七年級數(shù)學(xué)上冊總復(fù)習(xí)知識點(diǎn)

系統(tǒng)復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考

七年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)

第一章有理數(shù)

1.1正數(shù)與負(fù)數(shù)

①正數(shù)：大于0的數(shù)叫正數(shù)。(根據(jù)需要，有時在正數(shù)前面也加上“+”)

②負(fù)數(shù)：在以前學(xué)過的0以外的數(shù)前面加上負(fù)號的數(shù)叫負(fù)數(shù)。與正數(shù)具有

相反的意義。

③。既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。。是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，是唯一的中性數(shù)。

注意：搞清相反意義的量：南北；東西；上下；左右；上升下降；高低；增長減

少等

1.2有理數(shù)

1.有理數(shù)

(1)整數(shù):正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；

(2)分?jǐn)?shù);正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；

(3)有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

2.數(shù)軸

(1)定義：通常用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫數(shù)軸；

(2)數(shù)軸三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度；

(3)原點(diǎn)：在直線上任取一個點(diǎn)表示數(shù)0,這個點(diǎn)叫做原點(diǎn)；

(4)數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)的關(guān)系：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來,

但數(shù)軸上的點(diǎn)，不都是表示有理數(shù)。

3.相反數(shù)：

只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。（例：2的相反數(shù)是-2；0的相反數(shù)是0）

4.絕對值：

（1）數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。從幾何意

義上講，數(shù)的絕對值是兩點(diǎn)間的距離。

（2）一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對

值是0。兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

1.3有理數(shù)的加減法

①有理數(shù)加法法則：

1.同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。（同號取同，再相加）

2.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕

對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0。（異號取大，再相減）

3、一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

②有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。

1.4有理數(shù)的乘除法

①有理數(shù)乘法法則：

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；

任何數(shù)同0相乘，都得0;

乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

乘法交換律/結(jié)合律/分配律

②有理數(shù)除法法則：

除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)；

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；

0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

1.5有理數(shù)的乘方

1.求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫乘方，乘方的結(jié)果叫幕。在a的n次方中，a

叫做底數(shù),n叫做指數(shù)。

負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)。正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，0的任

何次幕都是0o

2.有理數(shù)的混合運(yùn)算法則：

先乘方，再乘除，最后加減；同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號，先做括號內(nèi)

的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行。

3.科學(xué)記數(shù)法：

把一個大于10的數(shù)表示成aX10的n次方的形式，使用的就是科學(xué)

記數(shù)法，注意a的范圍為iWa<10。

4.近似數(shù)四舍五入法

第二章整式的加減

2.1整式

1.單項式：由數(shù)字和字母乘積組成的式子。

系數(shù)，單項式的次數(shù).單項式指的是數(shù)或字母的積的代數(shù)式.

單獨(dú)一個數(shù)或一個字母也是單項式.

因此，判斷代數(shù)式是否是單項式，關(guān)鍵要看代數(shù)式中數(shù)與字母是否是乘積關(guān)系,

即分母中不含有字母，若式子中含有加、減運(yùn)算關(guān)系，其也不是單項式.

2.單項式的系數(shù)：是指單項式中的數(shù)字因數(shù)；

3、單項數(shù)的次數(shù)：是指單項式中所有字母的指數(shù)的和.

4、多項式：幾個單項式的和。判斷代數(shù)式是否是多項式，關(guān)鍵要看代數(shù)式中的

每一項是否是單項式.每個單項式稱項，常數(shù)項，多項式的次數(shù)就是多項式中次

數(shù)最高的次數(shù)。多項式的次數(shù)是指多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，這里是次數(shù)最

高項，其次數(shù)是6；多項式的項是指在多項式中，每一個單項式.特別注意多項

式的項包括它前面的性質(zhì)符號.

5.它們都是用字母表示數(shù)或列式表示數(shù)量關(guān)系。注意單項式和多項式的每一項都

包括它前面的符號。

6.單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

2.2整式的加減

1.同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項。與字母前面的系數(shù)

（W0）無關(guān)。

2.同類項必須同時滿足兩個條件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的次數(shù)相

同，二者缺一不可.同類項與系數(shù)大小、字母的排列順序無關(guān)

3、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項?？梢赃\(yùn)用交換律，結(jié)合律和

分配律。

4.合并同類項法則：

合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變；

5.去括號法則：去括號，看符號：正變負(fù)不變

6、整式加減的一般步驟：

一去、二找、三合并

（1）如果遇到括號按去括號法則先去括號.（2）結(jié)合同類項.（3）合并同類

項

第三章一元一次方程

3.1一元一次方程

L方程是含有未知數(shù)的等式。

2.方程都只含有一個未知數(shù)（元）x,未知數(shù)x的指數(shù)都是1（次），這樣的方程

叫做一元一次方程。

注意：判斷一個方程是否是一元一次方程要抓住三點(diǎn)：

1）未知數(shù)所在的式子是整式（方程是整式方程）；

2）化簡后方程中只含有一個未知數(shù)；

3）經(jīng)整理后方程中未知數(shù)的次數(shù)是1.

3.解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程

的解。

4.等式的性質(zhì)：

1）等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；

2）等式兩邊同時乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

注意：運(yùn)用性質(zhì)時，一定要注意等號兩邊都要同時變；運(yùn)用性質(zhì)2時，一定要注

意。這個數(shù).

3.2、3.3解一元一次方程

①在實(shí)際解方程的過程中，以下步驟不一定完全用上，有些步驟還需重復(fù)使用.

因此在解方程時還要注意以下幾點(diǎn)：

去分母：

②在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘不含分母的項；分子是一

個整體，去分母后應(yīng)加上括號；去分母與分母化整是兩個概念，不能混淆；

去括號：

③遵從先去小括號，再去中括號，最后去大括號；不要漏乘括號的項；不要弄錯

符號；

④移項

⑤把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊（移項要變

符號）移項要變號；

合并同類項：

不要丟項，不能像計算或化簡題那樣寫能連等的形式；

⑤系數(shù)化為1:

字母及其指數(shù)不變，系數(shù)化成1,在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,得到方程

的解。不要分子、分母搞顛倒。

3.4實(shí)際問題與一元一次方程

一.概念梳理

①⑴列一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：

審題，特別注意關(guān)鍵的字和詞的意義，弄清相關(guān)數(shù)量關(guān)系；

②設(shè)出未知數(shù)（注意單位）；

③根據(jù)相等關(guān)系列出方程；

④解這個方程；

⑤檢驗并寫出答案（包括單位名稱）。

⑵一些固定模型中的等量關(guān)系及典型例題參照一元一次方程應(yīng)用題專練學(xué)案。

二、思想方法（本單元常用到的數(shù)學(xué)思想方法小結(jié)）

⑴建模思想：通過對實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系的分析，抽象成數(shù)學(xué)模型，建立一元

一次方程的思想.

⑵方程思想：用方程解決實(shí)際問題的思想就是方程思想.

⑶化歸思想：

解一元一次方程的過程，實(shí)質(zhì)上就是利用去分母、去括號、移項、合并同類項、

未知數(shù)的系數(shù)化為1等各種同解變形，不斷地用新的更簡單

的方程來代替原來的方程，最后逐步把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形

式.體現(xiàn)了化“未知”為“已知”的化歸思想.

⑷數(shù)形結(jié)合思想：

在列方程解決問題時，借助于線段示意圖和圖表等來分析數(shù)量關(guān)系，使問題中

的數(shù)量關(guān)系很直觀地展示出來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.

⑸分類思想：

在解含字母系數(shù)的方程和含絕對值符號的方程過程中往往需要分類討論，在解

有關(guān)方案設(shè)計的實(shí)際問題的過程中往往也要注意分類思想在過程中的運(yùn)用.

三、數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)

1.解一元一次方程時，要明確每一步過程都作什么變形，應(yīng)該注意什么問題.

2.尋找實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系時，要善于借助直觀分析法，如表格法，直線分析

法和圖示分析法等.

3.列方程解應(yīng)用題的檢驗包括兩個方面：

⑴檢驗求得的結(jié)果是不是方程的解；

⑵是要判斷方程的解是否符合題目中的實(shí)際意義.

四、一元一次方程典型例題

例1.已知方程2xm—3+3x=5是一元一次方程，則m=.

解：由一元一次方程的定義可知m—3=1,解得m=4.或m—3=0,解得m=3

所以m=4或m=3

警示：很多同學(xué)做到這種題型時就想到指數(shù)是1,從而寫成m=l,這里一定

要注意x的指數(shù)是(m—3).

例2.已知是方程ax2—(2a—3)x+5=0的解，求a的值.

解：?；x=-2是方程ax2—(2a—3)x+5=0的解

.,.將x=—2代入方程，

得a-(-2)2-(2a-3)?(-2)+5=0

化簡，得4a+4a—6+5=0

a=L

8

點(diǎn)撥：要想解決這道題目，應(yīng)該從方程的解的定義入手，方程的解就是使方

程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值，這樣把x=-2代入方程，然后再解關(guān)于a的一

元一次方程就可以了.

例3.解方程2(x+1)—3(4x—3)=9(1—x).

解：去括號，得2x+2—12x4-9=9—9x,

移項，得2+9—9=12x—2x—9x.

合并同類項，得2=x,即x=2.

點(diǎn)撥：此題的一般解法是去括號后將所有的未知項移到方程的左邊，已知項

移到方程的右邊，其實(shí)，我們在去括號后發(fā)現(xiàn)所有的未知項移到方程的左邊合

并同類項后系數(shù)不為正，為了減少計算的難度，我們可以根據(jù)等式的對稱性，

把所有的未知項移到右邊去，已知項移到方程的左邊，最后再寫成x=a的形式.

例4.解方程.

解析：方程兩邊乘以8,再移項合并同類項，得

同樣，方程兩邊乘以6,再移項合并同類項，得

方程兩邊乘以4,再移項合并同類項，得

方程兩邊乘以2,再移項合并同類項，得x=3.

說明：解方程時，遇到多重括號，一般的方法是從里往外或從外往里運(yùn)用乘

法的分配律逐層去特號，而本題最簡捷的方法卻不是這樣，是通過方程兩邊分

別乘以一個數(shù)，達(dá)到去分母和去括號的目的。

例5.解方程.

解析：方程可以化為

整理，得

去括號移項合并同類項，得一7x=ll,所以x=.

說明：一見到此方程，許多同學(xué)立即想到老師介紹的方法，那就是把分母化

成整數(shù)，即各分?jǐn)?shù)分子分母都乘以10,再設(shè)法去分母，其實(shí)，仔細(xì)觀察這個方程,

我們可以將分母化成整數(shù)與去分母兩步一步到位，第一個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以

2,第二個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以5,第三個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以10.

例6.解方程

解析：原方程可化為

方程即為一+—+—+—=i.

23344556

所以有

26

再來解之，就能很快得到答案：x=3.

知識鏈接：此題如報銷率

果直接去分母，或者通(%)

分，數(shù)字較大，運(yùn)算煩

瑣，發(fā)現(xiàn)分母6=2X3,

12=3X4,20=4X5,

30=5X6,聯(lián)系到我們

小學(xué)曾做過這樣的分

式化簡題，故采用拆項

法解之比較簡便.

例7.參加某保險公

司的醫(yī)療保險，住院治

療的病人可享受分段

報銷，?保險公司制度

的報銷細(xì)則如下表，某

人今年住院治療后得

到保險公司報銷的金

額是1260元，那么此

人的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)是

()

住院醫(yī)療費(fèi)(元)

不超過500的部分0

超過500―1000的60

部分

超過1000―300080

的部分

.......???

A.2600元B.2200元C2575元D.2525元

解析：設(shè)此人的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)為X元，根據(jù)題意列方程，得

500X0+500X60%+(x—500—500)X80%=1260.

解之，得x=2200,即此人的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)是2200元.故選B.

點(diǎn)撥：解答本題首先要弄清題意，讀懂圖表，從中應(yīng)理解醫(yī)療費(fèi)是分段計算

累加求和而得的.因為500X60%<1260<2000X80%,所以可知判斷此人的醫(yī)

療費(fèi)用應(yīng)按第一檔至第三檔累加計算.

例8.我市某縣城為鼓勵居民節(jié)約用水，對自來水用戶按分段計費(fèi)方式收取

水費(fèi)：若每月用水不超過7立方米，則按每立方米1元收費(fèi)；若每月用水超過7

立方米，則超過部分按每立方米2元收費(fèi).如果某戶居民今年5月繳納了17元水

費(fèi)，那么這戶居民今年5月的用水量為立方米.

解析：由于1X7V17,所以該戶居民今年5月的用水量超標(biāo).

設(shè)這戶居民5月的用水量為x立方米，可得方程:7Xl+2(x—7)=17,解

得x=12.

所以，這戶居民5月的用水量為12立方米.

例9.足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分,

一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽了8場，輸了1場，得17

分，請問：

⑴前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？

⑵這支球隊打滿14場比賽，最高能得多少分？

⑶通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽，得分不低于

29分，就可以達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，請你分析一下，在后面的6場比賽中，這支球隊

至少要勝幾場，才能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)？

解析：⑴設(shè)這個球隊勝了x場，則平了(8-1-x)場，根據(jù)題意,

得：

3x+(8-1-x)=17.

解得x=5.

所以，前8場比賽中，這個球隊共勝了5場.

⑵打滿14場比賽最高能得17+(14-8)義3=35分.

⑶由題意知，以后的6場比賽中，只要得分不低于12分即可.

???勝不少于4場，一定能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).而勝了3場，平3場，正好達(dá)到預(yù)期

目標(biāo).所以在以后的比賽中，這個球隊至少要勝3場.

例10.國家為了鼓勵青少年成才，特別是貧困家庭的孩子能上得起大學(xué)，設(shè)

置了教育儲蓄，其優(yōu)惠在于，目前暫不征收利息稅.為了準(zhǔn)備小雷5年后上大學(xué)

的學(xué)費(fèi)6000元，他的父母現(xiàn)在就參加了教育儲蓄，小雷和他父母討論了以下兩

種方案：

⑴先存一個2年期,2年后將本息和再轉(zhuǎn)存一個3年期；

⑵直接存入一個5年期.

你認(rèn)為以上兩種方案，哪種開始存入的本金較少？

[教育儲蓄(整存整取)年利率一年:2.25%；二年:2.27%；三年:3.24%；五

年:3.60%.]

解析：了解儲蓄的有關(guān)知識，掌握利息的計算方法，是解決這類問題的關(guān)鍵,

對于此題，我們可以設(shè)小雷父母開始存入x元.然后分別計算兩種方案哪種開始

存入的本金較少.

⑴2年后，本息和為x(1+2.70%X2)=L054x；

再存3年后,本息和要達(dá)到6000元,則1.054x(1+3.24%X3)=6000.

解得x^5188.

⑵按第二種方案，可得方程x(l+3.60%X5)=6000.

解得x^5085.

所以，按他們討論的第二種方案，開始存入的本金比較少.

例11.揚(yáng)子江藥業(yè)集團(tuán)生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側(cè)面展開圖如圖所示.如果長

方體盒子的長比寬多4,求這種藥品包裝盒的體積.

分析：從展開圖上的數(shù)據(jù)可以看出，展開圖中兩高與兩寬和為14cm,所以

一個寬與一個高的和為7cm,如果設(shè)這種藥品包裝盒的寬為xcm,則高為(7—x)

cm,因為長比寬多4cm,所以長為(x+4)cm,根據(jù)展開圖可知一個長與兩個高

的和為13cm,由此可列出方程.

解：設(shè)這種藥品包裝盒的寬為xcm,則高為(7—x)cm,長為(x+4)cm.

根據(jù)題意，得(x+4)+2(7—x)=13,

解得x=5,所以7—x=2,x+4=9.

故長為9cm,寬為5cm,高為2cm.

所以這種藥品包裝盒的體積為：9X5X2=90(cm3).

例12.某石油進(jìn)口國這個月的石油進(jìn)口量比上個月減少了5%,由于國

際油價上漲，這個月進(jìn)口石油的費(fèi)用反而比上個月增加了14%.求這個月的石油

價格相對上個月的增長率.

解：設(shè)這個月的石油價格相對上個月的增長率為x.根據(jù)題意得

(1+x)(1-5%)=1+14%

解得x=20%

答：這個月的石油價格相對上個月的增長率為20%.

點(diǎn)評：本題是一道增長率的應(yīng)用題.本月的進(jìn)口石油的費(fèi)用等于上個月的費(fèi)

用加上增加的費(fèi)用，也就是本月的石油進(jìn)口量乘以本月的價格.設(shè)出未知數(shù)，分

別表示出每一個數(shù)量，列出方程進(jìn)行求解.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找對等量關(guān)

系，然用代數(shù)式表示出其中的量，列方程解答.

例13.某市參加省初中數(shù)學(xué)競賽的選手平均分?jǐn)?shù)為78分，其中參賽的男選手比

女選手多50%,而女選手的平均分比男選手的平均分?jǐn)?shù)高10%,那么女選手的

平均分?jǐn)?shù)為.

解析：總平均分?jǐn)?shù)和參賽選手的人數(shù)及其得分有關(guān).因此，必須增設(shè)男選手或女

選手的人數(shù)為輔助未知數(shù).不妨設(shè)男選手的平均分?jǐn)?shù)為X分，女選手的人數(shù)為a

人，那么女選手的平均分?jǐn)?shù)為Llx分，男選手的人數(shù)為1.5a人，從而可列出方

程,解得x=75,所以Llx=82.5.即女選手的平均分?jǐn)?shù)為82.5分.

第四章幾何圖形初步

4.1幾何圖形

1.幾何圖形：從形形色色的物體外形中得到的圖形叫做幾何圖形。

2.立體圖形：這些幾何圖形的各部分不都在同一個平面內(nèi)。

3、平面圖形：這些幾何圖形的各部分都在同一個平面內(nèi)。

4、雖然立體圖形與平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它們是互相聯(lián)系的。

立體圖形中某些部分是平面圖形。

5.三視圖：從左面看，從正面看，從上面看

6.展開圖：

有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成

平面圖形。這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖。

7、⑴幾何體簡稱體；包圍著體的是面；面面相交形成線；線線相交形成點(diǎn)；

⑵點(diǎn)無大小，線、面有曲直；

⑶幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的；

⑷點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體；

⑸點(diǎn)：是組成幾何圖形的基本元素。

4.2直線、射線、線段

1.直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。即：兩點(diǎn)確定一條直線。

2.當(dāng)兩條不同的直線有一個公共點(diǎn)時，我們就稱這兩條直線相交，這個公共點(diǎn)叫

做它們的交點(diǎn)。

3.把一條線段分成相等的兩條線段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)。

4、線段公理：兩點(diǎn)的所有連線中，線段做短（兩點(diǎn)之間，線段最短）。

5.連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離。

6.直線的表示方法：如圖的直線可記作直線AB或記作直線