第2章空間向量與立體幾何全章總結(jié)提升課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

全章總結(jié)提升第2章空間向量與立體幾何湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升專題一空間向量及其運(yùn)算空間向量的運(yùn)算主要包括空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.空間向量的運(yùn)算是利用向量研究空間線面位置關(guān)系、面面位置關(guān)系、空間角與空間距離的基礎(chǔ).空間向量及其運(yùn)算主要培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理的核心素養(yǎng).規(guī)律方法

1.在空間向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算中,要結(jié)合圖形特征選擇適當(dāng)?shù)南蛄繛榛?利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點(diǎn),把所求的向量逐步分解,最終歸結(jié)為基下的表示,用基向量表示出相關(guān)向量后再進(jìn)行向量的運(yùn)算.2.求解用空間的基表示的向量的?；驃A角以及數(shù)量積問題,應(yīng)注意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律及運(yùn)算法則.變式訓(xùn)練1如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1專題二利用空間向量證明平行、垂直問題利用空間向量研究空間線面、面面位置關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,利用空間向量證明平行、垂直問題主要培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理的核心素養(yǎng).【例2】

如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.證明

(1)易證得PA,AD,AB兩兩垂直,如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)PA=AD=a,AB=b,則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M(jìn),N分別為AB,PC的中點(diǎn),令z1=b,則n1=(2a,-b,b)為平面PMC的一個(gè)法向量.設(shè)平面PDC的法向量為n2=(x2,y2,z2),令z2=1,則n2=(0,1,1)為平面PDC的一個(gè)法向量.∵n1·n2=0-b+b=0,∴n1⊥n2,∴平面PMC⊥平面PDC.規(guī)律方法

利用向量證明垂直、平行的方法(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量.(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量;③利用共面向量定理,即證明可在平面內(nèi)找到兩個(gè)不共線向量來線性表示直線的方向向量.(3)證明面面平行的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線向量);②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直;②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題.變式訓(xùn)練2如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有側(cè)棱長(zhǎng)及底面邊長(zhǎng)都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD.證明

(方法一)設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線的方向向量為m.(方法二)基向量的取法同方法一.為BA1∩BD=B,BA1,BD?平面A1BD,由直線和平面垂直的判定定理知AB1⊥平面A1BD.(方法三)如圖,取BC,B1C1的中點(diǎn)O,O1,連接AO,OO1.因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,O,O1都為中點(diǎn),所以O(shè)B⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則B(1,0,0),D(-1,1,0),專題三利用空間向量求角利用向量求空間角是空間向量的重要應(yīng)用,求空間角主要包括求二面角、兩個(gè)平面所成的角、直線與平面所成的角以及異面直線的夾角,其本質(zhì)都是利用空間向量的夾角公式(即cosθ=)求解,但是要注意各種角的區(qū)別.利用向量求空間角主要是培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理的核心素養(yǎng).【例3】

如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點(diǎn)且B1M=2,點(diǎn)N在線段A1D上,A1D⊥AN.(1)求異面直線A1D與AM的夾角;(2)求直線AD與平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD所成的角的余弦值.解

以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).∴異面直線A1D與AM的夾角為90°.(2)∵A1D⊥AM,A1D⊥AN,AM∩AN=A,AM,AN?平面ANM,∴A1D⊥平面ANM,規(guī)律方法

利用向量法求空間角的注意點(diǎn)(1)異面直線夾角:兩異面直線夾角的范圍為(0,],需找到兩異面直線的方向向量,借助方向向量的夾角求解.(2)直線與平面所成的角:要求直線a與平面α所成的角θ,先求這個(gè)平面α的法向量n與直線a的方向向量a夾角的余弦值cos<n,a>,易知θ=<n,a>-或者

-<n,a>.(3)二面角:設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2.因?yàn)閮善矫娴姆ㄏ蛄康膴A角(或其補(bǔ)角)就等于平面α,β所成的銳二面角θ,所以cos

θ=|cos<n1,n2>|.變式訓(xùn)練3在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,E是PB的中點(diǎn).(1)求異面直線AE與CP夾角的余弦值;(2)若點(diǎn)F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求點(diǎn)F的坐標(biāo);(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.解

(1)易證得AD,DC,PD兩兩垂直,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.由題意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E為PB的中點(diǎn),∴E(1,1,1),專題四利用向量求解空間幾何體中的探究問題利用向量求解空間幾何體中的探究問題是向量在研究幾何問題中的綜合應(yīng)用,主要是培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例4】

在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=,AB⊥BC,如圖所示,把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD.(1)求證:CD⊥AB.(2)若點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),求點(diǎn)M到平面ACD的距離.(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)N,不含端點(diǎn),使得AN與平面ACD所成的角為60°?若存在,求出

的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.所以BD2+CD2=BC2,所以CD⊥BD.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,所以CD⊥平面ABD,又AB?平面ABD,所以CD⊥AB.(2)解

由(1)知CD⊥BD.以點(diǎn)D為原點(diǎn),DB所在的直線為x軸,DC所在的直線為y軸,過點(diǎn)D作垂直于平面BCD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖所示,(3)解

假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成的角為60°.規(guī)律方法

利用空間向量解決存在性(探索性)問題的方法解決與平行、垂直有關(guān)存在性(探索性)問題時(shí),常借助空間直角坐標(biāo)系以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立),然后在這個(gè)前提下通過邏輯推理建立方程,若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí),說明假設(shè)成立,即存在,并可進(jìn)一步證明;若導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果,則說明假設(shè)不成立,即不存在.變式訓(xùn)練4如圖所示,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別在BB1,DD1上,且AM⊥A1B,AN⊥A1D.(1)求證:A1C⊥平面AMN.(2)當(dāng)AB=2,AD=2,A1A=3時(shí),在線段AA1上是否存在一點(diǎn)P使得C1P∥平面AMN?若存在,試確定P的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明

因?yàn)镃B⊥平面AA1B1B,AM?平面AA1B1B,所以CB⊥AM,又因?yàn)锳M⊥A1B,A1B∩CB=B,A1B,CB?平面A