江蘇徐州2024-2025學年高三年級上冊8月期初考試數(shù)學試題

2024?2025學年度第一學期高三年級期初抽測

數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫

在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右

上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A=8小及=l°g?+l）（2-x）},則川5:（）

A.{x|0<x<2）B,{x|0<x<2}C.{0,1}D.{0,1,21

2.已知非零實數(shù)，，A滿足。>b,則下列不等式中正確的是（）

A.—<7-B.a3>b3

ab

71CA

C.b-a+-------<-2D.3a<3b

b-a

第1頁/共5頁

4.已知函數(shù)/（x）的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當玉<%<1時，

[/（々）_/（工1）]（工2_%）〉°恒成立，設/（10§23）>C=則"’b，。的大

小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

5.已知函數(shù)〃力=卜+尸一siYx,則“菁>「是“f（芯）>/（“）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

e%?]

6.函數(shù)〃x）=一',若/（。2+1）<〃—10。）一/（5）,則實數(shù)〃的取值范圍是（）

1ILX,1

A.{-1}B.（-co,-l]

C.[-l,+oo）

7.已知函數(shù)"X）的定義域為R,且滿足/（x）+/（y）=/（x+y）—2^+2,/（l）=2,則下列結(jié)論正確的

是（）

A./（4）=12B.方程y（x）=x有解

C./+是偶函數(shù)是偶函數(shù)

8.已知函數(shù)/（x）的定義域為（0,+功，且（x+y）〃x+y）=M/（x）〃y）,〃l）=e,記

?=/（1]^=/（2）,C=/（3）,則（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

第項/共5頁

9.下列命題正確的是()

5,

A.命題“Vx〉l,X?—無>0"的否定是'勺％V1,Xg—x0<0；

B.如果A是B的必要不充分條件，B是C的充分必要條件，。是C的充分不必要條件，那么A是。的必

要不充分條件

C.函數(shù)/(%)=。必+%+1的圖象恒在g(x)=X2+ax的圖象上方，貝i]a的范圍是(1,5)

D.已知4,1,9，。2，。2，。2均不為零，不等式不等式+4》+。1〉0和+°2%+。2〉。的解集分別為

a.b,c.

M和N,則“二=皆=’”是“M=N”成立的既不充分也不必要條件

%打。2

10.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,函數(shù)己(2x+2)為奇函數(shù),F(x-l)為偶函數(shù),g(x)為奇

函數(shù)，g(x)=g(4-尤)，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的一個周期是6

B.函數(shù)g(x)的一個周期是8

C.若"0)=2,則〃18)+g(68)=-2

D,若當0VxV2時,g(x)=ln(x+l),則當104xW12時，g(%)=ln(13-K)

11.已知事是函數(shù)“X)=/+如+"(根<0)的極值點，若/(9”/(%)(玉0》2)，則下列結(jié)論正確

的是()

A.y(x)的對稱中心為(o,〃)B./(-%；)>/(%1)

C,2%+%2=。D.再+%2〉0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a,6為實數(shù)，若不等式12ax2+(4a+Z?)x+4a+@<2|x+l|對任意xe恒成立，貝!]

3。+。的最大值是.

13.已知函數(shù)/(x)=|log2x|,g(x)=；x,若對任意xe[a,+e),總存在兩個/e；,4,使得

g(x)-〃Xo)=l，則實數(shù)”的取值范圍是.

14.若定義在A上的函數(shù)和定義在2上的函數(shù)g(x),對任意的X]CA,存在龍2^3,使得

第3頁/共5頁

〃xj+g(x2)=f。為常數(shù))，則稱/(X)與g(x)具有關(guān)系P。).已知函數(shù)/(x)=2cos[2x+Wj

兀2兀

(xe---),g(x)=cos2x-zucosx+5(xeR),且/(x)與g(x)具有關(guān)系尸⑶，則根的取

值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(X)="1%?+(2o-l)x-21nx,oeR.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)對于八?1同,%€[2,+8),使得〃工)之匕，求實數(shù)a的取值范圍.

16.設函數(shù)f(x)=k/—尸(a>0且，awl,keR),若〃x)是定義在R上的奇函數(shù)且/⑴=萬.

(1)求左和a的值；

(2)判斷其單調(diào)性(無需證明)，并求關(guān)于f的不等式/(2，-1)</,2一4)成立時，實數(shù)，的取值范圍；

(3)函數(shù)g(x)=/+a-2"—”(無)，xe[l,2],求g(x)的值域.

17.已知函數(shù)=?回，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

ax

(1)討論了(X)的單調(diào)性；

(2)若方程〃x)=l有兩個不同的根%

⑴求。的取值范圍；

(ii)證明：才+考>2.

18.已知函數(shù)/(X)=ln(x+l).

(1)討論函數(shù)R(x)=R)的單調(diào)性；

⑵設函數(shù)g(x)=(x+l)/R，+.

(i)求g⑴-g(-2)的值;

(ii)證明：存在實數(shù)冽，使得曲線y=g(x)關(guān)于直線x=，〃對稱.

第4頁/共5頁

19.已知函數(shù)y=〃x）,其中〃x）=g%3—日2,左eR.若點A在函數(shù)y=〃x）的圖像上，且經(jīng)過點A

的切線與函數(shù)y=/（x）圖像的另一個交點為點B,則稱點B為點A的一個“上位點”，現(xiàn)有函數(shù)_y=/（X）圖

像上的點列M2,M”，…，使得對任意正整數(shù)“，點都是點的一個“上位點”.

（1）若左=0,請判斷原點。是否存在“上位點”，并說明理由；

（2）若點"1的坐標為（3左,0）,請分別求出點〃2、的坐標；

（3）若的坐標為（3,0）,記點又“到直線丁=機的距離為4.問是否存在實數(shù)冽和正整數(shù)T,使得無

窮數(shù)列斗、dT+x..../+,…嚴格減？若存在，求出實數(shù)加的所有可能值；若不存在，請說明理由.

第5頁/共5頁

2024?2025學年度第一學期高三年級期初抽測

數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫

在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右

上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A=8小及=l°g《+l）（2-初，則川5=（）

A.{x|0<%<21B.1.r|0<x<2}C.{0,1}D.{0,1,21

【答案】C

【解析】

【分析】對于集合A,先求出定義域，再求出y=14—的范圍,結(jié)合yeN,得到集合A；對于集合8,

令真數(shù)大于0,求出x得范圍，然后求集合A和集合8的交集即可.

【詳解】對于集合A,令4—必之。，解得—2<X<2,

所以0<4-％2<4，所以0Vy=W2,

又因為yeN,所以A={0,l,2}；

對于集合8,（x+l）（2-x）>0,解得一1<%<2,

所以8={》|—1<%<2},

故an8={0』}.

故選：C

第1頁/共23頁

【點睛】本題主要考查求解函數(shù)的定義域和值域，以及集合的基本運算，注意求解值域時要優(yōu)先求解函數(shù)

的定義域，屬于基礎題.

2.已知非零實數(shù)）滿足。>6,則下列不等式中正確的是（）

A.—<yB.a3>b3

ab

C.b-a+-------<-2D.3a<3*

b-a

【答案】B

【解析】

【分析】取特值可判斷A和C,由函數(shù)的單調(diào)性可判斷B和D.

【詳解】對于選項A：取。=2,b=-1,則工〉工，故A錯誤；

ab

對于選項B：因為f（x）=d在R上單調(diào)遞增，所以當。>8時，/>戶，故B正確;

對于選項C：取1=2,b-\,則b-ad---=-2,故C錯誤；

b-a

對于選項D：因為g（x）=3"在R上單調(diào)遞增，所以當a>6時，3“〉3"，故D錯誤.

故選：B.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)“X）的定義域7（；）=。，以及Xff時，〃x）>0且-結(jié)合

選項，即可求解.

第2頁/共23頁

【詳解】由函數(shù)/(X)=』(2XT),可得函數(shù)的定義域為(—J)。。+8),且/(；)=0,

X1一

故排除B,C,當xf-8時，〃x)>0且0,排除A.

故選：D.

4.已知函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當藥<%<1時，

[/(%2)_/(藥)](々_%)〉°恒成立，設a==/(lo§23)>c=/1|J，則。，b，c的大

小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】C

【解析】

【分析】先結(jié)合條件判斷函數(shù)f(x)的對稱性質(zhì)和單調(diào)性，再分別界定三個自變量的值或者范圍，利用函數(shù)

對稱性和單調(diào)性即得.

【詳解】依題可知函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線X=1對稱，且在區(qū)間(-8,1)上單調(diào)遞增，則在區(qū)間(L+8)上

單調(diào)遞減.

因g=ln蹲<ln2<l,則|<log23<2,故/'(2)>/(g)>/(log23),即a>c>b.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵在于，得知了函數(shù)在(1,+8)上的單調(diào)性之后，如何判斷三個自變量的

313

大小范圍，考慮到三個都是大于1的，且有一個是一，故對于log,3和——，就必然先考慮它們與一的大

2m22

小，而這需要利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到.

5.已知函數(shù)=-sii?%,則“國>國”是“〃芯)>/(%2)”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先推導函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)充分必要條件的規(guī)定進行判斷即得.

【詳解】易知函數(shù)“X)的定義域為R.由/(x)=e"+ef-sidx可得〃一尤)=/(力，

第3頁/共23頁

所以函數(shù)“X)是偶函數(shù).易得r(x)=e"一尸一sin2x,令g(x)=f1x),

則g'(x)=+e-r-2cos2x>2-2cos2x>0,當且僅當x=Q時取等號，

所以/'(x)是增函數(shù)，又以(0)=0,故當x>0時，/'(x)〉0,即在(0,+")上單調(diào)遞增.

由上分析知,當玉>岡上。時，/(為)>/(民|)，因/(|x|)=/(x)，

故當芯>同時，/(%)>〃%2)，即“%>卜2卜是'/(%)>>(%)”的充分條件;

當“玉)>/(%2)時,/(忖|)〉/(民|)，可得|再|(zhì)>|々|,所以七〉同或％<T%|,

即“玉>網(wǎng)”不是."(再)>/(修)”的必要條件.

故選：A.

6.函數(shù)〃x)=F—4，x<\若/(a2+ib〃_i0a)—“5),則實數(shù)”的取值范圍是()

lux,x>1

A.{—1}B.(-8,-1]

C.[-l,+oo)D.

【答案】A

【解析】

【分析】原不等式變形為/[5(/+1)]三/(_10。)，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.

【詳解】當x<l時，/(x)=e"+x—4,因為y=e、y=x—4在(—%,1)上單調(diào)遞增，此時〃x)單調(diào)遞

增，

當時，易知/(x)=lnx單調(diào)遞增，且當x=l時，e1+l-4=e-3<0=lnb

則/(%)在R上單調(diào)遞增，

因為片+121，則/(a2+l)+/(5)=ln(a2+i)+in5=ln5(a2+l)=/[5(a2+l)],

所以由/(a2+l)W〃-10a)—"5)得/[5(a2+i)]v〃_ioa),

所以5(/+l)v_10a,解得a=_i.

故選：A.

7.已知函數(shù)/a)的定義域為R,且滿足/(》)+/(丁)=/(%+y)一29+2,/(1)=2,則下列結(jié)論正確的

第4頁/共23頁

A.F(4)=12B.方程y(x)=x有解

是偶函數(shù)D.f是偶函數(shù)

【答案】c

【解析】

【分析】由已知利用賦值法與等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性及方程解的存在條件檢驗各選項即

可判斷.

【詳解】對于A,因為函數(shù)"X)的定義域為R,且滿足/(x)+/(y)=/(x+y)—2盯+2,/(1)=2,

取x=y=l,得/(1)+/(1)=/(2)—2+2,則/(2)=4,

取x=y=2,得/(2)+/(2)=/(4)—8+2,則/(4)=14,故A錯誤；

對于B,取y=l,得/(x)+/(l)=/(x+l)—2x+2,貝U/(x+l)—/(x)=2x,

所以于(X)—f(x-1)=2(尤-1)-f(x-2)=2(x-2),-,/(2)-/(I)=2,

以上各式相加得了(x)—/(I)=[2(D；2].(X—1)=%,

所以/(x)=x2-x+2(xeZ),

令/(x)=x2-x+2=x,得X2一2%+2=0，此方程無解，故B錯誤.

對于CD,由B知/(x)=必一x+2,

所以/+=+_1x+g]+2=x2+：是偶函數(shù)，

—=—g]—[x—g]+2=d—2x+：不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用賦值法得到/(x+D-/(x)=2x,再利用等差數(shù)列數(shù)列的求

和公式得至x+2,從而得解.

8.已知函數(shù)/(x)的定義域為(0,+功，且(x+y)"x+y)=R(x)F(y),〃l)=e,記

第5頁/共23頁

?=/^p=/（2）,c=/（3）,則（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/（X）滿足的表達式以及/（I）=e,利用賦值法即可計算出仇。的大小.

【詳解】由（x+丁）〃兀+>0=沖/'（力1/3"（1）=6可得,

1|AiA

令冗=y=一,代入可得/。）=K=e

2

令x=y=l,代入可得2〃2）=/^l）=e2,即萬二/⑵二三,

23

令x=l,y=2,代入可得3/（3）=2/（l）/（2）=2ex]=e3,即c=/（3）=]；

由e。2.71828…可得±2八<J<J,

23

顯然可得a<6<c.

故選：A

【點睛】方法點睛：研究抽象函數(shù)性質(zhì)時，可根據(jù)滿足的關(guān)系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函

數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進而實現(xiàn)問題求解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是（）

A.命題“Vx〉l,x?-x〉0”的否定是W1,Xg—x0<0',；

B.如果A是B的必要不充分條件，B是C的充分必要條件，。是C的充分不必要條件，那么A是。的必

要不充分條件

C.函數(shù)“力=6+%+1的圖象恒在8（%）=必+利的圖象上方，貝i|a的范圍是（1,5）

D.已知。1，4，。1，出,62，。2均不為零，不等式不等式+4》+。1〉0和。2工2+4%+。2〉。的解集分別為

第6頁/共23頁

a,b,3

M和N,則“二=廣=’”是=N”成立的既不充分也不必要條件

a,b2c2

【答案】BD

【解析】

【分析】借助全稱命題的否定的定義可得A；借助充分條件與必要條件的關(guān)系推導可得B；借助作差法

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得C；結(jié)合充分條件與必要條件的定義，舉出相應反例可得D.

【詳解】對A：命題“Vx〉l,/一工〉0”的否定是“川〉1，焉一/<0"，故A錯誤；

對B：由A是2的必要不充分條件，3是C的充分必要條件，

可得A是C的必要不充分條件，由。是C的充分不必要條件，

則A是。的必要不充分條件，故B正確；

對C：由題意可得/(x)-g(x)=+x+1-x2-ax>0恒成立，

即(。一1)/+(1—a)x+l〉O恒成立，

則當a=1時，有1>0恒成立，符合要求，

當a>l時，△=—4(a-1)=(a<0,解得ae(l,5),

當a<1時，(a—+(1—a)x+l>0不恒成立，故舍去，

綜上所述，a的范圍是［L5),故C錯誤；

對D：若“幺L=yi=fL<0"，則“M=N”不成立，

%b2c2

abG

若"M=N=0",貝廣'=皆=’"不恒成立，

a2b2c2

a.hG

故"二=皆=，”是=N”成立的既不充分也不必要條件，故D正確.

c

a2%2

故選：BD.

10.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,函數(shù)〃2x+2)為奇函數(shù)，〃尤-1)為偶函數(shù)，g(x)為奇

函數(shù)，g(x)=g(4-力，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的一個周期是6

B.函數(shù)g(x)的一個周期是8

第7頁/共23頁

c.若/(o)=2,則/(18)+g(68)=—2

D.若當0<x<2時，g(x)=ln(尤+1),則當10VxW12時，g(x)=ln(13-x)

【答案】BCD

【解析】

【分析】選項A,根據(jù)條件得到/(T)=—/(f+4),/(-%)=/(%-2),即可求解；選項B,根據(jù)條件

得到g(x)=-g(x+4)=g(x+8),即可求解；選項C,利用選項A和B,可得

/(18)+g(68)=/(6)+g(4),再求出/(6),g(4),即可求解；選項D,利用選項C中結(jié)果，結(jié)合條件

得至Ug(x)=g(x-8)=g(4—(x—8))=g(12—x),即可求解.

【詳解】對于選項A,因為〃2x+2)為奇函數(shù)，所以/(-2x+2)=-/(2x+2),

令t=2x,得到〃2T)=__/?+2),

即有/(T)=-〃/+4),故可得x)=-/(x+4),

又/(x-1)為偶函數(shù)，所以/(—x—l)=/(x—1),即有/(—x)=/(x—2),

所以/(x—2)=—/(x+4),得到/(x)=—/(x+6),所以/(x)=—/(x+6)=/(x+12),

即函數(shù)/(x)的一個周期是12,所以選項A錯誤，

對于選項B,因為g(x)為奇函數(shù)，所以g(-x)=—g(x),又g(x)=g(4-x),

所以一g(-x)=g(4-x),即g(x)=-g(x+4)=g(x+8),

所以函數(shù)g(x)的一個周期是8,所以選項B正確，

對于選項C,由選項A和B知，/(18)+g(68)=/(6)+g(4),

又g(0)=g(4)=0,/(6)=-/(0)=-2,所以〃18)+g(68)=_2,故選項C正確，

對于選項D,因為當0<x<2時，g(x)=ln(x+l),

所以當10<x<12時，0W12—九W2,所以

g(x)=g(x-8)=g(4-(x-8))=g(12-x)=ln(12-x+l)=ln(13-x),

所以選項D正確,

故選：BCD.

第8頁/共23頁

【點睛】

11.已知事是函數(shù)"%）=%3+如+”（根＜0）的極值點，若/（%2）=/（%）（玉片》2），則下列結(jié)論正確

的是（）

A.f（x）的對稱中心為（0,"）B.〃-再）＞〃菁）

C.2x1+%=0D.%!+x2>0

【答案】AC

【解析】

【分析】利用〃0+x）+〃0-力=2”，可判斷A；令/'（0=0,解得x,代入/（一七）一/（七）可判

斷B；利用導數(shù)判斷出y=/（x）的單調(diào)性并求出極值點，結(jié)合圖像分情況由〃%2）=〃石）（%產(chǎn)馬）解

出入2,可得2芯+々=0可判斷C；利用C選項，若%=，?，々=於『^，得出玉+%＜0可判

斷D.

【詳解】對于A,因為/（0+x）+/（0—x）=/+如+“一/一如+”=2〃，

所以〃x）的對稱中心為（0,"）,故A正確；

對于B,f'（x）=3x2+m,令十（x）=0,解得x=±、口值,

f（一玉）一/（%）=-X：-mX]+n-xf-mxl-n

因為根＜0,所以可得/（—Xi）＞/（xJ,

因為m＜0,所以叫』二—m名＜

0,可得了（一再）＜/（玉）,

33

故B錯誤;

—m

對于c,令r（x）=o,解得》=±.

當X〉子或x＜—J子時，r（x）＞0,y=f（x）是單調(diào)遞增函數(shù),

3

\—m

當一--<x<于時，r（x）＜0,y=/（x）是單調(diào)遞減函數(shù),

3

所以y=/（x）在x=—T時有極大值，在》=子時有極小值,

如下圖，當石=—｛子時，若/（%）=/（%）（芯片％2），則

/（玉）―/（%2）=%：+mx\+〃一考一mx?-n=（玉一%2）（%；+再%2+%；+加）=0,

三/+￥+機=°，解得/=久!近

可得X；+X1%2+X；+機=°，即一^—

當王=j子時，如下圖，若/（々）=/（石）（石。元2），則

/（X1）-/（X2）-A+mx\+〃一只_mx?一〃=（%一％2）（%；+玉％2+￥+加）=0,

+3。，解得―一號

可得X；+xxx2+xf+m=0,即—+

所以2玉+%=0；

第10頁/共23頁

綜上所述，2%+馬=0,故C正確;

-2y/-3m

對于D,由C選項可知,X、=--------

3

所以玉+々=故D錯誤.

故選：AC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a力為實數(shù)，若不等式12ax2+（4。+6）》+4。+4<2,+1］對任意工€恒成立，則

3a+b的最大值是.

【答案】6

【解析】

【分析】先對不等式等價變換為2小+1）+$+%2,令仁用得如+拳+%2,構(gòu)造函數(shù)

r\—2?4〃+Z??2/、/、

/(%)=2m+-^+Z?,從而<-2<5a+b<2,又3。+匕=2（4。+人）-（5。+3，利用不等式性質(zhì)即可求解

范圍.

【詳解】因為x」,3

所以…『2,

則不等式12ax2+(4a+6)x+4a+q<2|x+l|等價于2a(x+l)~+Z?(x+l)+2。<2|x+l|,

la3

等價于2a(x+1)+-+---b--<2,令/=x+l,則fe-,2,

x+14

從而2at+?+b?2,令=2af+-+Z?,由對勾函數(shù)的性質(zhì)知/+；e2,-|

第11頁/共23頁

一2V4〃+bV2

因為歸2,即一所以《

-2<5a+b<2

3=4m+5nm=2

令3a+b=根（4a+Z?）+〃（5〃+b）,則<1,解得《

l=m+nn——\'

/、/、f4〃+b=2[a=—4

所以3a+0=2(4a+。)—(5a+0)42x2-(—2)=6,當且僅當｛即｛時取等號，

5〃+/?=—28=18

故3a+。的最大值是6.

故答案為：6

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了復合函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對不等式等價變形，利

用換元法結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)范圍，最后利用不等式性質(zhì)求解即可.

13.已知函數(shù)〃x)=|log2x|,g(x)=,x,若對任意xe[a,+e),總存在兩個/e-A,使得

2_2

g(x),〃Xo)=l，則實數(shù)4的取值范圍是.

【答案】[2,+00)

【解析】

【分析】由已知可得，fM<~,畫出/(x)在4，4]上的函數(shù)圖象，可得出0<241,進而求得實數(shù)

az〃

a的取值范圍.

122

【詳解】/(%0)=^^=一，xe[a,+oo),y(x0)<-,

g(AJxa

作出在弓，4]上的函數(shù)圖象如圖：

???對任意xe[a,+oo）,總存在兩個/e-A,使得g（x）?/（x（））=l,

/.0<-<1,解得a?2.

a

第12頁/共23頁

故答案為：[2,+oo).

14.若定義在A上的函數(shù)和定義在2上的函數(shù)g(x),對任意的看eA,存在使得

〃xj+g(x2)=f(f為常數(shù))，則稱“X)與g(x)具有關(guān)系P。).已知函數(shù)/(x)=2cos12x+j

兀2兀

(xe—),g(x)=cos2x-mcosx+5(%eR),且/(x)與g(x)具有關(guān)系P(3),則根的取

值范圍為.

【答案】(-°O,-4]U[4,+OO)

【解析】

【分析】先根據(jù)題意求出函數(shù)Ax)的值域為[-2,1],由題意得到[-2,1]口3-g(%)的值域，再將函數(shù)

3—8(%)=-＜：052%+加以九%-2進行換元，h[t)=-t2+mt-2,t,由對稱軸進行分類討論，得到

可/)的值域，從而得到不等式，求出答案.

【詳解】由題意得對任意的％eA,存在々eB,使得〃xj+g(x2)=3，

又/(x)=2cos+聿)e[-2,1],故[―2,1仁[3—g)]的值域,

因為3—g(x)=3-cos2x+mcosx-5=-cos2x+mcosx-2,XGR,

令1=cosx,貝V￡[一1,1],

設/z(/)=-r+mt-2,t￡[-1,1],

①若對稱軸￡VT,即機(一2時，h⑺e[/z(l),/z(-l)]=[m-3,-m-3],

一m—321

則＜。c，解得根＜一4,與小V—2求交集，結(jié)果為加W—4；

②若三N1,即加22時，/i(?)e[/?(-1),/?(1)]=[-7/1-3,zn-3],

m-3＞1

則＜cc，解得加24,與加22取交集，結(jié)果為加24,

-m-3＜-2

2

m、「(m\\「m'

③若一1＜萬＜0,即-2(機＜0時，h{t]eA(l),AlyI=m-3,--2,

第13頁/共23頁

--2>1LL

則，4，解得或機W-2百，與一2〈根<0取交集，結(jié)果為0,

m-3<-2

、「、(mW「m2-

④若0V5<1,即04加<2時，//(/)€—I=-w—3,——2,

m2

----2>1「

則《4，解得加22舊或加4一2百，與0〈根<2取交集，結(jié)果為0.

~m-3<-2

綜上，加24或加W-4.

所以冽的取值范圍為(-8,-4]U[4,+8).

故答案為：(-℃,-4]U[4,+oo).

【點睛】方法點睛：函數(shù)新定義問題的方法和技巧：

(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；

(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使

用書上的概念.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(%)=-|-x2+(2tz-l)x-21nx,tzeR.

(1)討論的單調(diào)性；

出對于\/%€[1同,%€[2,+8),使得〃了)射，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；

(2)aN—.

5

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)求導，討論aWO、a>0研究導數(shù)符號確定區(qū)間單調(diào)性；

(2)問題化為"x"%,=2對Vxe[l同恒成立，討論a<1、求參數(shù)范圍.

【小問1詳解】

第14頁/共23頁

由題設尸(x)=ax+2a—1—2=加+(2"1)”—2=(ax—l)(x+2)且%(0,+8)，

XXX

當QV0時尸(X)<o,f(x)在(0,+8)上遞減；

當〃>0時，令/'(%)=0nx='，

a

當0<x<工時/'(x)<0"(x)在區(qū)間［o」］上遞減；

a\a)

當X〉工時/'(%)>0,/(x)在(l,+oo］上遞增.

a\aJ

所以當a40時，f(x)的減區(qū)間為(O,+s),無增區(qū)間；

當a>0時，/(x)的增區(qū)間為［：,+8；減區(qū)間為10,：］.

【小問2詳解】

由題設知/(%)?%,=2對Vxw［1同恒成立.

當a<1時，此時1<2,不合題設，舍去.

當a?l時，r(x"0"(x)在［l,e］上遞增，只需“1)言—符合.

綜上：a>—.

3

16.設函數(shù)/(%)=h,一尸(a>0且，awl,keR),若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)且/⑴=5.

(1)求1和a的值；

(2)判斷其單調(diào)性(無需證明)，并求關(guān)于，的不等式f(2/-1)<F(/—勺成立時，實數(shù)f的取值范圍;

(3)函數(shù)g(x)=++a3_4/(x),xe［l,2］,求g(x)的值域.

【答案】(1)a=2,k=l.

(2)增函數(shù)，/>3或1

【解析】

第15頁/共23頁

3

【分析】(1)〃x)為R上的奇函數(shù)，利用/(0)=0和/⑴=萬，列方程即可求出左與。；

(2)判斷為增函數(shù)，利用/(x)的單調(diào)性解不等式；

(3)化簡g(x)=(2-2-?—4(2。2-，)+2,禾U用/=2，—2，

可得g(x)=〃(/)=/—4/+2=?—2)2—2,根據(jù)xe[l,2],判斷出。的范圍，進而得到g(x)的值域.

【小問1詳解】

,//(x)=kax-ax是定義域為R上的奇函數(shù)，

?**/(0)-0,得左=1.此時，/(x)=ax-a~x,/(-x)=a~x-ax=-f(x),即/(%)是R上的奇函數(shù).

3131

,?*f(X)――,a---,即2/—3o—2=0，a=2^a=――(舍去)

2a22

故。=2,k=1.

【小問2詳解】

2

明顯地，/(%)為增函數(shù)，則只需2%—4，t-2t-3>09

工/>3或1<-1.

【小問3詳解】

g(x)=22X+2-2X—4(2乂—2一，)=(2工——4(2,—2f+2,

令％=2'-2T(1?%V2),由(2),易知1=加(x)在x￡[l,2]上為增函數(shù)，

315

:?tJ5,丁，?，?g(x)=〃⑺=/2—4/+2=(1-2)2-2

1517

當"J,g⑶有最大值廿

當/=2時,g(x)有最小值-2,g(x)的值域是

17.已知函數(shù)〃x)=53,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

ax

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)若方程〃x)=l有兩個不同的根―

⑴求。的取值范圍；

(ii)證明:片+考>2.

第16頁/共23頁

【答案】(1)答案見解析

(2)(i)(0,1)；(ii)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，再分。>0、。<0兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)⑴參變分離可得上巫=。，令g(x)=L坦，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即

XX

可求出a的取值范圍；(ii)不妨設西<々，則。<玉<1<%，分尤2€［2,+°°)、％e(L2)兩種情況討論，

當龍2e(L2)時，p(x)=g(x)-g(2-x)(0<尤<1),利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明

X1+%〉2,再由基本不等式即可得證.

【小問1詳解】

由題意得〃制=53=巴吧，xe(O,+s),則/'(x)=—*,

axaxcix

由/'(x)=0,解得x=L

顯然a70,

若a>0,則當0<x<l時,尸(力>04(%)單調(diào)遞增,當x>l時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

若a<0,則當0<x<l時，/(力<0"(九)單調(diào)遞減,當％>1時,廣(%)>。"(力單調(diào)遞增.

綜上，當a>0時，f(x)在區(qū)間(0』)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減；

當a<0時，/(x)在區(qū)間(0』)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

,In(ex)1+Inx

(i)由二-2=1,得------=a,

axx

設g(X)=H^,由⑴得g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

又g［：］=O,g(l)=l,當x>l時，g(x)>0,且當Xf+co時，g(x).O,

所以當0<°<1時，方程匕則=。有兩個不同的根，即方程的D=1有兩個不同的根，故”的取值范圍

xax

是（0,1）.

第17頁/共23頁

1nxi+1_lnx2+1

(ii)不妨設再<%2，貝！JO<%且

解法一：

當％242,+8)時，W+%；>考24>2,即尤;+%>2；

當％241,2)時，2-X2e(O,l).

設p(x)=g(+g(2—x)=?+l^L±,0…1,

In%ln(2-x)〉_當_ln(2-x)In-(x-l)"+1

則P'(x)=-

x(2-x)

所以P(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，

則p(x)<p(l)=0,即g(x)<g(2—x),

所以g(2-xj>g(xj=g(x2),

又石?0,1),2-%>1,々>l,g(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以2—七</，即%+/〉2,

又石力々，所以才+X；〉2%1%2,

故2x：+2x；〉x；+x；+2引工2=&+%)一>4,所以x：+x