作業(yè)06 開普勒定律和萬有引力定律的應用（原卷版）

限時練習：40min完成時間：月日天氣：暑假作業(yè)06開普勒定律和萬有引力定律的應用一、開普勒行星運動定律定律內容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處在的一個焦點上開普勒第二定律(面積定律)對任意一個行星來說,它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等

a3T注意：①行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理；②面積定律是對同一個行星而言的,不同的行星相等時間內掃過的面積不等；③該比值只與中心天體的質量有關,不同的中心天體值不同。二、萬有引力與重力的關系1．萬有引力定律（1）內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。（2）表達式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G是比例系數(shù)，叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。（3）適用條件：①公式適用于質點間的相互作用。當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點。②質量分布均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的距離。2．萬有引力與重力的關系地球對物體的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。三、星體表面上的重力加速度1.在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。2.在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由，得所以。四、天體質量密度估算1.“自力更生”法(g－R)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式。2.“借助外援”法(T－r)測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和半徑r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天體的質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。1．奧陌陌是人類發(fā)現(xiàn)的第一個來自太陽系之外的星際物體。它于2017年被觀測到。由于其飛行軌跡幾乎垂直于太陽系中行星的軌道平面，天文學家們很快就確定它來自太陽系之外。奧陌陌的飛行軌跡如圖所示，其中N點是奧陌陌飛行軌跡中距離太陽最近的點，P點為地球繞太陽運行軌道上的一點，且N點離太陽的距離比P點離太陽的距離更近。若在太陽系內只考慮太陽引力作用，則下列說法正確的是（）A．奧陌陌從Q點飛向N點的過程中，動能逐漸增大B．在相等時間內，奧陌陌、地球與太陽中心的連線掃過的面積一定相等C．奧陌陌在N點的速度可能小于第三宇宙速度16.7km/sD．奧陌陌在N點的加速度不一定大于地球在P點的加速度【答案】A【詳解】A．奧陌陌從Q點飛向N點的過程中，萬有引力做正功，動能逐漸增大，故A正確；B．根據(jù)開普勒第二定律可知，在同一個軌道上，在相等的時間內行星與太陽的連線掃過的面積相等，故B錯誤；C．奧陌陌是人類發(fā)現(xiàn)的第一個來自太陽系之外的星際物體，故奧陌陌在N點的速度必須等于或大于第三宇宙速度16.7km/s，故C錯誤；D．根據(jù)牛頓第二定律有解得其中M為太陽的質量，r為天體離太陽的距離，可知，奧陌陌在N點的加速度大于地球在P點的加速度，故D錯誤。故選A。2．火星一直被科學家視為人類的第二家園，人類很可能在二十一世紀內成功移民火星。如圖所示，火星的半徑為，甲、乙兩種探測器分別繞火星做勻速圓周運動與橢圓軌道運動，兩種軌道相切于橢圓軌道的近火點A，圓軌道距火星表面的高度為，橢圓軌道的遠火點與近火點A之間的距離為，若甲的運動周期為，則下列說法正確的是（）A．乙的運動周期為B．乙的運動周期為C．甲、乙兩探測器在相同時間內與火星中心連線掃過的面積相等D．乙從飛向的過程中加速度逐漸增太【答案】A【詳解】AB．根據(jù)題意可得，甲的公轉軌道半徑為乙的橢圓運動的半長軸為設乙的運動周期為，由開普勒第三定律綜合解得A正確,B錯誤；C．開普勒第二定律中相同時間內掃過的面積相等是對于同一天體，C錯誤；D．由近火點向遠火點運動，根據(jù)可知其所受引力變小，根據(jù)牛頓第二定律可知其加速度變小，D錯誤。故選A。3．牛頓在建立萬有引力定律的過程中進行了著名的“月地檢驗”。已知月地距離約為地球半徑60倍，若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”是否遵循同樣的規(guī)律，需要驗證（

）A．地球吸引蘋果的力約為地球吸引月球的力的B．地球吸引蘋果的力約為地球吸引月球的力的C．月球公轉的加速度約為蘋果落向地面加速度的D．月球公轉的加速度約為蘋果落向地面加速度的【答案】D【詳解】根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律可得可得已知月地距離約為地球半徑60倍，所以想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”是否遵循同樣的規(guī)律，需要驗證月球公轉的加速度約為蘋果落向地面加速度的。故選D。4．假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極處的大小為，在赤道處的大小為，地球的半徑為，則地球的自轉周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】兩極處有赤道處有聯(lián)立解得故選D。5．2023年，神舟家族太空接力，“奮斗者”號極限深潛，真正實現(xiàn)了“可上九天攬月，可下五洋捉鱉”！已知“奮斗者”號在馬里亞納海溝的坐底深度為，空間站離地面的高度為。假設地球質量分布均勻，半徑為，不考慮其自轉，且質量均勻分布的球殼對殼內物體的引力為零，則深度為處和高度為處的重力加速度之比為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設質量為的物體在馬里亞納海溝底處，有又質量為的物體在空間站上，有解得馬里亞納海溝底處和空間站所在軌道處的重力加速度之比為故選A。6．假設地球是一半徑為，質量分布均勻的球體。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。忽略地球自轉的影響，距離地球球心為處的重力加速度大小為，下列關于關系描述正確的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】設地球的密度為，當時，有可得當時，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，故在深度為的部位，受到地球的萬有引力是半徑等于的球體在其表面產生的萬有引力，則有當后，有故選B。7．2020年5月5日，長征五號B運載火箭在中國文昌航天發(fā)射場成功首飛，將新一代載人飛船試驗船送入太空，若試驗船繞地球做勻速圓周運動，周期為T，離地高度為h，已知地球半徑為R，萬有引力常量為G，則（

）A．試驗船的運行速度為 B．地球的第一宇宙速度為C．地球的質量為 D．地球表面的重力加速度為【答案】B【詳解】A．試驗船的運行速度為故A錯誤；BCD．根據(jù)萬有引力提供向心力可得可得地球的質量為在地球表面有解得地球表面的重力加速度為地球的第一宇宙速度等于表面軌道衛(wèi)星的運行速度，則有可得地球的第一宇宙速度為故B正確，CD錯誤。故選B。8．據(jù)報道，2016年2月18日嫦娥三號著陸器玉兔號成功自主“醒來”，嫦娥一號衛(wèi)星系統(tǒng)總指揮兼總設計師葉培建院士介紹說，自2013年12月14日月面軟著陸以來，中國嫦娥三號月球探測器創(chuàng)造了全世界在月工作最長記錄。假如月球車在月球表面以初速度豎直向上拋出一個小球，經時間t后小球回到出發(fā)點，已知月球的半徑為R，引力常量為G，下列說法正確的是（

）A．月球的第一宇宙速度為B．月球的質量為C．月球表面的重力加速度為D．探測器在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動的繞行周期為【答案】A【詳解】C．根據(jù)豎直上拋運動規(guī)律有解得在月球表面的重力加速度為，C錯誤；B．根據(jù)月球表面重力等于萬有引力可知解得，B錯誤；A．根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力可知由此解得，第一宇宙速度為，A正確；D．繞月球做勻速圓周運動的繞行周期為，D錯誤。故選A。9．2024年3月，航天科技集團相關研究團隊表示，中國計劃2030年前后完成火星采樣返回?；鹦枪D軌道半徑是地球公轉軌道半徑的，火星的半徑為地球半徑的，火星的質量為地球質量的，火星探測器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運動（探測器可視為火星的近地衛(wèi)星），探測器繞火星運行周期為T，已知火星和地球繞太陽公轉的軌道都可近似為圓軌道，地球和火星可看作均勻球體，已知萬有引力常數(shù)為G，則（

）A．火星的公轉周期和地球的公轉周期之比為B．火星的自轉周期和地球的自轉周期之比為C．探測器環(huán)繞火星表面運行速度與環(huán)繞地球表面運行速度之比為D．火星的平均密度為【答案】C【詳解】A．設太陽質量為M，火星、地球質量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2，公轉周期分別為T1、T2，則由萬有引力提供向心力；解得故A錯誤；B．由題意可知，無法比較火星的自轉周期和地球的自轉周期，故B錯誤；C．設火星、地球的半徑分別為R1、R2，探測器質量為m，運行速度分別為v1、v2，則；解得故C正確；D．探測器繞火星表面附近運行時，有解得火星的質量為火星的體積為即火星的平均密度為故D錯誤。故選C。10．假如人類發(fā)現(xiàn)了某星球，人類登上該星球后，進行了如下實驗：在固定的豎直光滑圓軌道內部，一小球恰好能做完整的圓周運動，小球在最高點時的速度為v，軌道半徑為。若已測得該星球的半徑為R，引力常量為G，則該星球的質量為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設小球的質量為m，該星球的質量為M，該星球表面的重力加速度為g，因小球恰好做完整的圓周運動，由牛頓第二定律以及向心力公式可得解得對于該星球表面質量為m′的物體，萬有引力近似等于其重力，即由此可得M＝故選D。11．如圖所示，木星是太陽系內質量和體積最大的行星，木星繞太陽沿橢圓軌道運動，P點為近日點，Q點為遠日點，P點到太陽的距離為距離的四分之一，M、N為軌道短軸的兩個端點，木星運行的周期為T，若只考慮木星和太陽之間的引力作用，下列說法正確的是（

）A．木星從P到Q的加速度越來越小B．木星與太陽連線和地球與太陽連線在相同時間內掃過的面積相等C．若木星的軌道長軸是地球軌道長軸的4倍，則木星繞太陽一圈的周期為4年D．木星經過P、Q兩點的速度大小之比為3:1【答案】AD【詳解】A．根據(jù)萬有引力定律，從近日點到遠日點，萬有引力變小，加速度變小，故A正確；B．由開普勒第二定律可知，木星與太陽連線在相同時間內掃過的面積相等，或地球與太陽連線在相同時間內掃過的面積相等，故B錯誤；C．根據(jù)開普勒第三定律，可解得木星繞太陽一圈的周期為8年，故C錯誤；D．由開普勒第二定律可得，木星經過P、Q兩點時，在很短的時間內,與太陽連線掃過的面積相等其中，、分別為兩點到太陽的距離，由題意可得，，帶入上式解得木星經過P、Q兩點的速度大小之比為3:1，故D正確。故選AD。12．2022年1月22日，我國將一顆失效的北斗二號G2衛(wèi)星從軌道半徑為R1的地球同步軌道上變軌后運行到軌道半徑為R2的“墓地軌道”上，此舉標志著航天器被動移位和太空垃圾處理新方式的成功執(zhí)行。該過程的簡化示意圖如圖所示。已知橢圓形轉移軌道與同步軌道和“墓地軌道”分別相切于P、Q兩點，則北斗二號G2衛(wèi)星（

）A．在轉移軌道上Q點的加速度小于在“墓地軌道”上Q點的加速度B．在轉移軌道上Q點的速度小于在“墓地軌道”上Q點的速度C．在轉移軌道上P點的速度與Q點速度之比為R1∶R2D．沿轉移軌道從P點運動到Q點所用的時間為天【答案】BD【詳解】A．根據(jù)牛頓第二定律有解得可知衛(wèi)星在軌道上離地心的距離相同時，則其所處位置的加速度相同，在轉移軌道上Q點和“墓地軌道”上Q點距地心的距離相同，因此加速度相同，故A錯誤；B．衛(wèi)星在轉移軌道上Q點必須點火加速，使其自身做離心運動才能進入“墓地軌道”軌道，因此，衛(wèi)星在轉移軌道上Q點的速度小于在“墓地軌道”上Q點的速度，故B正確；C．根據(jù)開普勒第二定律可知，物體在同一軌道上環(huán)繞中心天體運行時，在相同時間內與地心連線掃過的面積相等，設衛(wèi)星分別在遠地點Q和在近地點P分別運行極短時間，則有可得故C錯誤；D．根據(jù)幾何關系可得轉移軌道的半長軸根據(jù)開普勒第三定律可得其中同步衛(wèi)星軌道運行周期天解得天從P運動到Q的時間為半個周期為故D正確。故選BD。13．人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，若其線速度的平方與軌道半徑倒數(shù)的圖像如圖中實線所示，該直線斜率為，圖中為地球半徑，則對于地球表面的重力加速度和第一宇宙速度的下列說法正確的是（）

A． B． C． D．【答案】BD【詳解】根據(jù)萬有引力提供向心力得解得由題意對于地球表面解得第一宇宙速度解得故選BD。14．2020年12月8日，中、尼兩國共同宣布珠峰最新高程為8848.86米。若在海拔H處的珠峰上和地面上分別以v1、v2水平拋出一物體均恰好不落回地面，并測得海拔H處的重力加速度為地面上重力加速度的k倍，地球可視為半徑為R、質量均勻的球體，則下列各式正確的是（）A．= B．= C．(）2= D．(）2=k【答案】BC【詳解】AB．在地面上萬有引力等于重力，則有海拔H處有聯(lián)立解得=故B正確，A錯誤；CD．由題意可知、則(）2=故C正確，D錯誤。故選BC。15．假設火星極地處表面的重力加速度為g0，火星赤道處表面的重力加速度為g1，火星的半徑為R。已知物體在火星的引力場中引力勢能是，G為引力常量，M為火星的質量，m為物體的質量，r為兩者質心的距離。某同學有一個大膽的想法，在火星赤道平面沿著火星半徑挖深度為的深井，已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，則下列結論正確的是（）A．火星的第一宇宙速度B．火星的第二宇宙速度C．火星深井底部的重力加速度為D．火星的自轉周期【答案】AC【詳解】A．物體在火星附近繞火星做勻速圓周運動的速度，叫作火星的第一宇宙速度，在火星兩極萬有引力與重力相等，故據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有可得火星的第一宇宙速度故A正確；B．火星的第二宇宙速度是逃離火星束縛的最小發(fā)射速度，若以此發(fā)射速度發(fā)射航天器至離火星無窮遠處，則據(jù)重力做功與重力勢能變化關系有WG=EpR-Ep∞在此過種只有重力做功，根據(jù)動能定理有WG=Ek∞-EkR聯(lián)列兩式可得：航天器的發(fā)射時的動能EkR=Ek∞-EpR+Ep∞由題意可知EP∞=0代入可得發(fā)射時的動能當Ek∞取零時，發(fā)射時的動能有最小值，又據(jù)可以計算得出火星的第二宇宙速度代入可得故B錯誤；C．星球表面的重力加速度等于星球對物體表面的萬有引力，令星球的密度為ρ，則半徑為R的星球質量為據(jù)萬有引力等于重力可得可得星球表面的重力加速度即密度相同的情況下，星球表面的重力加速度與星球的半徑R成正比，故火星深井底部的重力加速度與火星表面的重力加速度之比等于半徑比，即火星深井底部的重力加速度等于火星赤道表面重力加速度的一半，即g′＝g1故C正確；D．火星表面受到的萬有引力等于mg0，在火星赤道，萬有引力=重力+自轉運動的向心力，即由此可解得火星的自轉周期故D錯誤。故選AC。16．已知質量分布均勻的空心球殼對內部任意位置的物體引力為0。P、Q兩個星球的質量分布均勻且自轉角速度相同，它們的重力加速度大小g隨物體到星球中心的距離r變化的圖像如圖所示。關于P、Q星球，下列說法正確的是（）A．質量相同 B．密度相同C．第一宇宙速度大小之比為2:1 D．同步衛(wèi)星距星球表面的高度之比為1:2【答案】BD【詳解】A．由題圖可知，兩星球的重力加速度大小和半徑之比都是1∶2，由可得則兩星球的質量之比故A錯誤；B．由可得故兩星球密度相同，故B正確；C．由可得則兩星球的第一宇宙速度大小之比故C錯誤；D．由可得則兩星球同步衛(wèi)星的軌道半徑之比又因為兩星球的半徑之比為1：2，故同步衛(wèi)星距星球表面的高度之比也為1：2，故D正確。故選BD。17．某行星外圍有一圈厚度為d的發(fā)光物質，簡化為如圖甲所示模型，R為該行星除發(fā)光帶以外的半徑?，F(xiàn)不知發(fā)光帶是該行星的組成部分還是環(huán)繞該行星的衛(wèi)星群，某科學家做了精確觀測后發(fā)現(xiàn)：發(fā)光帶繞行星中心運行的速度與到行星中心的距離r的關系如圖乙所示（圖中所標v0為已知），則下列說法正確的是（）A．發(fā)光帶是該行星的組成部分 B．行星表面的重力加速度C．該行星的質量為 D．該行星的平均密度為【答案】BC【詳解】A．若光帶是該行星的組成部分，則其角速度與行星自轉角速度相同，應有與應成正比，與圖不符，因此該發(fā)光帶不是該行星的組成部分，故A錯誤；B．當時有可得行星表面的重力加速度為故B正確；C．光帶是環(huán)繞該行星的衛(wèi)星群，由萬有引力提供向心力，則有可得該行星的質量為由圖乙知，當時，，則有故C正確；D．該行星的平均密度為故D錯誤。故選BC。18．宇航員飛到一個被稠密氣體包圍的某行星上進行科學探索。他站在該行星表面，從靜止釋放一個質量為m的物體，由于運動時氣體阻力f（阻力與速度有關）的作用，其加速度隨下落位移變化x的關系圖像如圖所示。已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，圖中、為已知量。下列說法正確的是（

）A．該行星的平均密度為B．衛(wèi)星在距該行星表面高R處的圓軌道上運行的周期為C．阻力f和下落位移x的關系式可表示為D．物體下落過程中的最大速度為【答案】ACD【詳解】A．開始下落時的加速度為a0，則該行星的平均密度為選項A正確；B．衛(wèi)星在距該行星表面高R處的圓軌道上運行時可得周期為選項B錯誤；C．由牛頓第二定律由圖像可知開始下落時的加速度為a0，聯(lián)立可得故C正確；D．根據(jù)可知a-x圖像的面積等于，則物體下落過程中的最大速度為故D正確。故選ACD。19．如圖所示一個水平轉盤裝置可繞著中心軸旋轉，轉盤上有一質量為m的物塊放在距離轉軸r處，隨著轉盤一起做勻速圓周運動，已知物塊與轉盤之間的動摩擦因數(shù)為μ。若該裝置在地面上以某一角速度轉動時，物塊恰好發(fā)生滑動。重力加速度為g，萬有引力常數(shù)為G。請用題目中所給的字母表示以下物理量（最大靜摩擦等于滑動摩擦力）。（1）轉盤裝置轉動的角速度大??；（2）若把該裝置放到另一個半徑為R的星球上時，物塊也恰好發(fā)生滑動時，轉盤轉動的角速度是地球上的倍，求該星球的質量M。【答案】（1）；（2）【詳解】（1）若該裝置在地面上以某一角速度轉動時，物塊恰好發(fā)生滑動，則解得（2）當把該裝置放到另一個半徑為R的星球上時，物塊也恰好發(fā)生滑動時，有根據(jù)萬有引力與重力的關系有解得20．神舟飛船在預定軌道上飛行時，每繞地球一圈需要的時間為T，每圈飛行的路程為L。已知地球的半徑為R，引力常量為G。（1）請用以上物理量表示地球的質量。（2）已知，，，。如果飛船沿赤道平面自西向東飛行，太陽直射赤道，如圖所示，請計算航天員每天能看到日出日落的次數(shù)及飛船每轉一圈航天員看不見太陽的時間（結果與題中單位統(tǒng)一，保留到整數(shù)）?！敬鸢浮浚?）；（2）16次，36min【詳解】（1）由可得神舟飛船的軌道半徑為設飛船的質量為m，飛船繞地球做圓周運動，由萬有引力提供向心力有聯(lián)立解得地球的質量（2）設航天員一天能看到日出日落的次數(shù)為n，則飛船轉到地球的背影區(qū)，航天員就看不到太陽了，如圖所示由幾何關系可知解得則航天員每轉一圈，看不到太陽的時間為21．如圖所示，火箭內的平臺上放有測試儀器A，質量為m，