高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)提升版第61講事件與概率

第61講事件與概率[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系．了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.2.理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.3.會用頻率估計概率．1．隨機(jī)試驗(yàn)及其特點(diǎn)(1)定義：對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母E表示．(2)特點(diǎn)①試驗(yàn)可以在相同條件下eq\x(\s\up1(01))重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是eq\x(\s\up1(02))明確可知的，并且eq\x(\s\up1(03))不止一個；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．2．樣本空間(1)隨機(jī)試驗(yàn)E的每個可能的eq\x(\s\up1(04))基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示；(2)eq\x(\s\up1(05))全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示樣本空間，稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．3．隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件(1)事件：將樣本空間Ω的eq\x(\s\up1(06))子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件．(2)基本事件：只包含eq\x(\s\up1(07))一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．(3)必然事件：Ω包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中eq\x(\s\up1(08))總有一個樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．(4)不可能事件：空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中eq\x(\s\up1(09))都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件．4．兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算關(guān)系或運(yùn)算含義符號表示包含若事件A發(fā)生，則事件Beq\x(\s\up1(10))一定發(fā)生eq\x(\s\up1(11))A?B相等事件B包含事件A，事件A也包含事件BA＝B并事件(和事件)事件A與事件Beq\x(\s\up1(12))至少有一個發(fā)生eq\x(\s\up1(13))A∪B(或A＋B)交事件(積事件)事件A與事件Beq\x(\s\up1(14))同時發(fā)生A∩B(或AB)互斥(互不相容)事件A與事件Beq\x(\s\up1(15))不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中eq\x(\s\up1(16))有且僅有一個發(fā)生eq\x(\s\up1(17))A∪B＝Ω，且A∩B＝?5.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)eq\x(\s\up1(18))≥0．性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為eq\x(\s\up1(19))0，即P(Ω)＝eq\x(\s\up1(20))1，P(?)＝eq\x(\s\up1(21))0．性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq\x(\s\up1(22))P(A)＋P(B)．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝eq\x(\s\up1(23))1－P(A)，P(A)＝eq\x(\s\up1(24))1－P(B)．性質(zhì)5：如果A?B，那么eq\x(\s\up1(25))P(A)≤P(B)．性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝eq\x(\s\up1(26))P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．頻率的穩(wěn)定性在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性．一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的eq\x(\s\up1(27))增大，頻率偏離概率的幅度會eq\x(\s\up1(28))縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的eq\x(\s\up1(29))概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)eq\x(\s\up1(30))估計概率P(A)．1．從集合的角度理解互斥事件和對立事件(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．2．概率加法公式的推廣當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．1．(多選)(2023·?？谀M)下列說法正確的是()A．對任意的事件A，都有P(A)>0B．隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值C．必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0D．若事件A?事件B，則P(A)≤P(B)答案BCD解析任意事件A發(fā)生的概率P(A)滿足0≤P(A)≤1，故A錯誤；頻率是數(shù)據(jù)統(tǒng)計的結(jié)果，是一種具體的趨勢和規(guī)律．在大量重復(fù)試驗(yàn)時，頻率具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，這種擺動幅度越來越小，這個常數(shù)就是這個事件發(fā)生的概率，由此可知B正確；∵必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，隨機(jī)事件的概率大于0，小于1，∴C正確；當(dāng)隨機(jī)事件的樣本空間一定時，若事件A?事件B，則必然有P(A)≤P(B)，∴D正確．故選BCD.2．(人教A必修第二冊習(xí)題10.3T2改編)小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了30次，每次朝上的點(diǎn)數(shù)都是2，則下列說法正確的是()A．朝上的點(diǎn)數(shù)是2的概率為1B．朝上的點(diǎn)數(shù)是2的頻率為1C．拋擲第31次，朝上的點(diǎn)數(shù)一定不會是2D．拋擲第31次，朝上的點(diǎn)數(shù)一定是2答案B解析小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了30次，每次朝上的點(diǎn)數(shù)都是2，則朝上的點(diǎn)數(shù)是2的頻率為eq\f(30,30)＝1，故B正確；頻率不同于概率，概率是某事件發(fā)生的可能性的大小，是一個定值，而頻率隨著實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的不同而不同，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率逐漸趨向于概率的值，故A錯誤；拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是2的概率為eq\f(1,6)，所以拋擲第31次，朝上的點(diǎn)數(shù)可能是2，也可能不是2，故C，D錯誤．故選B.3．(人教B必修第二冊5.3.2練習(xí)AT2改編)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，則P(A∪B)＝()A．0.5 B．0.6C．0.8 D．1答案B解析∵P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.3－0.2＝0.6.故選B.4．從裝有兩個白球和兩個黃球(球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個球，以下給出了四組事件：①至少有1個白球與至少有1個黃球；②至少有1個黃球與都是黃球；③恰有1個白球與恰有1個黃球；④至少有1個黃球與都是白球．其中互斥而不對立的事件共有()A．0組 B．1組C．2組 D．3組答案A解析對于①，至少有1個白球包括1個白球1個黃球，2個都是白球；至少有1個黃球包括1個白球1個黃球，2個都是黃球，所以這兩個事件有可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；對于②，至少有1個黃球包括1個白球1個黃球，2個都是黃球，所以至少有1個黃球與都是黃球有可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；對于③，恰有1個白球與恰有1個黃球是同一個事件，所以不是互斥事件；對于④，至少有1個黃球包括1個白球1個黃球，2個都是黃球，與都是白球不可能同時發(fā)生，且一次試驗(yàn)中有一個必發(fā)生，所以是對立事件．所以這4組事件中互斥而不對立的事件共有0組．故選A.5．(人教B必修第二冊5.3.1練習(xí)BT1改編)做試驗(yàn)“從0，1，2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個數(shù)字，構(gòu)成有序?qū)?x，y)，x為第1次取到的數(shù)字，y為第2次取到的數(shù)字”，則這個試驗(yàn)的樣本空間為________．答案Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}解析這個試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．考向一事件的關(guān)系及運(yùn)算例1(1)在手工課上，老師將5個環(huán)(顏色分別為藍(lán)、黑、紅、黃、綠)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)加工制作，每人分得一個，則事件“甲分得紅環(huán)”與“乙分得紅環(huán)”()A．是對立事件B．是不可能事件C．是互斥事件但不是對立事件D．不是互斥事件答案C解析甲、乙不可能同時分得紅環(huán)，因而這兩個事件是互斥事件；又甲、乙可能都分不到紅環(huán)，即事件“甲或乙分得紅環(huán)”不是必然事件，故這兩個事件不是對立事件．故選C.(2)(多選)從1至9這9個自然數(shù)中任取兩個，有如下隨機(jī)事件：A＝“恰有一個偶數(shù)”，B＝“恰有一個奇數(shù)”，C＝“至少有一個是奇數(shù)”，D＝“兩個數(shù)都是偶數(shù)”，E＝“至多有一個奇數(shù)”．下列結(jié)論正確的是()A．A＝BB．B?CC．D∩E＝?D．C∩D＝?，C∪D＝Ω答案ABD解析事件A，B都指的是一奇一偶，故A正確；至少有一個奇數(shù)，指兩個數(shù)是一奇一偶，或是兩個奇數(shù)，所以B?C，故B正確；至多有一個奇數(shù)指一奇一偶，或是兩偶，此時事件D，E可能同時發(fā)生，故C錯誤；因?yàn)镃，D是對立事件，所以C∩D＝?，C∪D＝Ω，故D正確．故選ABD.1．準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可同時不發(fā)生．(2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．2．判別互斥、對立事件的方法判別互斥、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．1.(多選)已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷正確的是()A．事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件B．事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是必然事件答案ABC解析對于A，事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件，故A正確；對于B，事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件，故B正確；對于C，因?yàn)橹挥?張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，所以事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件，故C正確；對于D，事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件，故D錯誤．故選ABC.2．(多選)(2024·青島開學(xué)考試)有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取2件，則互斥的兩個事件是()A．“至少有1件次品”與“至多有1件正品”B．“至少有1件次品”與“都是正品”C．“至少有1件次品”與“至少有1件正品”D．“恰有1件次品”與“恰有2件正品”答案BD解析對于A，“至少有1件次品”與“至多有1件正品”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；對于B，“至少有1件次品”與“都是正品”是對立事件，屬于互斥事件，故B正確；對于C，“至少有1件次品”與“至少有1件正品”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；對于D，“恰有1件次品”與“恰有2件正品”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立事件，故D正確．故選BD.考向二隨機(jī)事件的概率與頻率例2某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)X＝70時，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率．解(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個．故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)根據(jù)題意，Y＝460＋eq\f(X－70,10)×5＝eq\f(X,2)＋425，故P(發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率為eq\f(3,10).計算簡單隨機(jī)事件的頻率或概率的步驟提醒：頻率是隨機(jī)的，而概率是一個確定的值，有時也用頻率作為隨機(jī)事件概率的估計值．有一批貨物需要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布情況如表所示．所用時間(天)10111213通過公路1的頻數(shù)20402020通過公路2的頻數(shù)10404010假設(shè)汽車A只能在約定日期(某月某日)的前11天出發(fā)，汽車B只能在約定日期的前12天出發(fā)(將頻率視為概率)，為了在各自允許的時間內(nèi)將貨物運(yùn)至城市乙，汽車A和汽車B選擇的最佳路徑分別為()A．公路1和公路2 B．公路2和公路1C．公路2和公路2 D．公路1和公路1答案A解析通過公路1到城市乙用時10，11，12，13天的頻率分別為0.2，0.4，0.2，0.2；通過公路2到城市乙用時10，11，12，13天的頻率分別為0.1，0.4，0.4，0.1.設(shè)A1，A2分別表示汽車A選擇公路1，2在允許的時間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市乙；B1，B2分別表示汽車B選擇公路1，2在允許的時間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市乙，則P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽車A最好選擇公路1，汽車B最好選擇公路2.多角度探究突破考向三概率基本性質(zhì)的應(yīng)用角度互斥事件的概率例3某保險公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．解(1)設(shè)事件A表示“賠付金額為3000元”，事件B表示“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率，得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，故所求概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)事件C表示“投保車輛中，新司機(jī)獲賠4000元”．由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率，得P(C)＝0.24.角度對立事件的概率例4某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率)．解(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記事件A為“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，事件A1，A2分別表示“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2.5分鐘、3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).角度概率的一般加法公式例5某公司三個分廠的職工情況為：第一分廠有男職工4000人，女職工1600人；第二分廠有男職工3000人，女職工1400人；第三分廠有男職工800人，女職工500人．如果從該公司職工中隨機(jī)抽選1人，求該職工為女職工或?yàn)榈谌謴S職工的概率．解記事件A為“抽取的為女職工”，記事件B為“抽取的為第三分廠的職工”，則A∩B表示“抽取的為第三分廠的女職工”，A∪B表示“抽取的為女職工或第三分廠的職工”，則有P(A)＝eq\f(1600＋1400＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(35,113)，P(B)＝eq\f(800＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(13,113)，P(A∩B)＝eq\f(500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)＝eq\f(5,113)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(35,113)＋eq\f(13,113)－eq\f(5,113)＝eq\f(43,113).求復(fù)雜的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計算．(2)間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))，即運(yùn)用逆向思維，特別是“至少”“至多”型題目，用間接法就顯得較簡便．1.甲、乙兩人各射擊一次，命中率分別為0.8和0.5，兩人都命中的概率為0.4，則甲、乙兩人至少有一人命中的概率為________．答案0.9解析至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”這兩個事件的并事件．設(shè)事件A為“甲命中”，事件B為“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.2．某班選派5人參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)競賽，獲獎人數(shù)及其概率如下：獲獎人數(shù)012345概率0.10.16xy0.2z(1)若獲獎人數(shù)不超過2的概率為0.56，求x的值；(2)若最多4人獲獎的概率為0.96，最少3人獲獎的概率為0.44，求y，z的值．解記事件“在競賽中，有k人獲獎”為Ak(k∈N，k≤5)，則事件Ak彼此互斥．(1)∵獲獎人數(shù)不超過2的概率為0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56，解得x＝0.3.(2)由最多4人獲獎的概率為0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由最少3人獲獎的概率為0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.課時作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b，c，則使得方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根的樣本點(diǎn)個數(shù)為()A．17 B．18C．19 D．20答案C解析一枚骰子先后拋擲兩次，樣本點(diǎn)一共有36個．方程有實(shí)數(shù)根，需滿足b2－4c≥0，樣本點(diǎn)中滿足此條件的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共19個．故選C.2．(2023·宜賓三模)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件A表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件B表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件C表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件D表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則()A．事件A與事件C互斥B．事件A與事件B互為對立事件C．事件B與事件C互斥D．事件C與事件D互為對立事件答案B解析由題意可知，事件A可表示為A＝{1，3，5}，事件B可表示為B＝{2，4，6}，事件C可表示為C＝{4，5，6}，事件D可表示為D＝{1，2}，因?yàn)锳∩C＝{5}，所以事件A與事件C不互斥，A錯誤；因?yàn)锳∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，所以事件A與事件B互為對立事件，B正確；因?yàn)锽∩C＝{4，6}，所以事件B與事件C不互斥，C錯誤；因?yàn)镃∩D為不可能事件，C∪D不為必然事件，所以事件C與事件D不互為對立事件，D錯誤．故選B.3．?dāng)S一枚骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中事件A∪eq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析由已知，得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(2,3)，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件eq\o(B,\s\up6(－))表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”，故事件A與事件eq\o(B,\s\up6(－))互斥，∴P(A∪eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋[1－P(B)]＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,3).故選C.4．某地區(qū)居民血型的分布為O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%.已知同種血型的人可以互相輸血，O型血的人可以給任何一種血型的人輸血，AB型血的人可以接受任何一種血型的血，其他不同血型的人不能互相輸血．現(xiàn)有一血型為A型的病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，則能為該病人輸血的概率為()A．19% B．26%C．68% D．75%答案C解析該地區(qū)居民血型的分布為O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，能為A型血的病人輸血的有O型和A型，所以能為該病人輸血的概率為49%＋19%＝68%.故選C.5．(2023·大連模擬)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，三個事件A1，A2，A3發(fā)生的概率分別是0.2，0.3，0.5，則下列說法正確的是()A．A1∪A2與A3是互斥事件，也是對立事件B．A1∪A2∪A3是必然事件C．P(A2∪A3)＝0.8D．P(A1∪A2)≤0.5答案D解析三個事件A1，A2，A3不一定是互斥事件，故P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2∪A3)≤1，且A1∪A2與A3不一定是互斥事件，也不一定是對立事件．故選D.6．(2020·全國Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者()A．10名 B．18名C．24名 D．32名答案B解析由題意知超市第二天能完成1200份訂單的配貨，如果沒有志愿者幫忙，則超市第二天共會積壓超過500＋(1600－1200)＝900份訂單的概率為0.05，因此要使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，至少需要志愿者eq\f(900,50)＝18(名)．故選B.7．(2023·咸陽一模)某家族有X，Y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X性狀的概率為eq\f(4,15)，出現(xiàn)Y性狀的概率為eq\f(2,15)，X，Y兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為eq\f(7,10)，則該成員X，Y兩種性狀都出現(xiàn)的概率為()A.eq\f(1,15) B.eq\f(1,10)C.eq\f(2,15) D.eq\f(4,15)答案B解析設(shè)該家族某成員出現(xiàn)X性狀為事件A，出現(xiàn)Y性狀為事件B，則X，Y兩種性狀都不出現(xiàn)為事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))，兩種性狀都出現(xiàn)為事件A∩B，所以P(A)＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(2,15)，P(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(7,10)，所以P(A∪B)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(3,10)，又因?yàn)镻(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝eq\f(1,10).故選B.8．若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))答案A解析由題意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<P（A）<1，,0<P（B）<1，,P（A）＋P（B）≤1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2a－2≤1，))解得eq\f(4,3)<a≤eq\f(3,2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))).故選A.二、多項(xiàng)選擇題9．某射擊運(yùn)動員在一次訓(xùn)練中的命中環(huán)數(shù)情況如下表：射擊次數(shù)命中7環(huán)及以上命中7環(huán)以下1005542記該射擊運(yùn)動員在一次射擊中，命中7環(huán)及以上為事件A，命中7環(huán)以下為事件B，脫靶為事件C，用頻率估計概率的方法得到的下述結(jié)論中，正確的是()A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.42C．P(C)＝0.03 D．P(B∪C)＝0.39答案ABC解析P(A)＝eq\f(55,100)＝0.55，故A正確；P(B)＝eq\f(42,100)＝0.42，故B正確；P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.42＝0.03，故C正確；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.42＋0.03＝0.45，故D錯誤．故選ABC.10．(2024·河南名校聯(lián)盟月考)現(xiàn)有8張卡片，有3張分別印有“一等獎”“二等獎”“三等獎”，其余5張印有“謝謝惠顧”．甲從中任選1張，設(shè)事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲獲得二等獎”，事件D表示“甲獲得三等獎”，事件E表示“甲中獎”，則下列說法正確的是()A．事件A和事件E是對立事件B．事件B和事件C是互斥事件C．P(B∪C∪D)＝P(E)D．P(B∩E)＝P(E)答案ABC解析對于A，因?yàn)槭录嗀和事件E必有一個且僅有一個發(fā)生，所以事件A和事件E是對立事件，故A正確；對于B，因?yàn)槭录﨎和事件C不可能同時發(fā)生，所以事件B和事件C是互斥事件，故B正確；對于C，因?yàn)锽∪C∪D＝E，所以P(B∪C∪D)＝P(E)，故C正確；對于D，P(B∩E)＝P(B)＝eq\f(1,8)，P(E)＝eq\f(3,8)，所以P(B∩E)≠P(E)，故D錯誤．故選ABC.11．小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間(單位：分鐘)隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示：所需時間/分鐘30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1則下列說法正確的是()A．任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事件B．從所需的平均時間看，線路一比線路二更節(jié)省時間C．如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該選線路一D．若小張上、下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.04答案BD解析“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥而不對立事件，A錯誤；線路一所需的平均時間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分鐘，線路二所需的平均時間為30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分鐘，所以線路一比線路二更節(jié)省時間，B正確；線路一所需時間小于45分鐘的概率為0.7，線路二所需時間小于45分鐘的概率為0.8，小張應(yīng)該選線路二，C錯誤；所需時間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時間可以為(50，60)，(60，50)和(60，60)三種情況，概率為0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正確．故選BD.三、填空題12．某城市2023年的空氣質(zhì)量狀況如表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T≤100時，空氣質(zhì)量為良，100<T≤150時，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2023年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為________．答案eq\f(3,5)解析由題意可知，2023年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).13．某種心臟病手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)準(zhǔn)備進(jìn)行3例此種手術(shù)，利用計算機(jī)取整數(shù)值隨機(jī)數(shù)模擬，用0，1，2，3代表手術(shù)不成功，用4，5，6，7，8，9代表手術(shù)成功，產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，則恰好成功1例的概率為________．答案0.4解析設(shè)“恰好成功1例”為事件A，其所包含的樣本點(diǎn)為191，270，832，912，134，370，027，703，共8個．則恰好成功1例的概率為P(A)＝eq\f(8,20)＝0.4.14．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個同顏色的球的概率為________；至少取得一個紅球的概率為________．答案eq\f(8,15)eq\f(14,15)解析由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件，取得兩個同顏色的球，只需兩互斥事件有一個發(fā)生即可，因而取得兩個同顏色的球的概率為P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).記事件A為“至少取得一個紅球”，事件B為“取得兩個綠球”，則事件A與B是對立事件，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).四、解答題15．在數(shù)學(xué)考試中，小王的成績在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(