福建省南平市塔前中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

福建省南平市塔前中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若對任意的，都有成立，則A.

B.

C.

D.無法比較參考答案：B略2.已知點(diǎn)A(1,3)、B(5,2)，點(diǎn)P在x軸上，使|AP|–|BP|取得最大值時(shí)P的坐標(biāo)（

）

A.（4,0）

B.

(13,0) C.

(5,0)

D.

(1,0)

參考答案：B3.已知正四棱柱中，=，為中點(diǎn)，則異面直線與所形成角的余弦值為(

)（A）

(B)

(C)

(D).參考答案：C略4.一個(gè)年級有12個(gè)班，每個(gè)班的同學(xué)從1至50排學(xué)號(hào)，為了交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，要求每班學(xué)號(hào)為14的同學(xué)留下進(jìn)行交流，這里運(yùn)用的是(

)A．系統(tǒng)抽樣 B．分層抽樣 C．抽簽抽樣 D．隨機(jī)抽樣參考答案：A【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法；收集數(shù)據(jù)的方法．【專題】應(yīng)用題．【分析】學(xué)生人數(shù)比較多，把每個(gè)班級學(xué)生從1到50號(hào)編排，要求每班編號(hào)為14的同學(xué)留下進(jìn)行交流，這樣選出的樣本是具有相同的間隔的樣本，是采用系統(tǒng)抽樣的方法．【解答】解：當(dāng)總體容量N較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣．將總體分段，分段的間隔要求相等，這時(shí)間隔一般為預(yù)先制定的，在第1段內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào)．本題中，把每個(gè)班級學(xué)生從1到50號(hào)編排，要求每班編號(hào)為14的同學(xué)留下進(jìn)行交流，這樣選出的樣本是采用系統(tǒng)抽樣的方法，故選A．【點(diǎn)評】本題考查系統(tǒng)抽樣，當(dāng)總體容量N較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣，將總體分成均衡的若干部分即將總體分段，分段的間隔要求相等，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣．5.過圓錐的高的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分的面積之比為A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.計(jì)算的值為

參考答案：A，故選.8.下列命題中，真命題為（

）A．若，則

B．若，則C．若，則

D．若，則參考答案：B9.把直線x﹣y+﹣1=0繞點(diǎn)（1，）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后，所得的直線l的方程是（）A．y=﹣x B．y=x C．x﹣y+2=0 D．x+y﹣2=0參考答案：B【考點(diǎn)】直線的一般式方程．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知直線的斜率求出與x軸的夾角，然后求出旋轉(zhuǎn)后與x軸的夾角，即可得到所求直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線方程即可．【解答】解：由題意知直線x﹣y+﹣1=0與x軸的夾角為45°，則繞點(diǎn)（1，）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后得到直線l與x軸的夾角為60°，則斜率k=tan60°=，又直線過（1，），所以直線l的方程為y﹣=（x﹣1）化簡得：y=x．故選B．【點(diǎn)評】本題的突破點(diǎn)是會(huì)根據(jù)斜率求夾角、根據(jù)夾角求斜率．要求學(xué)生會(huì)根據(jù)一點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出直線的方程．10.已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：由題意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分類討論確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置即可．解答： 解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣3x2+1有兩個(gè)零點(diǎn)，不成立；②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零點(diǎn)，故不成立；③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上沒有零點(diǎn)；而當(dāng)x=時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）；故選：D．點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)和圓上的動(dòng)點(diǎn)P，則的取值范圍是

.參考答案：12.在展開式中，如果第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則

，

.參考答案：

解析：13.一項(xiàng)“過關(guān)游戲”的規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過關(guān)。則連過前3關(guān)的概率為_________.參考答案：

解析：由于骰子是均勻正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的．設(shè)事件An為“第n次過關(guān)失敗”，則對立事件Bn為“第n次過關(guān)成功”第n次游戲中，基本事件總數(shù)為6n

第1關(guān)：事件Al所含基本事件數(shù)為2(即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1和2兩種情況)．所以過此關(guān)的概率為P(B1)=1－

P(A1)=；

第2關(guān)：事件A2所含基本事件數(shù)為方程x+y=a當(dāng)a分別取2、3、4時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和，即6個(gè)．所以過此關(guān)概率為P(B2)=1－P(A2)=；

第3關(guān)：事件A3所含基本事件數(shù)為方程x+y+z=a當(dāng)a分別取3、4、5、6、7、8時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和，即56個(gè)．所以過此關(guān)概率為P(B3)=1－P(A3)=；

故連過三關(guān)的概率為P(B1)×P(B2)×P(B3)=14.雙曲線的兩條漸近線的夾角為

.參考答案：漸近線為：

∴夾角為：15.已知實(shí)數(shù)滿足，則=

；=

。參考答案：16.1343與816的最大公約數(shù)是________．參考答案：解析：1343＝816×1＋527,816＝527×1＋289,527＝289×1＋238,289＝238×1＋51,238＝51×4＋34,51＝34×1＋17,34＝17×2，所以1343和816的最大公約數(shù)是17.答案：1717.若行列式=0，則x=

．參考答案：2或﹣3【考點(diǎn)】三階矩陣．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先將三階行列式化為二階行列式，即可求得結(jié)論【解答】解：由題意，﹣2×+4×=0∴x2+x﹣6=0∴x=2或﹣3故答案為：2或﹣3【點(diǎn)評】本題考查三階行列式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分15分)設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，其中是常數(shù)，且．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若，求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)求在上的最大值與最小值．(用表示)參考答案：解：（Ⅰ）∵為奇函數(shù)，

∴即

…1分得對任意≠0恒成立

1分∴

……1分（Ⅱ）由（Ⅰ）知∵

……1分∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)是減函數(shù)

…1分又∵，當(dāng)時(shí)，在上遞增

1分∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，減區(qū)間為和

2分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)

……1分∵，

……1分∴在上有

………1分∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為略19.(本小題滿分12分)在三棱錐中,是邊長為2的正三角形,平面平面,,分別為的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求銳二面角的余弦值;參考答案：(1)證明:取中點(diǎn),連結(jié),.∵∴且∴平面,又平面,∴.(2)設(shè)OB與CE交于點(diǎn)G，取OB中點(diǎn)為M，作MH^CE交CE于點(diǎn)H，連結(jié)FM,FG.平面平面且，,,,從而.,是二面角的平面角.由得,在中,,,故銳二面角的余弦值為

.20.設(shè)橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且=．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若過A，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線x﹣y++=0相切，求橢圓C的方程；（Ⅲ）過F2的直線L與（Ⅱ）中橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存

在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由題意可知：=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，a2=4c2，e=；（Ⅱ）由=2c，解得c=1則a=2，b=，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅲ）由要使△F1MN內(nèi)切圓的面積最大，只需R最大，此時(shí)也最大，設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，弦長公式及三角形的面積公式可知=|y1﹣y2|=，t=，則t≥1，=（t≥1），由函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)t=1時(shí)，=4R有最大值3，即可求得m的值，求得直線方程．【解答】解：（Ⅰ）依題意A（0，b），F(xiàn)1為QF2的中點(diǎn)．設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），則Q（﹣3c，0），=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，∴﹣3c2+（a2﹣c2）=0，即a2=4c2，∴e=．（Ⅱ）由題Rt△QAF2外接圓圓心為斜邊QF2的中點(diǎn)，F(xiàn)1（﹣c，0），半徑r=2c，∵由題Rt△QAF2外接圓與直線++=0相切，∴d=r，即=2c，解得c=1．∴a=2，c=1，b=．所求橢圓C的方程為：（Ⅲ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）由題知y1，y2異號(hào)，設(shè)△F1MN的內(nèi)切圓的半徑為R，則△F1MN的周長為4a=8，∴=（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，∴要使△F1MN內(nèi)切圓的面積最大，只需R最大，此時(shí)也最大．=|F1F2|．|y1﹣y2|=|y1﹣y2|，由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韋達(dá)定理，得y1+y2=，y1y2=，（△＞0?m∈R）=|y1﹣y2|==．令t=，則t≥1，=（t≥1），當(dāng)t=1時(shí)，=4R有最大值3．此時(shí)，m=0，Rmax=．故△F1MN的內(nèi)切圓的面積最大值為此時(shí)直線l的方程為x=1．21.（8分）過橢圓的左焦點(diǎn)作弦AB，，求弦AB的長。