江蘇省蘇州市常熟市2025屆高三數(shù)學(xué)階段性抽測(cè)三試題含解析

PAGE22-江蘇省蘇州市常熟市2025屆高三數(shù)學(xué)階段性抽測(cè)三試題（含解析）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.）1.已知集合，，則________.【答案】【解析】【分析】對(duì)集合進(jìn)行化簡，先求出，依據(jù)集合的交集運(yùn)算，得到答案.【詳解】集合因?yàn)榧纤运?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算，屬于簡潔題.2.若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)值為________.【答案】2【解析】【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后依據(jù)純虛數(shù)的概念，得到的值.詳解】復(fù)數(shù)因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以,，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，依據(jù)復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)的值，屬于簡潔題.3.某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150，150，400，300名學(xué)生．為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)中抽取60名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從丁專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)四個(gè)專業(yè)各有的人數(shù)，得到本校的總?cè)藬?shù)，依據(jù)要抽取的人數(shù)，得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，利用丁專業(yè)的人數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，得到丁專業(yè)要抽取的人數(shù)．【詳解】∵高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生∴本校共有學(xué)生150+150+400+300＝1000，∵用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取60名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，∵丁專業(yè)有300人，∴要抽取30018．故答案為18．【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣方法，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的依據(jù)是在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，屬于?？碱}．4.依據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為____．【答案】16；【解析】【分析】程序語言表示“當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)”，由值限制循環(huán)是否終止，當(dāng)時(shí)，輸出的值.【詳解】輸出.【點(diǎn)睛】閱讀程序語言時(shí)，要留意循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)，何時(shí)終止循環(huán)是解題的難點(diǎn).5.將一枚質(zhì)地勻稱且各面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的正四面體連續(xù)拋擲兩次，記面朝下的數(shù)字依次為和，則點(diǎn)在直線上的概率為________.【答案】【解析】【分析】列出全部可能的狀況，得到滿意的狀況，依據(jù)古典概型的概率公式，得到答案.【詳解】依據(jù)題意，點(diǎn)可能出現(xiàn)的狀況為：，，，，，，，，，，，，，，，，共種，其中滿意點(diǎn)在直線上的狀況為：，，共種.依據(jù)古典概型的概率公式，得到所求概率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用古典概型公式求概率，屬于簡潔題.6.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則________.【答案】32【解析】【分析】由結(jié)合題意可得，再利用即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，所以.故答案為：32.【點(diǎn)睛】本題考查了與關(guān)系的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的判定和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.阿基米德（公元前287年—公元前212年），宏大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他死后的墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀(jì)念他發(fā)覺“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完備的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則其母線長為，由圓柱的表面積求出，代入圓柱的體積公式，求出其體積，結(jié)合題目中的結(jié)論，即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為，則其母線長為，因?yàn)閳A柱的表面積為所以，得到所以圓柱的體積為，依據(jù)題意可知圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，所以該圓柱的內(nèi)切球的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式，考查對(duì)題意的理解和轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.8.已知軸為曲線的切線，則的值為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)軸與曲線的切點(diǎn)為，由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解方程即可得解.【詳解】由題意，設(shè)軸與曲線的切點(diǎn)為，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.如圖，已知正方形的邊長為2，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)，），則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，得到，，將，用坐標(biāo)表示，然后將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，從而得到答案.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系，正方形的邊長為，所以半圓的半徑為，則，，，，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，正弦型函數(shù)的值域，屬于中檔題.10.已知函數(shù)的最小值為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)的最小值為，得到的值，然后分別計(jì)算和的值，得到答案.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)樽钚≈禐?，所以解得，所以即所以，，所以故答案?【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)分段函數(shù)的最值求參數(shù)，求分段函數(shù)的值，屬于簡潔題.11.已知正實(shí)數(shù)，滿意，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，求出的最小值，從而得到關(guān)于的不等式，解得的范圍.【詳解】因?yàn)楹愠闪ⅲ?，而正?shí)數(shù)，滿意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式中的代換，利用基本不等式求和的最小值和解決恒成立問題，屬于中檔題.12.已知橢圓：的焦點(diǎn)為，，假如橢圓上存在一點(diǎn)，使得，且的面積等于4，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由得到在圓上，依據(jù)題意可得，依據(jù)的面積等于，得到點(diǎn)縱坐標(biāo)，將圓與橢圓聯(lián)立，表示出點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而得到的值，結(jié)合，得到的范圍，從而求得的范圍.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)闄E圓上存在一點(diǎn)，使得，所以，即，可得，因?yàn)榈拿娣e等于，所以，即，橢圓與圓聯(lián)立，得，所以，即，因?yàn)椋?，所以，即，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，焦點(diǎn)三角形的面積問題，屬于中檔題.13.如圖，把半橢圓：和圓?。汉铣傻那€稱為“曲圓”，其中點(diǎn)是半橢圓的右焦點(diǎn)，，，，分別是“曲圓”與軸，軸的交點(diǎn)，已知，過點(diǎn)的直線與“曲圓”交于，兩點(diǎn)，則的周長的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，，得到圓的半徑為，即，從而得到橢圓方程和圓的方程，設(shè)，分為，，三種狀況分別表示出的周長，得到關(guān)于的函數(shù)，從而得到其取值范圍.【詳解】圓弧的半徑為，，，所以可得圓弧的半徑為，即，所以，所以曲圓的方程為：，，設(shè)，的周長為，①當(dāng)時(shí)，在圓上，在橢圓上，；②當(dāng)時(shí)，、都在橢圓上，；③當(dāng)時(shí)，在圓上，在橢圓上，；所以的周長的周長范圍為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，圓的弦長公式，分段函數(shù)求值域，考查分類探討的思想，屬于中檔題.14.已知實(shí)數(shù)，函數(shù)在閉區(qū)間上最大值為，在閉區(qū)間上的最大值為，若，則的值為________.【答案】或【解析】【分析】分，，進(jìn)行探討，分別探討和的值，利用，得到的值域，依據(jù)值域再得到的值.【詳解】當(dāng)，在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，則，不滿意，當(dāng)，則，則在閉區(qū)間上的最大值為，也不滿意；當(dāng)，在閉區(qū)間上的最大值，若要滿意，則，即在閉區(qū)間上的最大值為，所以，所以可得或解得或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)正弦函數(shù)的值域求參數(shù)的值，屬于中檔題.二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在三棱柱中，，為中點(diǎn)，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，得到，從而證明平面.（2）由，得到，由平面平面，得到平面，從而得到，可以得到平面，再得到.【詳解】證明：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)槭侨庵?，所以是平行四邊形，所以為中點(diǎn).有因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋?，平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，屬于簡潔題.16.已知是銳角三角形，向量，且.（1）求的值；（2）若，求的長.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先利用向量數(shù)量積得，再依據(jù)兩角差余弦公式得，最終依據(jù)范圍得（2）已知兩角一邊，求另一邊，應(yīng)利用正弦定理進(jìn)行解決：先求所對(duì)角的正弦值：，再依據(jù)正弦定理，得試題解析：（1）因?yàn)椋杂?，所以，所以，即；?）因?yàn)?，，所以所以由正弦定理，?考點(diǎn)：正弦定理，兩角差余弦公式17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，，點(diǎn)在圓上，.（1）求圓的方程；（2）直線與圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，求線段長度的最大值，并求出當(dāng)線段長度最大時(shí)，外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）的最大值為；【解析】【分析】（1）設(shè)，依據(jù)得到，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，得到，即，從而得到圓的方程；（2）由得到、的坐標(biāo)，表示出線段的中垂線，令，得到的外心的坐標(biāo)，由在拋物線上得，從而得到，再由基本不等式，得到其最大值，確定出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出外接圓的半徑，得到所求圓的方程.【詳解】解：（1）設(shè)，則，因?yàn)椋运?，由上式得：，所以，所以圓的方程為.（2）把代入圓的方程得，所以，，作出線段的中垂線，則的外心為直線與軸的交點(diǎn).直線的方程為：.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以所以.由得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取到最大值.此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以外接圓的半徑，所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求三角形外接圓的方程，利用基本不等式求最值，屬于中檔題.18.把一塊邊長為的正六邊形鐵皮，沿圖中的虛線（虛線與正六邊形的對(duì)應(yīng)邊垂直）剪去六個(gè)全等的四邊形（陰影部分），折起六個(gè)矩形焊接制成一個(gè)正六棱柱形的無蓋容器（焊接損耗忽視），設(shè)容器的底面邊長為.（1）若，且該容器的表面積為時(shí)，在該容器內(nèi)注入水，水深為，若將一根長度為的玻璃棒（粗細(xì)忽視）放入容器內(nèi)，一端置于處，另一端置于側(cè)棱上，忽視鐵皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的長度；（2）求該容器的底面邊長的范圍，使得該容器的體積始終不大于.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，表示出容器的高，從而可以表示出容器的底面積和側(cè)面積，依據(jù)容器的表面積為，得到關(guān)于的方程，從而得到的值，設(shè)玻璃棒在上的交點(diǎn)為，玻璃棒與水面交點(diǎn)為，過作交于，依據(jù)得到的值；（2）表示出容器的體積，依據(jù)對(duì)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，從而得到的范圍.【詳解】解：（1）由題意，則，設(shè)該容器的高為，則.當(dāng)時(shí)，容器底面積，側(cè)面積，所以容器表面積，整理得，得或（舍）.當(dāng)玻璃棒一個(gè)端點(diǎn)置于處，另一端置于側(cè)棱上時(shí)，如圖，設(shè)玻璃棒在上的交點(diǎn)為，玻璃棒與水面交點(diǎn)為.因?yàn)闉檎庵运倪呅螢榫匦?，在平面中，過作交于，如圖所示，因?yàn)?，，則，因?yàn)椋约?，所?（2）設(shè)該容器的體積為，.因?yàn)樵撊萜鞯捏w積始終不大于，所以對(duì)恒成立.即對(duì)恒成立，令，，令得，則隨改變的表格如下：+0-增最大值減.所以，得，得.答：該容器底面邊長滿意時(shí)，容器的體積始終不大于.【點(diǎn)睛】本題考查求棱柱的表面積和體積，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，利用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立問題，屬于中檔題.19.已知數(shù)列、中，，，且，，設(shè)數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為和.（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求和；（2）若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.①求；②是否存在實(shí)數(shù)，使對(duì)隨意自然數(shù)都成立？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）①②存在；實(shí)數(shù)【解析】【分析】（1）由題意得到得到等差數(shù)列的公差是，從而得到和，再分為奇數(shù)和為偶數(shù)，分別求出；（2）①表由得到，結(jié)合是公比為2的等比數(shù)列，得到答案；②依據(jù)題意得到，，然后將用中的項(xiàng)表示，從而得到，由，得，從而得到關(guān)于的方程，因?yàn)閷?duì)隨意自然數(shù)都成立，所以得到關(guān)于的方程，解出的值.【詳解】解：（1）依題意：時(shí)，，又因數(shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差是，所以，所以.當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，所以（2）①.②∵，，∴.由，得，即對(duì)隨意恒成立，即對(duì)隨意恒成立，所以解得.即存在實(shí)數(shù)使對(duì)隨意恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和，數(shù)列分奇偶求和，由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式，數(shù)列中多項(xiàng)式恒成立問題，屬于中檔題.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，試問過點(diǎn)可作的幾條切線？并說明理由.【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為（2）（3）當(dāng)時(shí)，切線有一條；當(dāng)時(shí)，切線有兩條，詳見解析【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)得到，令，得到的范圍，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（2）令，求導(dǎo)得到，令，分，，，探討的正負(fù)，即的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性，再推斷與的關(guān)系，從而得到的范圍；（3）切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出過的切線，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到，令，分，探討的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性，再探討其零點(diǎn)，從而得到切點(diǎn)的個(gè)數(shù)和切線的條數(shù).【詳解】解：（1）時(shí)，，，令，則，所以的單調(diào)減區(qū)間為.（2）令，，令，∵，又，①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，成立；②當(dāng)時(shí)，，，，∴在上單調(diào)遞減，成立；③