拓展1 利用遞推公式求通項(xiàng)公式常用的方法（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】拓展1利用遞推公式求通項(xiàng)公式常用的方法（精練）1公式法1．（2022·上海）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_________.【答案】【解析】,故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不適合上式，，故答案為：.2．（2022·云南）已知數(shù)列滿足，則____．【答案】【解析】由數(shù)列滿足①，可得，且②，①-②可得且，所以，當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式，所以，故答案為：．3．（2022·江西）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則__________．【答案】【解析】由題意得，所以，解得，又因?yàn)?，于是，因此?shù)列是以為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，故，于是，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，故，故,故答案為：4．（2022·山西忻州）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，．(1)求，；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，.(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，當(dāng)時(shí)，有，解得.故，.（2）因?yàn)椋?，兩式相減得：，即，化簡得：，所以，即，，化簡得：.故的通項(xiàng)公式.5．（2022·甘肅）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．【答案】(1)3；6(2)an＝.【解析】（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，∴a3＝（a1＋a2）＝6.（2）∵當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1滿足上式，∴an＝.6．（2022·廣東）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式.【答案】.【解析】因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，，解得，于是得：，當(dāng)時(shí)有，因此，顯然滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.7．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S1＝1，（），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；【答案】an【解析】∵an＞0，當(dāng)時(shí)，∵，∴Sn﹣Sn﹣1，∴2，又∵，∴{}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴，當(dāng)時(shí)，，不滿足該式，∴an；8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式．【答案】，.【解析】．①當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，②①－②得，則，而不為零，故是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．2累乘法1．（2022·福建省）在數(shù)列中，（n∈N*），且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.【答案】【解析】由，得，則，，，，累乘得，所以.故答案為：.2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)________________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，，，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)，故答案為：3．（2023·云南）已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，數(shù)列中，，，①，②，①②可得：，變形可得：，則；時(shí)，符合；故答案為：．4．（2022江蘇）已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以以上式子累乘得：，因?yàn)?，所?故答案為：.5．（2022河北）數(shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為_____________.【答案】【解析】由得，，則，即，又，所以.故答案為：.6．（2022·安徽）已知在數(shù)列中，，，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，即有，當(dāng)時(shí)，，得，滿足上式，，，因此數(shù)列是常數(shù)列，即，所以.故答案為：7．（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則的通項(xiàng)公式______.【答案】【解析】，即，當(dāng)時(shí)，，，整理得，，將以上各式左右兩邊分別相乘得，又，所以，當(dāng)時(shí)，符合，故數(shù)列的通項(xiàng)公式.故答案為：.8．（2022·安徽）已知數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】.【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，又也滿足上式，所以.故.3累加法1．（2022·河北唐山·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)由已知，即．又，故，即（且）．所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．所以．36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】利用累加法求解即可【詳解】由題意得，，則，，……，.由累加法得，，即，則時(shí)也滿足，所以.2．（2021·安徽·馬鞍山二中高三階段練習(xí)（理））數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】∵，且，∴，∴當(dāng)時(shí)，，又也滿足，∴．4構(gòu)造法1．（2022·江蘇?。┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則的前項(xiàng)和_____．【答案】【解析】，，，故，，是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，，，．故答案為：．2．（2022·陜西·西安中學(xué)高二期中）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.【答案】【解析】由題意得，而，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.，，當(dāng)時(shí)，，也滿足此式，綜上，故答案為：3．（2022·上海市晉元高級中學(xué)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，，，，則，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.，所以，故答案為：4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，且滿足，則___________.【答案】【解析】因?yàn)?，，，顯然，所以，同除得，所以，所以，所以是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，所以所以故答案為：5．（2023·天津）在數(shù)列中，，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列中，，即，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，解得.故答案為：.6．（2022·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高二期中）已知數(shù)列滿足，且．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以故答案為：.7．（2022重慶）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】.【解析】由兩邊同除以得，令，則，設(shè)，解得，，而，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，得8．（2022·安徽宿州·高二期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】∵，等式兩邊同時(shí)加1整理得又∵，∴∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．∴，

∴9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】．【解析】由，得：，∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，得．10（2022·四川）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【解析】令.先求出數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，解得.將