BM－DM，∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

已知：⊙O中弦AB∥CD，求證：AC＝BD.⌒⌒例3

總結(jié)解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.實(shí)際應(yīng)用

趙州橋（如圖）是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.例4ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm.

經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，垂足為點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)C，連結(jié)OA，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.23m，即趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.練一練：如圖a、b,一弓形弦長(zhǎng)為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿_(dá)___＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm

在圓中有關(guān)弦長(zhǎng)a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.★涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：★弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

OABC·1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°，則弦AC=___.

103cm3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，則弦MN和EF之間的距離為

____

.14cm或2cm4.如圖，在⊙O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求證：四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四邊形ADOE為矩形.又∵AC=AB，∴AE=AD，∴四邊形ADOE為正方形.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，

5.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn).你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？.ACDBOE注意

解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，它是一種常用輔助線的添法．解：AC＝BD.理由如下：過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP長(zhǎng)的取值范圍

.3cm≤OP≤5cmBAOP垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其他三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造Rt△利用勾股定理計(jì)算或建立方程基本圖形及變式圖形課堂總結(jié)24.1.2垂直于弦的直徑一、教學(xué)目標(biāo)1．探索并了解圓的對(duì)稱性和垂徑定理．2．能運(yùn)用垂徑定理解決幾何證明、計(jì)算問題，并會(huì)解決一些實(shí)際問題．重點(diǎn)難點(diǎn)二、教學(xué)重難點(diǎn)垂徑定理、推論及其應(yīng)用．發(fā)現(xiàn)并證明垂徑定理．活動(dòng)1

新課導(dǎo)入三、教學(xué)設(shè)計(jì)1．請(qǐng)同學(xué)們把手中的圓對(duì)折，你會(huì)發(fā)現(xiàn)圓是一個(gè)什么樣的圖形？答：圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸．2．請(qǐng)同學(xué)們?cè)侔咽种械膱A沿直徑向上折，折痕是圓的一條什么呢？通過觀察，你能發(fā)現(xiàn)直徑與這條折痕的關(guān)系嗎？答：折痕是圓的一條弦，直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。顒?dòng)2

探究新知1、探究剪一個(gè)圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？通過探究可以發(fā)現(xiàn)，圓是對(duì)稱軸圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸，下面我們來證明這個(gè)結(jié)論.要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上。如圖6，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C，D以外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AA’⊥CD，交⊙O于點(diǎn)A’，垂足為M，連接OA，

OA’.在△OAA’中，∵

OA=OA’，∴△OAA’是等腰三角形.又∵

AA’⊥CD，∴

AM=MA’即CD是AA’的垂直平分線.提出問題：(1)通過上面的折紙，圓是軸對(duì)稱圖形嗎？有幾條對(duì)稱軸？(2)“圓的任意一條直徑都是它的對(duì)稱軸”這種說法對(duì)嗎？若不對(duì)，應(yīng)該怎樣說？2．教材P82例2以上內(nèi)容．提出問題：(1)證明了圓是軸對(duì)稱圖形后，觀察圖24.1－6，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)弧之間有什么關(guān)系？由此可得到什么結(jié)論？(2)若把P81的條件“直徑CD⊥AA′于點(diǎn)M”改為“直徑CD平分弦AA′(不是直徑)于點(diǎn)M”，還能證明出圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？此時(shí)對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)弧之間有什么關(guān)系？(3)當(dāng)?shù)?2)問中的弦AA′為直徑時(shí)，相關(guān)結(jié)論還成立嗎？為什么？活動(dòng)3

知識(shí)歸納1．圓是__對(duì)稱圖形，任何一條______________都是它的對(duì)稱軸，它也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為____．2．垂直于弦的直徑____弦，并且____弦所對(duì)的兩條弧，即一條直線如果滿足：①_______________________________；②__________________；那么可以推出：③________；④CB＝DB；⑤CA＝DA.軸直徑所在的直線圓心平分平分AB經(jīng)過圓心O且與圓交于A，B兩點(diǎn)AB⊥CD交CD于點(diǎn)ECE＝DE((((3．_______________的直徑垂直于弦，并且____弦所對(duì)的兩條弧．提出問題：“推論”里的被平分的弦為什么不能是直徑？平分平分弦(不是直徑)活動(dòng)4

例題與練習(xí)例1趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.分析：解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形。解：如圖8，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R。經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)C，連接OA，根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高。由題設(shè)可知：AB=37，CD=7.23.所以AD=AB=×37=18.5.OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m。((((例2如圖，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，DE交AB，AC于點(diǎn)M，N.求證：AM＝AN.證明：連接OD，OE分別交AB，AC于點(diǎn)F，G.∵D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴∠DFM＝∠EGN＝90°.∵OD＝OE，∴∠D＝∠E，∴∠DMB＝∠ENC.∵∠DMB＝∠AMN，∠ENC＝∠ANM，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN.((((練習(xí)1．教材P83練習(xí)第1，2題．2．已知弓形的弦長(zhǎng)為6cm，弓形的高為2cm，則這個(gè)弓形所在的圓的半徑為______．

3．如圖，AB為⊙O的直徑，E是BC的中點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)D，BD＝3，AB＝10，則AC＝____．cm84．如圖，⊙O中弦CD交半徑OE于點(diǎn)A，交半徑OF于點(diǎn)B，若OA＝OB，求證：AC＝BD.證明：過點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G.∵OG過圓心，∴CG＝DG.∵OA＝OB.∴AG＝BG，∴CG－AG＝DG－BG，∴AC＝BD.24.1.2垂直于弦的直徑復(fù)習(xí)提問：1、什么是軸對(duì)稱圖形？我們?cè)谥本€形中學(xué)過哪些軸對(duì)稱圖形？如果一個(gè)圖形沿某一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形。常見的軸對(duì)稱圖形有：角、線段、等腰三角形、矩形等.2、圓是不是軸對(duì)稱圖形呢？圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它們的對(duì)稱軸.合作探究剪一個(gè)圓形圖片，沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？結(jié)論：

圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.學(xué)生分組活動(dòng)疊合法理由如下：連結(jié)AO,BO.把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，AE和BE,AC和BC，AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒驗(yàn)證結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)：

圓是軸對(duì)稱圖形。任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸同時(shí)，我們可以得到一條重要定理----垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.推論：

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧問題：你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？

趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境37.4m7.2mABOCE分析：解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形解：如圖，用弧AB表示主橋拱，設(shè)其坐在圓的圓心為O，半徑為R經(jīng)過點(diǎn)O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與弧AB相交于點(diǎn)C，連接OA。根據(jù)垂徑定理，D是AB的重點(diǎn)，C是弧AB的重點(diǎn)，CD就是拱高由題設(shè)可知 AB=37cmCD=7.23cm所以 AD=